no nilpotentes
En esta sección daremos una descripción libre de coordenadas de las métricas cor- respondientes a los Teoremas 2.23 y 2.24, lo que será de gran utilidad para abordar la construcción de nuevos ejemplos de variedades de Osserman en dimensiones superiores.
Partiendo de la caracterización de las métricas de Walker autoduales en el Teorema 1.13 obtenemos la siguiente versión del Teorema 2.24 libre de coordenadas, lo que, además, permite dar una interpretación geométrica de la Ecuación (2.5).
Teorema 2.26. Una métrica de Walker Ricci llana y autodual en dimensión cuatro es
localmente isométrica al fibrado cotangente T∗Σ de una superficie afín (Σ, D) equipado con
la métrica dada por la extensión de Riemann deformada gD,Φ, donde D es una conexión
libre de torsión con tensor de Ricci antisimétrico y Φ es un tensor arbitrario simétrico de tipo (0, 2) en Σ.
2.2 Métricas de Osserman Tipo II con operadores de Jacobi no nilpotentes 43
Además, el operador de Weyl autodual W+ es nilpotente en tres pasos cuando la su-
perficie afín (Σ, D) es no llana, en cuyo caso se puede expresar en coordenadas adaptadas
(x1, x2) por
Γ111= −∂1ϕ, Γ222= ∂2ϕ
para una función arbitraria ϕ verificando ∂12ϕ 6= 0.
Si la superficie afín (Σ, D) es llana entonces el operador W+ es nilpotente en dos pasos
si y sólo si ∂22Φ11− 2∂12Φ12+ ∂11Φ226= 0, y se anula cuando se da la igualdad.
Demostración. Como ya se ha mencionado en la Sección 1.8.3, toda métrica de Walk-
er autodual y Ricci llana es necesariamente la extensión de Riemann deformada de una superficie afín (Σ, D), lo que también se sigue de forma inmediata de la expresión local de la métrica determinada por la Ecuación (2.4). Un cálculo sencillo permite interpretar ahora la Ecuación (2.5) en términos del tensor de Ricci de D que ha de ser antisimétrico, independientemente del campo de tensores Φ.
Procediendo como en [85], en un entorno de cada punto donde la curvatura no se anule el tensor de Ricci define una forma de volumen, por lo que es recurrente y, por tanto, la conexión D ha de ser recurrente en un entorno de cada punto donde la curvatura no se anule. La existencia de coordenadas (x1, x2) donde la conexión viene dada por Γ111= −∂1ϕ,
Γ2
22 = ∂2ϕ se sigue ahora de [67, 159]. Finalmente, un cálculo sencillo muestra que el
operador de Weyl autodual es nilpotente en tres pasos (independientemente del campo de tensores Φ) si y sólo si la curvatura de D es no nula. Además, (T∗Σ, gD,Φ) es llana si y sólo
si D es llana y ∂22Φ11− 2∂12Φ12+ ∂11Φ22= 0, de donde se sigue el resultado.
Las variedades de Osserman Tipo II con operadores de Jacobi no nilpotentes se cor- responden con variedades de Walker [12]. La condición de que una variedad de Walker de Osserman sea antiautodual, es decir W+≡ 0, implica que la curvatura escalar, τ , sea idén-
ticamente nula y por tanto necesariamente ha de tener operadores de Jacobi nilpotentes [74]. Por tanto las métricas de Osserman Tipo II con operadores de Jacobi no nilpotentes han de ser variedades de Walker autoduales de Einstein, es decir, las métricas de Walker dadas por las Ecuaciones (2.2) y (2.3). Como se vio en el Teorema 1.13 las métricas de Walker autoduales se pueden expresar en términos de extensiones de Riemann modificadas. Por lo tanto, particularizando las métricas vistas en el Teorema 1.13 para métricas Einstein y no Ricci llanas se obtiene el siguiente resultado.
