La Quaestio de certitudine mathematicarum

En los comienzos de la modernidad, la concepción aristotélica del método demostrativo y de la ciencia también fue cuestionada en el terreno del conocimiento matemático. La polémica que surge a raíz de si la geometría puede o no mantener el estatus de ciencia es muy ilustrativa por varias razones. En primer lugar, es un claro signo de la vigencia del standard de cientificidad aristotélico en los inicios de la modernidad. Segundo, nos muestra de qué modo la geometría podía ser vista como satisfaciendo las exigencias de la epistemología aristotélica. Tercero, podemos ver de qué manera aparecen entrelazados de manera indisoluble temas metodológicos, epistemológicos y ontológicos. Todo esto nos permitirá, a su vez, comprender mucho mejor que –casi con seguridad- quienes tratan de aplicar el método geométrico a otros

30 _{Para una visión más general y con más datos bibliográficos puede consultarse: Aho, Tuomo and}

Yrjönsuuri, Mikko (2009); “Late Medieval Logic”; Capozzi, Mirella and Roncaglia, Gino (2009); “Logic and Philosophy of Logic from Humanism to Kant”. Ambos textos en Haaparanta, Leila (ed.); The Development of Modern Logic. Oxford, Oxford University Press.

ámbitos del conocimiento intentan al mismo tiempo lograr los criterios de cientificidad propuestos por el estagirita.

Pues bien, el problema del estatuto epistemológico de las matemáticas fue planteado por primera vez por Benedicto Pereira, en su obra De communibus omnium rerum naturalium principiis et affectionibus (1562). Pereira puso en cuestión la cientificidad del conocimiento matemático alegando que las demostraciones de Euclides no se adecuaban a las exigencias metodológicas propuestas por el estagirita, fundamentalmente en Analíticos Segundos. Dicho en otros términos, según Pereira, las demostraciones geométricas no constituyen conocimiento causal, ya que no proceden a través de un término medio que sea la causa de la conclusión. En palabras del autor:

Mi opinión es que las disciplinas matemáticas no son propiamente ciencias… Ser ciencia [scire] es adquirir conocimiento [cognoscere] de una cosa a través de la causa en virtud de la cual la cosa es; y la ciencia [scientia] es el efecto de la demostración. Sin embargo, demostración (hablo del tipo más perfecto de demostración) debe depender de aquellas cosas que son “por sí” y propias de aquello que es demostrado; en efecto, aquellas cosas que son accidentales y en común son excluidas de la demostración perfecta. Pero los matemáticos ni consideran la esencia de la cantidad, ni tratan de sus afecciones como si ellas fluyeran [manant ex tali essentia] de tal esencia, ni las declaran por las propias causas en virtud de las cuales ellas están en la cantidad, ni hacen sus demostraciones a partir de predicados propios y “por sí” sino de comunes y accidentales. Así, la doctrina matemática no es propiamente una ciencia. (citado en Mancosu 1996 p. 13 original nota 12)

Con esta tesis Pereira se enfrenta a la tradición escolástica que supone que las demostraciones matemáticas muestran la conexión necesaria de las propiedades con una esencia determinada. Su ataque se centra en el análisis de la proposición treinta y dos del libro primero de los Elementos de Euclides. En resumidas cuentas, Pereira argumenta que dicha demostración se apoya en construcciones –por ejemplo, prolongación de las rectas de un triángulo dado- que no pertenecen a la esencia de la figura en cuestión, que en este caso es el triángulo, por lo cual, el término medio de la misma no es la causa formal (Mancosu, 1996 pp. 14-15).

La opinión de Pereira fue recogida por otros autores como Picolomini y Catena, pero durante el siglo XVII encontró opositores. Uno de los autores más significativos que retoma esta cuestión es el jesuita Biancani, quien en su De Mathematicarum Natura

(1615) intenta rechazar los argumentos de Pereira, sosteniendo que los objetos de las matemáticas son cantidades abstraídas de la materia sensible. La aritmética y la geometría, matemáticas puras, tienen como objeto la magnitud discreta y continua respectivamente. La materia, tal como la abstrae el matemático, está limitada a la cantidad, mientras que no lo está en la física (Mancosu, 1996 pp. 15-16). Por otra parte, para Biancani, las entidades matemáticas existen como ideas en la mente de Dios y en la humana. Este último aspecto sigue la concepción escolástica según la cual las formas de las cosas corresponden a las ideas en la mente divina. La argumentación de este autor consiste, en primer lugar, en limitar las causas utilizadas en las matemáticas a la causa formal y a la causa material (ambas intrínsecas), excluyendo la eficiente y la final (extrínsecas). En las demostraciones, la causa utilizada es a veces formal, en el caso en que el término medio sea la definición del sujeto o de la propiedad, y a veces material, como en el caso en que como término medio se toma a las partes respecto del todo (Mancosu, 1996 p. 17)31. A esto agrega, que las construcciones utilizadas en las demostraciones no pueden considerarse causa eficiente ni término medio, ya que, sólo son empleadas como término medio para el descubrimiento. Prueba de ello es que muchas demostraciones pueden realizarse sin estas construcciones. En segundo lugar, apoyándose en un análisis anterior de Proclus, sostiene que de la demostración de los Elementos I, 1 (donde se muestra cómo construir un triángulo equilátero a partir de cualquier segmento dado) es causal en sentido formal, ya que se basa en última instancia en la definición de círculo. En cambio el teorema de I 32, apelaría, según él, a una causa material, en la medida en que infiere la igualdad de los todos a partir de la igualdad de las partes (Mancosu, 1996 p. 18)32_.

