CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DINÁMICO Y ESTUDIO DE
2.5. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL EN SISTEMAS DE MASA
Tal y como se argumentó para sistemas de masas concentradas, cualquier sistema estructural puede descomponerse en una serie de modos de vibración propios (definidos a partir de sus frecuencias de vibración y de sus formas modales), asimilables a sistemas de un grado de libertad, a partir de cuya composición se obtiene la respuesta dinámica del sistema completo. Asimismo, se comentó que en algunos casos especiales de los sistemas de masas distribuidas, como es el caso de la viga biapoyada, pueden hallarse las formas modales analíticas que definen el comportamiento de los mismos.
En el mismo apartado se justificó igualmente el proceso de obtención de las formas modales en el caso de un sistema de masas concentradas. En el caso de un sistema de masa distribuida, el proceso no puede pasar por la obtención de los autovectores del sistema a partir de las matrices de masa y de rigidez, por lo que la obtención de la ecuación de la frecuencia debe realizarse de forma algo diferente. Sin embargo, como no podía ser de otra forma, ambos desarrollos guardan una relación muy estrecha. En el desarrollo siguiente se considera, como es habitual en este caso, que tanto la rigidez como la masa de la viga son constantes en el tiempo y a lo largo de la longitud de la viga.
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Como se ha justificado previamente, la respuesta en desplazamientos puede descomponerse en una componente temporal (coordenada generalizada) y otra espacial (las formas modales):
𝑣(𝑥, 𝑡) = 𝜙(𝑥) · 𝑦(𝑡) (2.37)
Introduciendo esta relación en la ecuación del movimiento no amortiguado en vibraciones libres y teniendo en cuenta que los términos 𝐸𝐼(𝑥) y 𝑚(𝑥) son ahora constantes, se tiene que:
𝐸𝐼 · 𝜙𝐼𝑉(𝑥) · 𝑦(𝑡) + 𝑚 · 𝜙(𝑥) · 𝑦̈(𝑡) = 0 (2.38)
Como se expuso en el capítulo introductorio, las derivadas temporales se representan a través de puntos, mientras que las derivadas espaciales se representan mediante números romanos.
Dividiendo dicha ecuación por la forma modal 𝜙(𝑥), por la coordenada generalizada 𝑦(𝑡) y por la rigidez a flexión 𝐸𝐼, se tiene que:
𝜙𝐼𝑉(𝑥)
𝜙(𝑥) + 𝑚·𝑦̈(𝑡)
𝐸𝐼·𝑦(𝑡) = 0 (2.39)
Dado que cada término de la ecuación (2.39) depende de una variable diferente, la única forma de que dicha ecuación se cumpla es que ambos sumandos sean constantes e iguales y de signo contrario. Así:
𝜙𝐼𝑉(𝑥) 𝜙(𝑥) = −
𝑚·𝑦̈(𝑡)
𝐸𝐼·𝑦(𝑡)= 𝑎4 (2.40)
Relación en la que 𝑎4 es una constante que se expresa elevada a la cuarta por comodidad de operación, y que da lugar a sendas ecuaciones diferenciales en el espacio y en el tiempo, que se representan a continuación:
−𝐸𝐼·𝑦(𝑡)𝑚·𝑦̈(𝑡)= 𝑎4 → 𝐸𝐼 · 𝑦(𝑡) · 𝑎4 + 𝑚 · 𝑦̈(𝑡) = 0 → 𝑦̈(𝑡) +𝑎4·𝐸𝐼
𝑚 · 𝑦(𝑡) = 0 (2.41)
𝜙𝐼𝑉(𝑥) − 𝑎4· 𝜙(𝑥) = 0 (2.42)
Ambas son ecuaciones diferenciales homogéneas que pueden resolverse mediante la asunción de una solución exponencial 𝑦(𝑡) = 𝐻 · 𝑒𝑟·𝑡 y 𝜙(𝑡) = 𝐺 · 𝑒𝑠·𝑥. A continuación no se muestra el desarrollo completo de dicha resolución, pues se trata de la resolución de un problema matemático que puede encontrarse por ejemplo, en (Clough & Penzien, 1995).
