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Capítulo 3 Métodos de Optimización de Aparamenta de Alta Tensión

3.2 Métodos de optimización de electrodos de revolución basados en la variación de la curvatura superficial

3.2.3 Método de Grönewald

=

3 2 43 42

13 12 4 1 4 1 44 41

14 11

Q Q P P

P P Q

Q P P

P P

φ

φ (3.12)

con lo que el tiempo de calculo necesario para resolver el sistema de ecuaciones es, ahora, notablemente inferior.

3.2.3 Método de Grönewald

3.2.3.1 Introducción

Este método de optimización, lo mismo que el descrito anteriormente, se basa en la variación del contorno en función de la desviación del campo eléctrico en la zona a optimizar con respecto al valor deseado. El método de Grönewald tiene dos pasos muy diferenciados:

1º.- El cálculo del campo eléctrico y

2º.- La modificación de la geometría a partir de este cálculo.

Como se describe seguidamente, la diferencia con el método anterior estriba fundamentalmente en dos puntos:

1º.- Se tiene en cuenta la influencia de la variación de curvatura de las dos secciones normales a la superficie en cada punto y

2º.- Se desarrolla un algoritmo de corrección del contorno mediante la linealización de las curvaturas principales.

3.2.3.2 Descripción del método

Se consideran unos vectores de desplazamiento perpendiculares al contorno de partida.

Una vez calculada la diferencia entre el campo eléctrico existente en la zona a optimizar con respecto al deseado se determina la longitud de los desplazamientos y sus sentidos.

A continuación se procede a analizar detenidamente cómo se lleva esto a cabo en la práctica. En cada punto la curvatura se determina considerando los dos puntos inmediatos adyacentes del contorno, de manera que, con las coordenadas de estos puntos se encuentra el centro de la circunferencia que pasa por los tres puntos, cuyo radio define el radio de curvatura del punto intermedio, y cuyo centro junto con el punto antedicho definen la dirección de la normal en este punto.

Para ver la relación entre los cambios de curvatura y los desplazamientos de los puntos del contorno se discretiza la zona de contorno a optimizar mediante n puntos que se denominan puntos de contorno. El perfil del electrodo entre estos puntos se sustituye por arcos de circunferencia definidos por cada punto genérico Pi y sus adyacentes anterior y posterior, Pi-1 y Pi+1 respectivamente.

Se dibujan también los desplazamientos, supuestos conocidos, de los puntos de contorno, para pasar de un contorno al siguiente. Estos desplazamientos se van a considerar en dirección normal al contorno ficticio definido por el arco de circunferencia mencionado.

Si se desplazan los puntos del contorno a lo largo de los vectores t según indica la Fig. 3.5 se obtiene para el nuevo punto P’i la curvatura C’i dada por la expresión:

P’i-1

ρ’i

ρi R’axi

Raxi

P’i+1 Pi+1

Pi

Pi-1

P’i +1

ti

ti

1

ti

Fig. 3.5. Desplazamiento de los puntos del contorno a lo largo de los vectores t .

( )t R R ( )t C

axi axi

i i ± +

± +

= 1 1

'

ρ

ρ (3.13)

donde por t se ha denotado el vector de desplazamientos

(

ti1,ti,ti+1

)

. Según esta expresión los nuevos radios de curvatura, ρi y R’axi, se pueden representar como la suma de los anteriores ρi y Raxi más unas funciones ∆ρ(t) e Raxi(t) dependientes de los desplazamientos t. Con esto, la nueva curvatura total C’i en el punto P’i se puede calcular mediante la ecuación:

( )

t f C

Ci' = i + (3.14)

Ahora bien, para llevar a cabo los cálculos en la práctica, se hace necesario linealizar la la función f(t) de la expresión de C’i. Para esto se usa el desarrollo en serie de Taylor de C’i entorno al origen

(

ti =0,ti1=0,ti+1=0

)

:

y llamando:

j ij ti

f C

= (3.17)

Al linealizar la función f(t), la ecuación (3.14) se convierte en:

+

El término de la derecha del segundo miembro de esta ecuación representa la variación de la curvatura para un desplazamiento dado del contorno. Los coeficientes fij utilizados se encuentran desarrollados en [50].

La ecuación (3.18), planteada para los n puntos del contorno, se puede expresar matricialmente en la forma:



lo cual escrito de manera simplificada resulta:

[ ] [ ] [ ]C = F T (3.21)

o bien:

[ ] [ ] [ ] [ ]C = C + F T (3.22)

Es decir, la curvatura deseada [C’] en los puntos del contorno es igual a la suma de la curvatura existente [C] y a la variación de la curvatura [ ] [ ]F T producida por los desplazamientos [T]. Si se tiene en cuenta la ecuación (3.18) se puede ver fácilmente que la matriz [F] es una matriz tridiagonal cuyos elementos son todos nulos salvo los de la diagonal principal y los de las dos diagonales adyacentes a la principal.

Los ∆C pueden determinarse a partir de los valores determinados para E∆ o Uin

mediante la fórmula (3.6) o la fórmula (3.36) respectivamente, y una vez conocidos aquellos, la solución del sistema (3.21) nos proporcionaría los valores de los desplazamientos que se debe dar a los distintos puntos de contorno para pasar de un contorno al siguiente.