Barrow, por su parte, abordó la misma cuestión en su Lectiones, especialmente la quinta y la sexta. En términos generales, su visión de la causalidad matemática es similar a la de Biancani. Su objetivo consiste en mostrar que la matemática es conocimiento de las causas (en el sentido aristotélico) y su ataque está dirigido contra los argumentos de Pereira, que al parecer conoció a través de la defensa que hizo de ellos Gassendi (Mancosu, 1996 pp. 20-21).

31 _{Mancosu cita pero no traduce la expresión “utuntur pro Medio partibus respectu totius”}

32 _{Jesseph quien expone esta concepción a partir de Proclo, la resume en las dos siguientes exigencias:}

“pureza y causalidad”. Pureza en el sentido de que nada empírico debe filtrarse en los conceptos. Causalidad en cuanto que las demostraciones deben ser dioti, en este caso, incluyendo la causa formal (Jesseph 2010 pp. 274-277)

Barrow, como punto de partida, en una clara reverencia al ideal aristotélico, mantiene que las matemáticas utilizan premisas que son universales, necesarias, primeras e inmediatas; “más conocidas y más evidentes que la conclusión”, y causales – es decir, proter quid (o dioti). En cuanto al procedimiento de prueba, sostiene lo siguiente:

Las demostraciones matemáticas son eminentemente causales… puesto que ellas solo derivan [fetch] sus conclusiones de axiomas que exhiben las principales y más universales afecciones de todas las cantidades y a partir de definiciones que muestran la generación constitutiva y las pasiones esenciales de las magnitudes particulares. De aquí que, las proposiciones que surgen de tales principios supuestos, deban seguirse [flow] de las esencias íntimas y de las causas de las cosas33_.

En términos generales, los elementos básicos de esta concepción son las definiciones, los axiomas y las propiedades. Las primeras indican la naturaleza del sujeto, es decir, su esencia. A través de ellas y utilizando los axiomas como especie de intermediarios, el matemático extrae las propiedades –comunes o propias- que están conectadas necesariamente a la esencia. La causalidad que interviene en este procedimiento es formal, la causalidad eficiente y final son rechazadas. Barrow agrega que sólo la causalidad formal –no la causalidad eficiente- puede ofrecer una conexión necesaria entre la causa y el efecto, esto es, entre la esencia y sus propiedades34_.

1.5 Conclusión

Debemos enfatizar, en primer lugar, tres aspectos básicos de la concepción aristotélica de la ciencia que quedan claramente a la luz en la exposición precedente: a) el carácter axiomático y fundamentalista del conocimiento científico, es decir, la idea de que dicho conocimiento debe comenzar con las verdades más evidentes (los

33 _{Texto original citado en Mancosu, 1996 p. 21}

34 _{Traducimos el texto inglés citado por Mancosu (1996 pp. 21-22).Queda claro que para Barrow se trata}

de un concepto fuerte de necesidad. A diferencia del dominio de la naturaleza, donde Dios puede alterar el curso causal normal de la naturaleza, ya que cualquier efecto puede ser producido por múltiples causas, en el dominio de las matemáticas, Dios no puede modificar las verdades necesarias, “pues, las proposiciones necesarias tienen una verdad universal, inmutable y eterna, que ni está sujeta a nada, ni puede ser obstaculizada por ningún poder”. (citado en Mancosu, 1996 p. 22 original nota 37)

principios) y extraer de allí por deducción lógica las menos evidentes (los teoremas), preservando la verdad; b) el carácter necesario, esto es, la idea de que toda proposición científica no solo es verdadera sino que además refleja un hecho que no podría ser otro modo; y por último, c) el carácter causal, es decir, que las proposiciones de la ciencia responden a la pregunta acerca de “por qué” ocurre un hecho en algunas de las cuatro formas que puede asumir tal respuesta.

