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La sincronización de redes de osciladores de Kuramoto en un

5. Relaxation time of the global order parameter on multiplex networks:

5.5. Numerical results

6.1.3. La sincronización de redes de osciladores de Kuramoto en un

escenario de dinámicas adaptativas críticamente auto-organizadas

Como ya se adelantó en los capítulos 1 y 2, en este trabajo de tesis, la sin- cronización es uno de los rasgos esenciales que se proponen para la obtención de modelos adaptativos de poblaciones críticamente auto-organizadas. La sincro- nización es per se un fenómeno auto-organizado. En ausencia de una agente ex- terno que organice las múltiples unidades que integran un sistema, puede emer- ger un comportamiento coordinado entre éstas, fruto de sus interacciones diná- micas. Asimismo, la sincronización se ha empleado en numerosas ocasiones pa- ra modelar las interacciones humanas [YY11; Né+00a; Né+00b; Str+05; SCT90; Mor+17].

Desde el punto de vista del modelado adaptativo, la retroalimentación entre las dinámicas de los nodos y la topología de la red puede depender del grado de sincronización entre los nodos y sus vecinos. Por ello, una posible opción de

FIG. 6.3: Instantánea de red una red del modelo de [APGP16], obtenida cuan- doC=3.0, tras t= 5000unidades de macro-tiempo. El grado del nodo tiene un tamaño codificado dek=1a6. El recuadro muestra un detalle de la red. En éste se han destacado los nodos separadores (círculos de color rojo y línea

discontinua).

modelado es considerar que los nodos de las redes son osciladores de fase [SCT90; AST95;Sch+94;YY11]. En esta tesis, se han estudiado las aplicaciones en las que los nodos son osciladores de Kuramoto, dada la sencillez y versatilidad de éstos.

En un contexto de dinámicas SOC, nuestras redes serán sistemas operando fuera del equilibrio. Si los nodos de las redes están integrados por osciladores, las perturbaciones del sistema harán que éstos, en general, se encuentren fuera del régimen estacionario. Adicionalmente, si la estabilidad de los enlaces depende de una restricción de la sincronización, la evolución de su grado de sincronización será lo que marque la frecuencia y el tamaño de las avalanchas de la dinámica SOC. Por esa razón, es vital contar con una estimación del tiempo de relajación del proceso de sincronización, así como conocer la influencia que sobre él ejercen los parámetros propios del modelo de Kuramoto.

La investigación que figura en [AP+17] aborda las anteriores cuestiones (véase el capítulo 5). No obstante, lo hace en un marco de trabajo más general que el propio de las redes monocapa: las redes multicapa. Concretamente, el formalis- mo fue adaptado a una red multiplex de dos capas, cada una de las cuales se

encuentra altamente sincronizada a nivel interno. Las razones para proceder así fueron las siguientes:

1. La evidencia de que las relaciones humanas se canalizan simultáneamente a través de diversos canales de comunicación [SLT10;Lot+16;GG+15;GG+12; Mat+15; WSP12; WWP14], nos hizo plantearnos estudiar la posible necesi- dad de incorporar varias capas a nuestro modelo de evolución de poblaciones humanas.

2. La generalidad del marco de análisis empleado permite extrapolar con faci- lidad los comportamientos descritos en este estudio al caso más simple de redes monocapa de osciladores de Kuramoto acoplados. De hecho, los re- sultados analíticos y numéricos de [AP+17] destacan y refuerzan la analogía entre las respuestas de los diferentes tipos de sistema, mónoplex [ADG07; GGT11;Gra+10;SJH08] y múltiplex.

3. Además, el análisis desde la óptica múltiplex posee la importante ventaja de allanar la generalización a redes en las que existan distintos tipos de enlaces, tal y como sucede en dichos sistemas. Un ejemplo de estos escenarios es el propio de las redes sociales, donde cada capa corresponde a una estructura social diferente (por ejemplo, Facebook y Twitter) y los usuarios juegan el papel de nodos.

