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Capítulo 3 Métodos de Optimización de Aparamenta de Alta Tensión

3.3 Métodos de optimización de electrodos con simetría rotacional basados en la selección de cargas equivalentes

3.3.2 Método de Zeng-Yao

3.3.2.1 Introducción

En 1987 Fei Zeng-Yao [150] presento un método de optimización basado en el método de simulación de cargas en el que se trata a la vez de optimizar la posición de las cargas de simulación para minimizar los errores del cálculo de potencial.

3.3.2.2 Teoría básica y formulación del contorno de diseño

• Conceptos básicos del CSM.

Se recuerda que en el método CSM se tiene para problemas Laplacianos la relación entre las cargas y la condición de contorno de Dirichlet que es:

[ ][ ] [ ]P Q = φ (3.62)

La matriz columna [Q] de cargas de simulación se obtiene resolviendo la ecuación (3.62), y se puede calcular la intensidad de campo a lo largo del contorno por:

[ ][ ] [ ]F Q = E (3.63)

Donde [F] es la matriz de coeficientes de intensidad de campo.

En un sistema de coordenadas polares bidimensionales, la ecuación anterior se puede expresar del siguiente modo:

[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]Fzr Q Erz

E Q F

=

= (3.64)

• Ecuación incremental.

Se tiene una función objetivo Eg = f( )r , que es la distribución de campo deseada, y una distribución de campo Ec= f( )rc que se calcula a partir de la forma inicial del electrodo.

La diferencia entre [Eg] y [Ec] es:

[ ]E =

[ ]

Eg [ ]Ec (3.65)

De forma análoga a la ecuación (3.63), puede formularse la ecuación:

[ ] [ ][ ]E = C Q (3.66)

que se denomina ecuación incremental, donde [C] es la matriz de coeficientes de corrección (CCM), [∆Q] es una matriz columna de cargas incrementales. Si se puede hallar la CCM [C], entonces las cargas incrementales [Q] se obtienen de la ecuación (3.66). Los valores de las nuevas cargas nuevas resultan entonces:

[ ] [ ] [ ]Q = Q + Q (3.67)

Cuando el electrodo se simula por las nuevas cargas [Q’], el contorno original deja de ser una superficie equipotencial. La nueva superficie equipotencial se toma como un nuevo contorno. Mediante un proceso iterativo, se obtiene un nuevo contorno del modo deseado.

• Formulación del cálculo.

En sistemas de coordenadas polares bidimensionales, se tiene:

2

donde r′ , z′ son vectores unitarios de los ejes r y z. Diferenciando ambos miembros de la ecuación (3.68) y considerando la ecuación (3.64), se obtiene:

( ) i

donde el subíndice “i” es el índice de cualquier punto del contorno del electrodo, N es el número de las cargas de simulación, y los coeficientes Fri, j, Fzi, j son los coeficientes de la intensidad de campo entre carga de simulación y un punto de contorno. Cuando se escoge el tipo de carga de simulación, el término

, presenta cinco variables: ri, zi (las coordenadas de los puntos de contorno);

rj, zj (las coordenadas de las cargas de simulación) y Qj. Si se escogen los valores de las cargas de simulación como variables de optimización, la ecuación (3.69) se expresa como:

Y simplificada queda:

j ij

i C Q

E =

(3.71)

Donde:

= 



+

= N

j

i zij rij zi i

ij ri F

E F E E C E

1

(3.72)

Y para la totalidad del sistema se tiene:

[ ] [ ][ ]E = C Q (3.73)

La ecuación (3.73) es la ecuación incremental en la que se basa la optimización de los valores de las cargas de simulación. Según la ecuación (3.73), la modificación de los valores de [∆Q] viene determinado por el valor de [E].

Si las coordenadas de las cargas de simulación o los puntos de contorno se escogen como variables de optimización, las fórmulas resultantes son más complicadas que la que presenta la ecuación (3.72).

Según los nuevos valores de las cargas de simulación, se obtiene una superficie equipotencial nueva y una distribución de campo. Comparando la distribución de campo nueva con la función objetivo, se repite el procedimiento como se muestra en la Fig. 3.13, hasta que se alcanza el objetivo.

Entrada de las coordenadas del electrodo y la función objetivo de E

Cálculo de la distribución de campo por medio del CSM y valor medio Eav a lo

largo de la superficie del electrodo.

Compara la diferencia entre Eg y Ec. Si EgiEci >0

Cálculo de la matriz de coeficientes de modificación [C] y la de las cargas

incrementales [C].

Dibujar el contorno del nuevo electrodo

Las coordenadas del nuevo contorno.

Si

No

Fig. 3.13. Diagrama de flujo del programa de optimización.

3.3.2.3 Simulación de la superficie equipotencial

De acuerdo con el CSM original, las posiciones de las cargas de simulación se distribuyen arbitrariamente y los valores de las cargas de simulación los fijan las condiciones de contorno según la ecuación (3.62). Para sistemas de electrodos simples, es fácil obtener resultados exactos. Si la configuración del electrodo es más complicada, no es tan fácil obtener resultados ideales, especialmente para el cálculo de la intensidad de campo. En el procedimiento del diseño óptimo del electrodo, el valor de la intensidad de campo es el parámetro más importante. Consecuentemente la disposición óptima de las cargas de simulación llega a ser el problema clave para los resultados ideales.

Se asume que φi (i =1,2,..M) son los potenciales calculados por medio de las cargas de simulación, los φison los valores dados del contorno. Si la ecuación:

( )

h min

F

M

i i M

i

i

i = =

=

∑ ∑

=

=

1

2 1

φ 2

φ (3.74)

se satisface, entonces los valores de φ son los resultados exactos del problema. La función F se denomina la función objetivo, depende de las posiciones y valores de las

cargas de simulación, y estos son los parámetros de diseño del proceso de optimización.

Se escoge la fórmula de Fletcher [35] como un método de optimización para encontrar las cargas de simulación. La experiencia ha mostrado que tratar con las posiciones y valores de las cargas de simulación como los parámetros de diseño de modo alternativo es más eficiente que tratarlos como variables al mismo tiempo. Si se escogen cargas anulares de simulación las formulaciones del cálculo son como siguen:

( ) posiciones de los puntos de contorno y las cargas anulares respectivamente.

( ) ( )

En la resolución del problema de optimización (3.74) las coordenadas de las cargas no pueden tomar valores cualesquiera, sino que se mueven dentro de una distancia dada dr0

respecto de las coordenadas de las posiciones de las cargas iniciales. Esto implicaría la solución de un problema con restricciones. Este problema puede simplificarse convirtiéndolo en un problema de optimización sin restricciones si se utiliza el siguiente cambio de variables:

N

θj z

r 0

rj

v

Qj(rj, zj)

(r0j, z0j) drj

Fig. 3.14. Transformación de variable.

El significado de las variables se denota en la Fig. 3.14, donde r0j, z0j, θj, dr0j, son constantes dadas, y las variables de rj, zj, se determinan a través de las xj que pasan a ser las nuevas variables de optimización.

j j j j j j j j j j j j j j

x r dr

sin F z dr

F x

r r F x z z

F x

F 0 0 cos cos

+

=

+

=

θ θ (3.78)

Este método presentado es válido para problemas con simetría axial o para otros problemas tridimensionales pero con un solo dieléctrico.