Según lo dicho el vector de desplazamiento [T] se determina mediante la resolución del sistema de ecuaciones siguientes:

[ ] [ ] [ ]F T C =0 (3.23)

Ahora bien, al sistema (3.21) hay que añadirle algunas restricciones. Estos es así pues deben de ser satisfechas ciertas condiciones adicionales para que la parte optimizada del electrodo se ajuste al resto. Para empezar, se debe obligar, como mínimo, a que uno de los desplazamientos en el borde del contorno sea nulo, es decir, que algún punto sea fijo. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones (3.23) esta sobredeterminado; ya que deben calcularse (n-1) desplazamientos a partir de n incrementos de curvatura. Además, para que las geometrías que se obtengan como resultado no presenten singularidades geométricas, debe exigirse muchas veces la condición de que la tangente se conserve en

algún punto del contorno (normalmente el primero o el último) a lo largo de las distintas iteraciones.

Como se ha señalado, estas condiciones suelen aplicarse a los puntos inicial y/o final de los contornos a optimizar. Consideradas todas ellas forman un conjunto de restricciones (linealizables al igual que el sistema principal) que deben añadirse al sistema de ecuaciones inicial. De manera que el problema queda planteado como la resolución del sistema de ecuaciones:

[ ] [ ] [ ] [ ]F T C =V (3.24)

donde el vector [ ]V es un vector de errores admisibles sujeto a las restricciones:

[ ] [ ] [ ] [ ]GT T + B = 0 (3.25)

donde [G]T es una matriz (m x n) en la que m representa el número de restricciones lineales que deben satisfacer los desplazamientos ti (representados por la matriz [T]).

Para resolver este sistema se usa el método de Gauss de los mínimos cuadrados con multiplicadores de Lagrange que se expone en el Apéndice D.

Las expresiones para los coeficientes de las matrices [F] y [G]T , así como su deducción pueden consultarse en [50].

El vector de desplazamientos [ ]T así calculado define el nuevo contorno de la zona a optimizar.

A continuación, se determinan los valores del campo eléctrico en los puntos del nuevo contorno. En caso de que difieran respecto de los deseados más de un limite admisible es preciso realizar un nuevo desplazamiento del contorno.

Lo mismo que en el método anterior, no es preciso calcular nuevamente todos los términos de la matriz de coeficientes de potencial sino únicamente los que hayan variado por la modificación del contorno y de la posición de las cargas.

En la Fig. 3.6 se representa un diagrama de flujo simplificado en el cual se indica el proceso iterativo de este método.

Comienzo

Entrada de datos geométricos y eléctricos Cálculo del Campo E

|E-Edeseado|<ε

Corrección del contorno.

Resultado Contorno Calculado.

Fin.

Fig. 3.6. Diagrama de flujo del proceso iterativo.

3.2.3.2.1 Convergencia

Conviene hacer notar que, en la zona de paso entre el contorno fijo y el variable, la geometría está físicamente sobrecondicionada ya que el contorno no puede desplazarse.

Por este motivo, es necesario considerar una zona de cambio entre el último punto del contorno fijo y el primero variable, en la que se asegure que el campo eléctrico no es mayor que en el resto de la zona de optimización. Esto se evita mediante la subrelajación de las curvaturas. Es decir, la geometría no se desplaza de acuerdo con el incremento de curvatura dado por la ecuación (3.6) sino que solamente se considera una pequeña parte de esta.

1 , <<

=ω C ω

Crelaj (3.26)

El inconveniente de esta subrelajación, si se mantiene para el resto del contorno, es la lentitud en la modificación del contorno, lo que obliga a aumentar el número de pasos de iteración para obtener la solución final.

Esta subrelajación no es necesaria si se introduce la condición de que en el punto de contacto de ambas zonas, fija y a optimizar, la normal a la superficie sea común, según indica la Fig. 3.7.

M’n

Mn

Pn

P’n

Pn-1

P’n-1

Pn-2

P’n-2

1

tn

2

tn

tn

Fig. 3.7. Condición normal a la superficie común para zonas fija y a optimizar.

Geométricamente, esto significa que el centro M’n del arco de circunferencia del contorno desplazado debe de estar sobre la normal del antiguo contorno. Esta condición puede incluirse en el conjunto de restricciones (3.25).

Otra forma de mejorar la convergencia consiste en introducir unos factores de aceleración, controlados en el transcurso de las iteraciones, que ponderan los incrementos de la curvatura tal como se hace en la ecuación (3.26); sin embargo, ω no se mantiene constante en todas las iteraciones sino que se determina en cada una de ellas.

Como ya se ha indicado en las expresiones (3.6), (3.22) y (3.25) el algoritmo de corrección se basa en relaciones linealizadas, por lo que los desplazamientos no deben de abandonar la zona de trabajo admisible.

Se puede usar un factor ω que mantiene constante su producto por la relación del incremento medio de la curvatura respecto del valor medio de la curvatura total a lo largo de la zona del contorno considerado, según se indica en la ecuación siguiente:

w cte n C

n C

i i i

i

=

=

2 2

1 1 ω

(3.27)

Al principio del cálculo el valor de ω es pequeño puesto que las desviaciones del campo son demasiado grandes con respecto al deseado. Al aumentar el número de iteraciones y disminuir, por tanto, los valores de ∆C, aumenta el valor de ω. Debe cuidarse que al

final de las iteraciones el factor ω no conduzca a desplazamientos superiores a los necesarios lo que provocaría una oscilación del contorno alrededor de un valor medio.

A partir de los casos estudiados por Grönewald se estima que el valor óptimo de w es de 0,1.

Al igual que en el método de Singer y Grafoner [119], según lo explicado en el párrafo 3.2.2.2.1, es posible despreciar la influencia de la zona del contorno modificado sobre las cargas de simulación correspondientes a las zonas del contorno suficientemente alejadas de ella.

3.2.4 Optimización respecto a la tensión de inicio de la descarga