Capítulo 2 Métodos Numéricos de Cálculo de Campos Eléctricos
2.1.2 Métodos numéricos de cálculo de campos
La estimación de cómo se desarrolla el proceso electromagnético es una de las etapas más importantes y difíciles en el proceso de diseño de los dispositivos electromagnéticos. Como se ha visto en el planteamiento del problema, el modelo teórico del proceso electromagnético se basa en las leyes fundamentales de la electrodinámica establecidas por las ecuaciones de Maxwell [82] con las condiciones apropiadas de contorno. De este modo desde el punto de vista matemático, el cálculo del proceso electromagnético viene dado como un problema de valores de contorno descrito por un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. Si al modelo teórico se añade la información de las características geométricas del sistema, las características de los medios donde discurre el proceso, y las características de las fuentes de campo, se obtiene toda la información necesaria sobre el proceso electromagnético en los alrededores del dispositivo electromagnético examinado (es decir, líneas de campo, líneas equipotenciales, localización de intensidades eléctricas máximas, fuerzas electromagnéticas, etc.).
Mediante la introducción de ciertas suposiciones y simplificaciones, se puede obtener el modelo matemático del proceso electromagnético para un dispositivo electromagnético específico.
Atendiendo al tipo de ecuaciones que se deben resolver, los modelos matemáticos se pueden dividir del siguiente modo:
• Diferenciales (el modelo matemático se describe por un sistema de ecuaciones en derivadas parciales con condiciones de contorno apropiadas).
• Integrales (el modelo matemático se basa en una ecuación integral).
• Diferencial – Integral (la combinación de los modelos dados previamente, por lo cual el proceso electromagnético en algunas partes se describe por ecuaciones diferenciales, y en otro por ecuaciones integrales).
Cuando se resuelven los modelos matemáticos diferenciales, se utiliza la aproximación llamada:
• Método de Diferencias Finitas.
El Método de Diferencias Finitas [36][142][38][101] ha sido utilizado durante un largo tiempo en la práctica para el cálculo de campos electrostáticos y magnetostáticos con simetría axial y de dos dimensiones (2D). El fundamento de este método consiste en trasladar un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales a un conjunto de ecuaciones en diferencias, usando una red ortogonal apropiada. Una vez que los puntos de la red dentro del área de interés están numerados, el sistema de las ecuaciones en diferencias se reduce a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales de muy alto orden. Una de las características de este sistema es una matriz de coeficientes muy esparcida. Este método proporciona relativamente buenos resultados en el cálculo de los modelos 2D de aparatos de alta tensión y máquinas eléctricas cuando se toman en consideración curvas de magnetización no lineales. Las dificultades de este método están en la construcción de la malla que mejor aproxima las líneas de contorno entre medios diferentes, el gran número de datos de entrada requeridos, y una necesidad para la diferenciación numérica.
Para la solución numérica de los modelos integrales, se utilizan:
• El Método de Elementos Finitos,
• El Método de Simulación de Cargas,
• y el Método de Elementos de Contorno.
El Método de Elementos Finitos se utiliza satisfactoriamente para resolver campos electromagnéticos 2D y 3D, y para otras aplicaciones técnicas. Este método se basa en el cálculo variacional, donde la solución de los problemas de campo se reduce a la determinación del estado estacionario de la función de energía apropiada. Empezando con este hecho, teniendo en consideración que entre las necesarias partes pequeñas del área observada (elementos finitos), la función de campo se puede expresar como una función analítica de la posición dentro de los elementos finitos, puede llegar a formularse un sistema de ecuaciones algebraico. Resolviéndolo, es posible colegir la información sobre la función de campo en el área de interés. Esta ecuación matricial es de un orden relativamente alto, con una matriz de coeficientes esparcida, que puede ser resuelta usando métodos iterativos o algunos métodos directos especiales. El principal inconveniente de este método es generalmente el gran número de datos de entrada que son necesarios cuando se define la geometría y los parámetros materiales de los elementos finitos del área seleccionados y el tamaño de los sistemas en configuraciones 3D.
En el Método de Simulación de Cargas [121][141][78][26][1][5][112][5], se usan las llamadas cargas equivalentes (puntuales, lineales, cargas en anillo) colocadas en el interior del electrodo. Los valores de estas cargas se determinan de tal modo que se
satisfacen las condiciones de contorno. La posición de estas cargas se selecciona para evitar la singularidad del operador integral, y de este modo los coeficientes de la ecuación matricial algebraica puedan ser determinados analíticamente. Este método ha encontrado su aplicación en el análisis de campos electrostáticos en ingeniería de alta tensión. Este método extendido mediante la introducción de las cargas de área equivalentes da lugar al Método de Simulación con Cargas Superficiales colocadas directamente en la superficie de los electrodos y contornos dieléctricos.
En el Método de Elementos de Contorno [10][13][22], se divide la superficie del electrodo y del aislador en superficies más pequeñas. En cada una de estas superficies se aproxima el integrando de la ecuación integral por una función polinómica de coeficientes indeterminados. Estos coeficientes se determinan obligando a que la ecuación integral se cumpla en tantos puntos de contorno como coeficientes indeterminados existan. El número de estos coeficientes viene dado por la exactitud requerida. De este modo se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas. Las características de los medios son tomadas habitualmente como valores constantes para un cierto elemento. La matriz de los coeficientes de las ecuaciones algebraicas, obtenida de este modo, es de relativamente bajo orden. Sin embargo es llena y con valores de coeficientes no constantes en el caso de medios no lineales. En este último caso para la solución de la ecuación algebraica matricial, se usa una combinación de inversión matricial directa y un proceso iterativo para ajuste de parámetros no lineales a lo largo de los elementos de contorno [33][24][22]. El punto débil de este método es la aparición de una matriz llena de elementos y el relativo gran consumo de tiempo de computación para el cálculo de los coeficientes matriciales. Las ventajas de este método son el relativo pequeño número de datos de entrada necesarios para la exacta descripción de las características del sistema, y la colocación de los elementos de contorno sólo sobre las fronteras entre los diferentes medios. Este método hace posible la solución de los denominados “campos sin fronteras” donde la aplicación del FDM y el FEM es más difícil.
La utilización de uno u otro de los métodos presentados vendrá en función de las características geométricas y eléctricas de la configuración en estudio como de las disponibilidades de medios de cálculo. En los siguientes apartados se realiza una presentación más detallada de los principales métodos numéricos para el cálculo del campo eléctrico.