Además de estos tres aspectos fundamentales, cabe resaltar la estrecha vinculación que existe en esta doctrina entre el método y la ciencia. No sólo que el método aristotélico es un método orientado básicamente a la fundamentación del saber, es decir, un método demostrativo, sino que también su naturaleza está condicionada por los requerimientos del ideal de ciencia. Así, el conocimiento causal requiere de demostraciones causales. Por otra parte, el conocimiento científico depende irremediablemente del método demostrativo, ya que solo se admiten como verdades científicas aquellas que han sido demostradas mediante una demostración científica.

En cuanto a los aspectos metafísicos que hemos reseñado arriba, no se puede soslayar el hecho de que hay cierta correspondencia entre la metodología, la ciencia y la metafísica. En efecto, los elementos últimos de la realidad, las sustancias, son un compuesto de materia y forma. La forma es la causa más importante en la explicación de los fenómenos de la naturaleza y es justamente lo que debe quedar expresado en las definiciones que sirven de insumo de las demostraciones. De manera que, en cierto sentido, la ciencia y el método se apoyan en la naturaleza misma de la realidad.

El examen de las características distintivas del método geométrico de los Elementos de Euclides nos mostró que dicho método satisface en términos generales las demandas del ideal aristotélico. Es por ello que, con el correr de los siglos, los Elementos se convertirán, para muchos filósofos, en el prototipo de ciencia estricta justamente por satisfacer –o al menos por aparentarlo- los criterios establecidos por el estagirita. El método del análisis, por su parte, pasará a la posteridad como un método orientado al descubrimiento. Esto se debe a que, como hemos visto, permite encontrar pruebas para los teoremas o soluciones para los problemas. Un aspecto a tener en cuenta es que puede ser interpretado de diferentes maneras, todas en cierto modo, compatibles con la descripción de Pappus. Incluso llegará a combinarse con los dos tipos de demostración hóti y di´otí de los Segundos Analíticos. Otra cuestión importante es que la síntesis es considerada como un proceso que representa adecuadamente el orden de consecuencia lógico, esto es, establece primero los antecedentes y deduce de allí sus

consecuencias. En este sentido, aunque la síntesis que se refiere al mos geometricus de los Elementos apunta a la elaboración sistemática del conjunto de conocimientos de una ciencia determinada, y la síntesis que ocurre dentro del método analítico, al parecer no necesariamente se remonta a los principios primeros del conocimiento de una ciencia y puede pensarse en relación a afirmaciones relativamente aisladas, no obstante, en ambos casos, la relación de consecuencia lógica es claramente la misma.

Como se pudo observar, al igual que en la concepción de Aristóteles, la tradición aristotélica mantiene un fuerte entrelazamiento entre la ciencia –en tanto forma de entender la explicación científica-, la ontología y el método. Dentro de esta tradición, hasta fines de la Edad Media no encontramos grandes novedades, ni respecto del método ni de la concepción de la ciencia. Incluso, como hemos mostrado en la última parte, en el terreno del conocimiento matemático. En este sentido, el método, como lo entienden los aristotélicos, parece en gran medida limitado a un método de demostración destinado a proporcionar conocimiento científico. Los cambios que introducen Zabarella y los demás lógicos de la escuela de Padua no parecen ser demasiado notorios, salvo por un tenue énfasis en la cuestión del descubrimiento y por la introducción de la noción de orden.

Finalmente, cabe agregar que la polémica acerca del estatus científico del conocimiento matemático, nos muestra no solo la gran importancia que presentaba en los albores de la modernidad el problema de la cientificidad del conocimiento, sino también la vigencia del ideal aristotélico en las concepciones de filósofos y matemáticos. Por lo demás, una de las concepciones en disputa en esta polémica nos permitirá arrojar luz, más adelante, sobre el pensamiento de Spinoza.

Capítulo 2

Método y ciencia en la modernidad

2.1 Introducción

Una vez que hemos visto algunas de las ideas metodológicas y epistemológicas más influyentes en la modernidad, al menos desde el punto de vista de nuestro escrito, podemos entrar en el campo de la discusión propiamente moderna y tratar de seleccionar de allí los autores que dieron forma al debate metodológico y las ideas que pusieron sobre la mesa. Desde la perspectiva de nuestro interés por Spinoza hay tres autores que son fundamentales –en el capítulo siguiente veremos porqué-, estos son: Bacon, Descartes y Hobbes. Cabe aclarar, que si bien este último no adquirió la misma fama que adquirieron los primeros en temas metodológicos, su visión de la ciencia y del método, aunque menos rupturista con la tradición aristotélica, no solo representa significativamente una de las posiciones en juego sino que también ejerció gran influencia sobre Spinoza. Es por ello, que en lo que sigue intentaremos bosquejar los aspectos más relevantes de estas tres concepciones del método y de la ciencia.