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Sin embargo, el resultado de dichas ecuaciones es de gran interés, pues conduce, por un lado, a la solución de la ecuación del movimiento de un sistema de un grado de libertad no amortiguado en vibraciones libres y, por el otro, a la ecuación de la frecuencia que determina las formas modales de una viga:
𝑦(𝑡) = 𝐴 · cos ��𝑎4𝑚·𝐸𝐼· 𝑡� + 𝐵 · sin ��𝑎4𝑚·𝐸𝐼· 𝑡� (2.43)
𝜙(𝑥) = 𝐶1· cos(𝑎𝑥) + 𝐶2· sin(𝑎𝑥) + 𝐶3· cosh(𝑎𝑥) + 𝐶4· sinh(𝑎𝑥) (2.44)
La primera ecuación, es la misma ecuación que se expuso en la introducción del presente capítulo en la ecuación (2.2) para un sistema de un grado de libertad, y que se repite a continuación:
𝑣(𝑡) = 𝐴 · cos(𝑤𝑡) + 𝐵 · sin (𝑤𝑡) (2.45) Por lo tanto, comparando ambas ecuaciones, puede observarse que el parámetro que multiplica el tiempo dentro de los operadores trigonométricos, no es otra cosa que la frecuencia angular que junto con la forma modal obtenida en la ecuación 𝜙x = C1· cos(ax) + C2· sin(ax) + C3· cosh(ax) + C4· sinh(ax) (2.44), define el modo de
vibración 𝑖 del sistema:
𝑤 = �𝑎4𝑚·𝐸𝐼 (2.46)
Como se expuso en aquel apartado, las constantes 𝐴 y 𝐵 se obtienen a partir de las condiciones iniciales del movimiento, mientras que las constantes 𝐶 de la ecuación de la frecuencia se obtienen a partir de las condiciones de contorno del sistema estructural.
Por otro lado, debe tenerse en cuenta que las condiciones de contorno del sistema pueden definir únicamente 3 de las constantes C en función de la cuarta (sólo 3 de las 4 ecuaciones que pueden obtenerse a partir de las condiciones de contorno son linealmente independientes). La constante indeterminada se trata de una amplitud arbitraria de la forma modal. Esto quiere decir, que se conoce la forma (valga la redundancia), pero no la amplitud de la forma modal. Dicha incertidumbre en la amplitud afecta a la coordenada generalizada (𝑦(𝑡)), pero una vez obtenida la coordenada real del movimiento (𝑣(𝑥, 𝑡)), la dependencia con la amplitud de la forma modal se elimina.
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Recuérdese que las constantes 𝐴 y 𝐵 de la ecuación del movimiento de la forma modal se obtienen para unas ciertas condiciones iniciales de la coordenada generalizada. Estas condiciones iniciales de la coordenada generalizada son las condiciones iniciales de la coordenada real divididas por la forma modal. Por lo tanto, al multiplicar la solución de la coordenada generalizada (en desplazamientos, velocidades etc…) para hallar la solución de la coordenada real, se elimina la dependencia de la amplitud de la forma modal. Recuérdese lo expresado acerca de la normalización de las formas modales en el primer capítulo del presente trabajo.
De esta forma se comprueba que la constante que no se ha podido determinar puede tomar un valor arbitrario, y que por lo tanto, tal y como se comentaba en aquel capítulo, puede eliminarse normalizando la forma modal mediante diferentes métodos que pueden consultarse en la bibliografía especializada ( (Clough & Penzien, 1995), (Humar, 2012)). Un método habitual es igualar el máximo de la forma modal a la unidad, o igualar a la unidad directamente la constante indeterminada.
De esta forma se obtiene el valor del parámetro 𝑎, lo que permite obtener tanto la forma modal, como la frecuencia propia de vibración de dicho modo.
A continuación, y debido a su interés didáctico, se desarrolla la solución para el caso particular de la viga isostática, si bien el mismo sistema puede utilizarse para la obtención de la forma modal de cualquier tipología de viga.
