Capítulo 2 Métodos Numéricos de Cálculo de Campos Eléctricos
2.5 Método de elementos finitos (FEM)
2.5.1 Introducción
En este apartado se pretende describir de forma simplificada el desarrollo matemático del método en cuestión hasta la obtención del sistema de ecuaciones lineales que resuelven el problema de la determinación de la distribución de potenciales en un sistema bidimensional genérico [39]. El método de elementos finitos se ha aplicado en electrostática para sistemas bidimensionales y tridimensionales de revolución [143][57][56][73][61][54][96].
2.5.2 Principio del Método
Para el cálculo de la función potencial que satisface la ecuación de Poisson es posible utilizar la formulación variacional. Para ello el dominio se divide en elementos en los que la función incógnita (potencial eléctrico) se aproxima por una función de interpolación que depende del potencial en los nudos del elemento. A continuación se establece el sistema de ecuaciones lineales que hacen mínimo el funcional asociado a la ecuación diferencial de Poisson. De la resolución de dicho sistema de ecuaciones se obtienen los potenciales en los nudos de los elementos, que, conjuntamente con la función de interpolación definen el potencial en cualquier punto del dominio.
2.5.3 Funcional asociado a la ecuación diferencial de Poisson
Bajo el punto de vista del cálculo diferencial la determinación del potencial eléctrico consiste en resolver la ecuación de Poisson:
(
ε⋅gradφ)
=−ρdiv (2.121)
Y si ε = cte:
ε φ = −ρ
∆ (2.122)
Además, esta ecuación diferencial debería satisfacer las condiciones de contorno del problema.
Ahora bien, dado que es posible encontrar el funcional asociado a la ecuación (2.122), el problema se reduce al cálculo de la función φ que minimiza dicho funcional.
El funcional en el dominio A, donde debe calcularse el potencial, está expresado por la ecuación siguiente:
( )=
∫ ∫
A ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +∫
S ⋅ ⋅E u du dA q dS
Fφ ε ρ φ φ
0
(2.123)
Donde:
ε : es la constante dieléctrica, que, en general, depende de Εr,x ,,y z .
Er
: es el campo eléctrico en el punto P
(
x,y,z)
. ρ: es la densidad volumétrica de carga eléctrica.φ: es el potencial eléctrico en el punto P
(
x,y,z)
. q : es la densidad de carga superficial.Α : es el dominio en estudio.
S: es el contorno del dominio en estudio.
u: variable de integración.
2.5.4 Discretización del dominio
Para aplicar el método de elementos finitos el dominio a estudiar debe dividirse en elementos; para sistemas bidimensionales los elementos pueden ser triángulos (Fig. 2.30) cuadriláteros, etc..., para sistemas tridimensionales serán tetraedros, cubos, etc, y para sistemas tridimensionales de revolución, toros de secciones poligonales (triángulos, cuadriláteros, etc...) [75][105][9].
Fig. 2.30. División del dominio en elementos Finitos en sistemas bidimensionales.
2.5.5 Función de interpolación
Para cada elemento del dominio en estudio se define una función de interpolación que depende de las coordenadas del elemento y de los potenciales de sus nudos.
Para sistemas bidimensionales, supuesta una dependencia lineal, la función de interpolación φe
( )
x,y en un elemento e tiene la forma siguiente:( )x y ax by c
e , = + +
φ (2.124)
donde a, b y c son constantes de la función de interpolación del elemento genérico (e).
Conocidos los potenciales de los nudos de cada elemento se determinan las constantes a, b, y c al particularizar la ecuación (2.124) para cada uno de los tres nudos o vértices que definen el triángulo elemental (Fig. 2.30) se obtiene:
( ) ( ) ( )
Sustituyendo las ecuaciones (2.125) y (2.126) en la ecuación (2.124) se obtiene la siguiente expresión para el potencial en cualquier punto del elemento e:
( )x y ( x y) i {l m n} βn y γn en función de las coordenadas de los vértices del triángulo en consideración.
2.5.6 Funcional de un elemento. Globalización
Con el fin de simplificar los desarrollos, se supone que el sistema objeto de estudio está sometido únicamente a las condiciones de contorno de Dirichlet (φ = φp) y no a las de Cauchy, es decir q = 0. Con ello la ecuación (2.123) se transforma en la siguiente:
( ) u du dA
Dado que el dominio está dividido en N elementos se puede expresar la ecuación (2.129) en la forma siguiente:
( )=
∑
N=∫ ∫
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =∑
= ( )donde FJ es el funcional asociado a un elemento genérico del dominio.
Supuesto que, ε = cte en el elemento triangular j en estudio se cumple la igualdad:
∫
0E ⋅u⋅du= Ε x yPor otro lado, si se tiene en cuenta la ecuación (2.127) el campo eléctrico puede expresarse por la siguiente igualdad:
( ) ( )
que sustituida en la ecuación (2.132), permite escribir finalmente:
( )
Asímismo si se tiene en cuenta la ecuación (2.127), supuesto ρ constante, se cumple la igualdad:
Si se sustituyen las ecuaciones (2.134) y (2.135) en un sumando genérico de la ecuación (2.130) se obtiene como funcional de un elemento "e" la expresión matricial:
( ) [ ] [ ] [ ] [Te e e ] [ ]Te e
e K Q
F φ = φ ⋅ ⋅φ − ρ⋅ ⋅φ 2
1 (2.137)
donde [K]e es la submatriz de rigidez correspondiente al elemento "e” cuyos términos Kije vienen expresados por la ecuación siguiente:
∆
⋅ +
= i j i j
Kije ε β β γ γ 2
(2.138)
Procediendo de igual forma con todos los elementos se puede extender para todo el dominio la ecuación (2.137) con lo que se obtiene:
( )φ = [ ] [ ] [ ] [φT ⋅ K ⋅φ − ρ⋅Q] [ ]T ⋅φ
F 2
1 (2.139)
donde cada término Kij es la suma de los términos Kije de los elementos que tienen como nudos el i y el j.
Al imponer la condición de que el funcional F(φ) sea mínimo debe verificarse la ecuación:
( ) F K n
F N
J K
J K
,..
1 0
1
=
∂ =
= ∂
∂
∂
∑
= φ
φ
φ (2.140)
donde: N es el número de elementos.
n es el número de nudos.
El desarrollo de la ecuación (2.140) conduce al sistema de ecuaciones lineales:
[ ] [ ] [K ⋅φ = ρ⋅Q] (2.141)
donde las incógnitas son los potenciales en los n nudos. Debe destacarse que la matriz de rigidez [K] es una matriz en banda, siendo la banda tanto más estrecha cuanto menor sea la diferencia entre un nudo cualquiera y sus adyacentes que pertenecen al mismo elemento [104].
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones (2.141) se conoce el potencial de los vértices de los elementos en que se ha discretizado el dominio y, a partir de ellos, se puede calcular el potencial en cualquier punto interior a un elemento dado mediante la función de interpolación elegida, es decir, un elemento de contorno curvilíneo o un elemento de contorno.