Por otra parte, más allá de cuánto influyó en la metodología de Spinoza cada uno de estos autores, la exposición de sus visiones del método y de la ciencia nos permitirá formarnos una imagen de la discusión que tiene lugar en el siglo XVII así como también del marco conceptual dentro del cual se mueve Spinoza. Tener a la vista este marco conceptual es muy importante ya que determina tanto los objetivos como los límites dentro de los que se maneja la mentalidad del filósofo. Esto nos permitirá, a su vez, más adelante, comprender con mayor claridad las intenciones de Spinoza, así como también el éxito o el fracaso de su propuesta.

2.2Bacon

Las referencias de Spinoza al método de Bacon, como veremos en el capítulo siguiente, aparecen explícitamente en dos o tres lugares de su obra y esto muestra que el autor del Novum Organum ha ejercido efectivamente algún tipo de influencia sobre la concepción metodológica de Spinoza. De todos modos, no es el momento de discutir aquí el alcance de dicha influencia, sino de presentar la concepción baconiana en sus rasgos característicos, los cuales nos serán de utilidad en el capítulo siguiente.

Seguramente la obra fundamental de Bacon y con seguridad la que más renombre ha alcanzado a lo largo de la historia es el Novum Organum (en adelante NO). Ya el título nos indica la intención fundamental del autor, esto es, un nuevo Órganon que reemplace al viejo Órganon aristotélico. Aquí conviene tener presente que si bien el término “método” no aparece en el título, en varios pasajes Bacon se refiere explícitamente al contenido de su obra como un método, dando al vocablo un sentido claramente moderno. Así declara: “el camino completo, ya desde las primeras percepciones de los sentidos, tiene que hacerse con un método seguro” (NO Prefacio, p. 10). Y un poco más adelante: “…mediante nuestro método, los axiomas son sacados a la luz paso a paso, de modo que alcanzamos los más generales solo al final;” (NO Prefacio, p. 17).

De forma consecuente con tal propósito, el tratado parte de una fuerte crítica a las teorías silogísticas y, en general, a la filosofía escolástica, tanto respecto a aspectos ontológicos como epistemológicos. Su propuesta metodológica, tiene como pilares explícitamente declarados, el rechazo de la tradición del comentario de las fuentes griegas y la orientación de la investigación directamente hacia la naturaleza para descubrir todos los secretos que el aristotelismo ha olvidado en aras del juego silogístico con meras ficciones lingüísticas. En definitiva, lo que busca es sacar a la ciencia del estancamiento y producir nuevos resultados, es decir, nuevos conocimientos. Esto lleva aparejado, junto con el rechazo del método silogístico, una revalorización de la experimentación y una nueva teoría de la inducción (vid. NO Prefacio, pp. 15 y ss.). Para Bacon, el investigador es un intérprete de la naturaleza y dicha interpretación se apoya en una nueva metodología que define el modo en que se lleva a cabo la investigación a través de la observación y la experimentación. No obstante, si bien es claro que el componente predominante en los elementos metodológicos del Novum Organum tiene que ver con la observación –realizada bajo

meticulosas reglas de procedimiento-, no hay que perder de vista que, para Bacon, la ciencia también tiene un objetivo práctico o, si se quiere, productivo, pues el conocimiento obtenido permitiría producir –el término clave de Bacon es induceth- artificialmente los fenómenos naturales observados (Perez-Ramos, 1996 p. 104).

Un meticuloso protocolo de actividades que tiene por objetivo reestructurar y dar cientificidad al llamado método de inducción simple, constituye la clave del método baconiano. Un examen del mismo también nos permitirá arrojar luz sobre su concepción de ciencia. La inducción baconiana gira básicamente en torno a los conceptos de historia natural (historia naturae), definición –a la que se llega luego del proceso inductivo- y forma. Bacon postula otras herramientas metodológicas, denominadas “auxiliares del entendimiento” (auxilia intellectus circa Interpretationem Naturae), complementarias de las tablas, de las que hablaremos un poco más adelante (NO II, XXI p. 136)35, pero cuyo objetivo en todos los casos es el mismo, hallar lo que Bacon denomina “Formas” (NO II, I p. 102) de una naturaleza dada.

Comenzaremos poniendo en consideración aquello que constituye el punto de llegada de la investigación científica baconiana, esto es, la denominada naturae Forma. Según Bacon, el objetivo de los aristotélicos, resumido en el lema “conocer verdaderamente es conocer a través de las causas” (NO II, II p. 103), no es erróneo, no obstante, las causas que guían sus investigaciones producen resultados de escaso valor. En esta crítica Bacon incluye tanto la causa final como la causa material y la eficiente. En cuanto a la causa formal da a entender que, al menos como la entienden los aristotélicos, no hay posibilidad de hallarla36. De este modo, en cuanto considera necesario buscar las verdaderas causas, Bacon mantendrá en parte el objetivo de los aristotélicos. Sin embargo, a través del concepto de Forma llevará a cabo una redefinición del concepto de causa y, como podremos ver inmediatamente, es