La viga isostática tiene las siguientes condiciones de contorno:
− Desplazamiento nulo en ambos extremos:
𝑣(0, 𝑡) = 0 → 𝜙(0) = 0 (2.47)
𝑣(𝐿, 𝑡) = 0 → 𝜙(𝐿) = 0 (2.48)
− Momento nulo en ambos extremos:
𝑀(0, 𝑡) = 𝑣𝐼𝐼(0, 𝑡) · 𝐸𝐼 = 0 → 𝑣𝐼𝐼(0, 𝑡) = 0 → 𝜙𝐼𝐼(0) = 0 (2.49)
𝑀(𝐿, 𝑡) = 𝑣𝐼𝐼(𝐿, 𝑡) · 𝐸𝐼 = 0 → 𝑣𝐼𝐼(𝐿, 𝑡) = 0 → 𝜙𝐼𝐼(𝐿) = 0 (2.50)
Imponiendo dichas condiciones:
𝜙(0) = 𝐶1· cos(0) + C2· sin(0) + 𝐶3· cosh(0) + 𝐶4· sinh(0) = 0 → 𝐶1+ 𝐶3 = 0
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𝜙(𝐿) = 𝐶1· cos(𝑎 · 𝐿) + 𝐶2· sin(𝑎 · 𝐿) + 𝐶3 · cosh(𝑎 · 𝐿) + 𝐶4· sinh(𝑎 · 𝐿) = 0
(2.52)
𝜙𝐼𝐼(0) = −𝐶
1· 𝑎2· cos(0) − 𝐶2· 𝑎2· sin(0) + 𝐶3· 𝑎2· cosh(0) + 𝐶4· 𝑎2 · sinh(0) =
0 → −𝐶1· 𝑎2+ 𝐶3 · 𝑎2 = 0 (2.53)
𝜙𝐼𝐼(𝐿) = −𝐶
1· 𝑎2· cos(𝑎 · 𝐿) − 𝐶2· 𝑎2· sin(𝑎 · 𝐿) + 𝐶3· 𝑎2· cosh(𝑎 · 𝐿) + 𝐶4 · 𝑎2·
sinh(𝑎 · 𝐿) = 0 (2.54)
Dado que 𝑎 ≠ 0 para obtener una solución diferente de la trivial entre las ecuaciones (2.51) y (2.53):
𝐶1 = 𝐶3 = 0 (2.55)
Por lo tanto, las ecuaciones (2.52) y (2.54) pueden expresarse de la siguiente forma:
𝐶2· sin(𝑎 · 𝐿) + 𝐶4· sinh(𝑎 · 𝐿) = 0 → 𝐶4 · sinh(𝑎 · 𝐿) = −𝐶2· sin(𝑎 · 𝐿) (2.56)
−𝐶2· 𝑎2· sin(𝑎 · 𝐿) + 𝐶4· 𝑎2· sinh(𝑎 · 𝐿) = 0 (2.57)
Y componiendo ambas ecuaciones, puede obtenerse que:
𝐶4· 𝑎2· sinh(𝑎 · 𝐿) + 𝐶4· 𝑎2 · sinh(𝑎 · 𝐿) = 0 (2.58)
Imponiendo que 𝑎 ≠ 0 y, de la misma forma, que 2 ≠ 0:
𝐶4· sinh(𝑎 · 𝐿) = 0 (2.59)
Representando dicha ecuación, se observa que no tiene solución diferente de la trivial 𝑎 = 0, es decir, que 𝐶4 ha de ser 0:
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Figura 2.4 – Representación gráfica de la ecuación 𝐶4· 𝑠𝑖𝑛�(𝑎 · 𝐿) para diferentes valores del parámetro 𝑎
Como puede observarse, los brazos de la función tienden a infinito. La escala y los parámetros 𝐶4 y 𝐿 se han elegido de tal forma que se mostrara el efecto deseado, sin embargo, cualquier binomio de valores 𝐶4 y 𝐿, reproduce el mismo comportamiento del parámetro 𝑎.
Por otro lado, la ecuación anterior podría haberse resuelto para 𝐶2:
−𝐶2· 𝑎2· sin(𝑎 · 𝐿) − 𝐶2· 𝑎2· sin(𝑎 · 𝐿) = 0 (2.60)
Volviendo a imponer que 𝑎 ≠ 0 y, de la misma forma, que 2 ≠ 0 para obtener una solución diferente de la trivial:
sen(𝑎 · 𝐿) = 0 → 𝑎 · 𝐿 = 𝑛 · 𝜋 (2.61) De esta ecuación se obtienen los parámetros fundamentales que rigen el comportamiento dinámico de una viga biapoyada en el método de superposición modal:
− Forma modal del modo 𝑛: 𝜙𝑛(𝑥) = 𝐶2· sin �𝑛·𝜋𝐿 · 𝑥�, al normalizar para que
𝐶2 = 1, se obtiene la tan conocida forma modal de la viga biapoyada:𝜙𝑛(𝑥) =
sin �𝑛·𝜋𝐿 · 𝑥�
− Frecuencia angular propia del modo n: 𝑤𝑛 = �
�𝑛·𝜋𝐿 �4·𝐸𝐼 𝑚 = � 𝑛·𝜋 𝐿 � 2 · �𝐸𝐼𝑚
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Por último, se debería verificar las condiciones de ortogonalidad de la forma modal con la masa y con la rigidez del sistema. Sin embargo, dicha comprobación conduce a un desarrollo extenso y ampliamente conocido que, por otra parte, no aporta nada nuevo en la comprensión del fenómeno dinámico. Por lo tanto, su desarrollo no se expone a continuación, si bien, se puede seguir en la bibliografía especializada en el tema ya mencionada a lo largo del presente capítulo.