Uno de los aspectos más novedosos y relevantes del análisis realizado en [AP+17] es el concepto de parámetro de orden de una capa (dado por la Ec.2.55). Como ya se mostró, este desglose en capas del parámetro de orden permitió cap- turar detalles de la dinámica que quedan ocultos al analizar sólo el parámetro de orden global. Este aporte abre la posibilidad de adaptar la Ec. 2.55 para definir nuevos párametros de orden a una escala menor que la de [AP+17] (véase la Ec. 6.1), con los que estudiar, por ejemplo, las interacciones locales entre un nodo y sus vecinos (tal y como se hizo en [APGP16]). A su vez, éstos nuevos parámetros de orden pueden emplearse para establecer nuevas condiciones de estabilidad local, basadas en criterios de sincronización (véase el apartado 6.2.1).

Por otro lado, en [AP+17], es interesante la comparación de las escalas de tiem- po del parámetro de orden global (τr) y de la sincronización entre capas (τ∆) con la escala temporal de todo el sistema (τM). Por medio de la teoría espectral y del modelo no lineal de Kuramoto, se muestran que τr y τ∆ son inversamente pro- porcionales a la fuerza del acoplamiento entre las capas, λ12. Asimismo, tal y co- mo se mostró en la sección 5.4, la convergencia del parámetro de orden global es más rápida que la convergencia de la sincronización entre capas, y esta últi- ma generalmente es más rápida que el tiempo de relajación de todo el sistema,

estructuras de las capas acopladas. Asimismo, se demostró que al aumentar el acoplamiento entre capas siempre se acorta la sincronización entre las mismas, así como el régimen transitorio del parámetro de orden global.

Los hallazgos analíticos describen bien los resultados obtenidos en las simu- laciones computacionales. En el caso de redes múltiplex con un acoplamiento entre capas relativamente pequeño (en comparación con el acoplamiento dentro de cada capa, λ; esto es, λ12 λ), donde las frecuencias promedio en cada ca- pa son similares (esto es, hΩi1 ≈ hΩi2), y existen un alto grado de sincronización dentro de cada capa, en el instante inicial; los resultados analíticos y numéricos coinciden. Sin embargo, suponiendo frecuencias medias similares en cada capa, si el acoplamiento entre las capas es relativamente grande (es decir, λ12 λ), e inicialmente existe una heterogeneidad de fase dentro de cada capa (es decir, hay al menos una capa que contiene dos o más osciladores cuyas fases son diferentes en t = 0), los resultados numéricos exhiben desviaciones del decaimiento expo- nencial previsto por la teoría. No obstante, los cambios principales en el paráme- tro de orden global y en la sincronización entre capas se ajustan bastante bien al enfoque analítico propuesto. La escala de tiempo de estas discrepancias, τD, es inversamente proporcional al doble del menor autovalor distinto de cero de la matriz supra-laplaciana del sistema, Λ2. Al igual que sucede en trabajos anterio- res [Gó+13; SR+13], esta dependencia de Λ2 implica que las desviaciones de los resultados analíticos están determinadas por las características topológicas de las capas involucradas, así como por los valores del acoplamiento dentro de las capas y entre las capas,λ yλ12, respectivamente.

Cuando las frecuencias promedio de cada capa son diferentes (es decir,hΩi12 = hΩi1−hΩi26=0), los resultados de las simulaciones se ajustan bien a los hallazgos analíticos. Si λ12>

hΩi

12

, los valores asintóticos del parámetro de orden global y de la sincronización entre las capas convergen a un valor no nulo. Siλ126

hΩi

12 , se obtiene un comportamiento periódico. Las discrepancias de nuestra descrip- ción analítica no aparecen, a menos que los valores asintóticos del parámetro de orden global y de la sincronización entre capas estén cerca de cero (es decir,

hΩi12≈0)

Al igual que en [ADGPV06b; ADGPV06a], los anteriores hallazgos sugieren, en primer lugar, que la sincronización de una “parte” (o subgrafo) de la red es tanto más rápida cuanto más local sea ésta (al compararse su escala de tiempos con la propia del sistema completo). Asimismo, los resultados muestran que un aumento de la fuerza del acoplamiento entre las distintas “partes” que integran el sistema acelera la sincronización entre ellas. Estas características son válidas en aquellas aplicaciones en las que las “partes” analizadas son un nodo y sus primeros vecinos (véase la Sec.6.3para acceder a un ejemplo).