Teorema 2.27. Sea (M, g) una variedad de Osserman Tipo II con operadores de Jacobi
no nilpotentes. Entonces (M, g) es localmente isométrica al fibrado cotangente T∗Σ de una
superficie afín (Σ, D), con tensor métrico gD,Φ,τ 6 = τ 6 · ι Id ◦ι Id +gD+ 24 τ σ ∗Φ,
donde τ 6= 0 denota la curvatura escalar de (T∗Σ, g
D,Φ,τ6), D es una conexión afín arbitraria
44 2 El operador de Jacobi: variedades de Osserman en dimensión cuatro
Demostración. Procediendo como en el Teorema 1.13, una métrica de Osserman Tipo II
de curvatura escalar no nula τ se obtiene como la extensión de Riemann modificada de una conexión libre de torsión D dada por
DΓ1
11= −12P (x1, x2), DΓ211= −12Q(x1, x2), DΓ112= −12U (x1, x2),
DΓ2
12= −12V (x1, x2), DΓ122= −12S(x1, x2), DΓ222= −12T (x1, x2),
manteniendo la notación establecida en [74, Teorema 3.1].
Observación 2.28. Los primeros ejemplos de métricas de Osserman Tipo II no Ricci llanas
fueron dados en [75] como sigue. Sea M = R4 con las coordenadas usuales (x
1, x2, x3, x4)
y consideremos la métrica dada por
(2.6) g = 2(dx1◦ dx3+ dx2◦ dx4) + (4kx
2
1−4k1 f (x4)2)dx3◦ dx3
+4kx2
2dx4◦ dx4+ 2(4kx1x2+ x2f (x4) − 4k1 f0(x4))dx3◦ dx4,
donde k es una constante no nula y f (x4) es una función arbitraria.
Ahora, un cálculo sencillo nos muestra que la Ecuación (2.6) no es más que la extensión de Riemann modificada g = 4k · ι Id ◦ι Id +gD+1kσ∗Φ de una conexión libre de torsión D
dada por DΓ2
12= −12f (x2), cuyo tensor de Ricci viene dado del siguiente modo
Dρ = −1
4f (x2)2dx1⊗ dx1−12f0(x2)dx1⊗ dx2.
El tensor de Ricci de dicha conexión no es ni simétrico ni antisimétrico. Si consideramos su simetrizado tenemos
Capítulo 3
El operador de Jacobi: nuevos
ejemplos de variedades de Osserman
El estudio de las variedades de Osserman en dimensiones mayores que cuatro presenta grandes diferencias respecto al caso estudiado en el capítulo anterior.
A nivel algebraico es importante señalar la existencia de tensores curvatura algebraicos de Osserman que, sin embargo, no son Jordan-Osserman [86]. Además, la condición Jordan- Osserman es especialmente restrictiva en signatura no neutra, donde conlleva la diagonal- izabilidad de los operadores de Jacobi [97]. En signatura neutra, sin embargo, para cada operador autoadjunto dado existen tensores curvatura algebraicos de Osserman cuyos op- eradores de Jacobi reflejan dicho operador.
A pesar de la infinidad de tensores curvatura algebraicos de Osserman, las únicas var- iedades de Osserman conocidas tienen operadores de Jacobi diagonalizables o nilpotentes, por lo que se plantea el problema de construir nuevos ejemplos cuyos operadores de Jaco- bi no se correspondan con las situaciones conocidas. Motivados por la descripción de las variedades de Osserman en el Teorema 2.27, en este capítulo se aborda la construcción de nuevos ejemplos de variedades de Osserman con operadores de Jacobi no diagonalizables ni nilpotentes en signatura neutra arbitraria.
En la Sección 3.1 se prueba que toda variedad paraKähler de curvatura seccional para- holomorfa constante se puede describir localmente en términos de la extensión de Riemann modificada de una conexión llana. Así, los ejemplos buscados se obtendrán en la Sección 3.2, al considerar extensiones de Riemann modificadas de conexiones afines Osserman, lo que en cierto modo puede interpretarse como una deformación de las variedades paraKähler de curvatura seccional paraholomorfa constante. En la Sección 3.3 se muestra que todas las extensiones de Riemann modificadas son semi paracomplejas Osserman, lo que constituye una diferencia esencial en el estudio del operador de Jacobi paracomplejo con respecto al operador de Jacobi usual. Finalmente en la Sección 3.4 mostramos un ejemplo sencillo donde la estructura subyacente a la base es la de una superficie afín con tensor de Ricci antisimétrico. Haremos un estudio detallado de la forma de Jordan de los operadores de
46 3 El operador de Jacobi: nuevos ejemplos de variedades de Osserman Jacobi, mostrando que los ejemplos obtenidos no son Jordan-Osserman.