Finalmente, se aclara que es posible aplicar los razonamientos anteriores (ob- tenidos para redes con una estructura estática) al análisis del régimen transitorio de las redes adaptativas de osciladores de Kuramoto, siempre y cuando la topolo- gía de estas últimas permanezca fija durante la sincronización de los osciladores. A modo de ejemplo, en el apartado 6.2.2, se presenta una aplicación en la que, por un lado, se han adaptado las principales características de [APGP16] y, por otro, los enlaces permanecen fijos, durante la sincronización de los osciladores. Como puede observarse en el apartado 6.2.2, bajo ciertas condiciones, estos mo- delos permiten generar redes adaptativas SOC, con estructuras similares a las interacciones socioeconómicas de las poblaciones humanas.

6.2

Descripción integrada: Ejemplo de aplicación de los

resultados de las publicaciones al desarrollo de mo-

delos de población

A partir de los resultados de [APGP16;APPE17;AP+17], en los apartados pre- cedentes, se han presentado y analizado varios elementos básicos con los que desarrollar modelos de redes críticamente auto-organizadas, aplicables al estudio de modelos de población: la restricción de las diferencias entre un nodo y sus vecinos, el modelado adaptativo y la sincronización. En este apartado, para ilus- trar la versatilidad de la anterior propuesta, a modo de ejemplo, se muestra una aplicación de los anteriores resultados, con la que es posible definir modelos de redes adaptativas críticamente auto-organizadas, compuestos por osciladores de Kuramoto, capaz de generar estructuras similares a las propias de las interaccio- nes socioeconómicas, presentes en las poblaciones humanas. Para justificar este logro, en la Sec.6.3, se incluye un estudio numérico del sistema. A continuación se detallan los aspectos generales del ejemplo propuesto.

Según se señaló en el apartado 2.3.2, al abordar el modelo de Kuramoto en redes complejas, existen diversas maneras de definir la dinámica de las unidades, en función de cómo se defina la fuerza del acoplamiento entre los osciladores. En línea con la elección hecha en [AP+17], en el ejemplo que se propone, la inter- acción entre los osciladores se produce a través de una fuerza de acoplamiento constante, sin ningún factor de normalización adicional. Como ya se mencionó en el apartado 2.3.2, esta elección parece ser más apropiada cuando se compara la sincronización de diferentes redes [Are+08; Rod+16]. En el caso que nos ocupa, se va a comparar la sincronización de diferentes “partes” de las redes, cada una de las cuales cuenta, a priori, con diferentes cantidades de nodos y patrones de conexión disímiles (véase la 6.2.1). De ahí la elección hecha. Consecuencia de lo

anterior, en la aplicación propuesta, la dinámica de cada ocilador de Kuramoto,

xn, vendrá dada por la Ec.2.37:

˙ θn=Ωn+λ N X m=1 aijsin(θm−θn),

donde Nes la cantidad de nodos del grafo. Nótese que, como primera aproxima- ción, en este estudio se trabaja con una red mónoplex simple. Sin embargo, aten- diendo al formalismo de [AP+17], la generalización a varias capas (dada por la Ec. 5.1) es sencilla.

Por otro lado, en este ejemplo, a diferencia de lo que sucedía en [APGP16], se supone una población fija de N osciladores. Los cambios en la topología se pro- ducen por la adición y eliminación de enlaces, a lo largo del tiempo, según se des- cribe en el apartado6.2.2. Los enlaces, por tanto, jugarán el papel de la “energía” que se carga y disipa en el sistema. La extensión a modelos en los que la cantidad de osciladoresN(esto es, ecuaciones 2.37) se incremente (monótonicamente) con el tiempo es simple. La única dificultad que plantea ese cambio es el incremento del tiempo de cálculo (debido al número creciente de ecuaciones diferenciales que hay que resolver, conforme avanza el tiempo).

En tal tesitura, un aspecto que conviene destacar es que la introducción de nuevos enlaces se efectúa preferencialmente, al igual que hicieron [Wan+16] en su modelo de osciladores (mapas caóticos acoplados) críticamente auto-organizados. Además de ser una opción de modelado típica (desde que Barabási y Albert la introdujesen en [BA99]), existen evidencias de que la vinculación preferencial im- pulsa el crecimiento de algunos sistemas reales [JNB03], incluidas, por ejemplo, las redes socioeconómicas [Kon+14].

A continuación, en el apartado 6.2.1, se expone la condición de estabilidad de los nodos. El mecanismo de construcción de la red se describe en el apartado 6.2.2.