Modelos detallados del contacto

En este primer grupo se enmarcan los modelos de engranajes cuya metodología para el cálculo de esfuerzos, permite resolver los fenómenos del contacto con una alta precisión. Concretamente, se van a distinguir los modelos basados en el método de los elementos finitos con mallado de alta densidad y los modelos con precisión suficiente para captar los fenómenos locales de contacto (calculo numérico de la distribución de presiones).

Modelos basados en MEF con mallado de alta densidad

En estos modelos, el mallado se determina generalmente a partir del análisis previo del proceso de contacto (TCA). Este procedimiento proporciona los puntos de contacto y la posición de cada una de las ruedas. Una vez definido el modelo de elementos finitos, el análisis cuasi-estático se resuelve empleando las herramientas disponibles para abordar el problema de contacto. Un ejemplo de éstos es el modelo de Argyris [2002], quien propuso la

construcción de únicamente una porción de los dientes de la rueda y el piñón para engranajes cónicos espirales. Litvin, siguiendo un procedimiento análogo al de Argyris, realizó su propuesta para ruedas de cara con piñón de dientes rectos [Litvin, 2002], para engranajes cilíndricos helicoidales [Litvin, 2003] y para transmisiones mediante tornillo sin fin [Litvin, 2006]. En dicho modelo se consideró empotrado el contorno de la rueda, mientras que los dientes del piñón se situaban en superficies rígidas indeformables. Otros autores en vez de utilizar un mallado denso en todo el conjunto analizado, han optado por un enfoque de mallado de alta densidad en las zonas potenciales de contacto, estableciendo un mallado menos denso en el resto del cuerpo del engranaje. En esta línea está la propuesta de Li [2007], que presentó un modelo 3D con mallado de mayor densidad en las proximidades a los puntos de contacto, que resuelve el problema de contacto mediante la utilización de un algoritmo

basado en el método Simplex. Propuestas similares se encuentran en los trabajos de Wang

[2003a] para 2 y 3D y Sirichai [1999] exclusivamente para 2D. Ambos casos emplearon una aplicación comercial con mallado automático. Brauer propuso el procedimiento de construcción de un modelo de ruedas cónicas a través de MEF [Brauer, 2002, 2003, 2004], con posibilidad de contacto en ambos flancos y con alta densidad de mallado en las zonas de contacto. Posteriormente lo extendió a 3D [Brauer, 2005].

En todos estos casos se recurre a la simulación conjunta de la pareja de ruedas que constituyen la transmisión. Este planteamiento exige la resolución de un sistema de ecuaciones de gran tamaño y con la existencia de no linealidades, lo que requiere un elevado esfuerzo computacional.

Modelos basados en el cálculo numérico de la distribución de presiones

Estos modelos calculan la distribución de presiones en el contacto fluido, con el fin de conocer las deformaciones locales y otros parámetros de interés, como son el espesor de la película de lubricante, la temperatura, etc… Como ya se ha mencionado el método de cálculo es numérico y a continuación se presentarán algunos modelos desarrollados por la comunidad científica.

Dowson y Higginson [Dowson, 1959] utilizaron un proceso iterativo para resolver el contacto fluido en régimen de lubricación elastohidrodinámico. Concretamente, resolvieron la ecuación de Reynolds numéricamente dentro de la teoría de la elasticidad para contactos lineales. Este proceso seguía dos métodos diferenciados dependiendo de la carga aplicada al contacto. El primero de estos métodos (método directo), utilizaba como dato de partida la forma de la película fluida, obteniendo a partir del proceso iterativo la distribución de presiones así como las deformaciones en el contacto. El segundo método (método inverso) empleaba como dato inicial la distribución de presiones y la función objetivo era el espesor de película de lubricante. El método directo se implementó para el caso de bajas cargas en el contacto, mientras que el método inverso fue utilizado para la resolución de problemas con cargas elevadas. Posteriormente, Hamrock y Dowson [Hamrock, 1977a, 1977b] extrapolaron el método directo a la resolución de problemas de contacto puntual.

Okurama [1982] presentó un enfoque novedoso hasta la fecha, partiendo del método por diferencias de Euler y el enfoque de Newton-Raphson, para resolver el problema del contacto lineal en presencia de lubricante. Aunque fueron Houpert y Hamrock [Houpert, 1986] los que a partir del uso de esta metodología, obtuvieron soluciones satisfactorias en el problema de contacto lineal para presiones Hertzianas máximas cercanas a 5 GPa. A partir de ese

momento, se empezaron a adoptar solvers multinivel, siendo Lubrecht [1987] el primero que

técnicas de mallado múltiple (multigrid). Dowson y Yao [Dowson, 1990] desarrollaron un enfoque novedoso, en aquel momento, consistente en la aplicación del método Newton-SOR (sucessive over relaxation) a la resolución del problema de contacto. En línea con el método de la relajación de parámetros, Venner [1990, 1991, 1992] introdujo esquemas de relajación distributiva para resolver problemas de elastohidrodinámica para altas cargas. Yang [1992] estudió el comportamiento de fluidos no Newtonianos en contactos lineales bajo cargas dinámicas. Para ello resolvió, numéricamente, las ecuaciones de la energía y de Reynolds, obteniendo la temperatura y distribución de presiones en cada punto de contacto.

Actualmente, los métodos de resolución numérica del contacto fluido siguen basándose en los fundamentos y métodos expuestos, aunque contando con herramientas de cálculo más potentes y rápidas. Por ejemplo, De la Cruz [2011] presentó su modelo numérico de contacto en régimen elastohidrodinámico, en él combina la ecuación de Reynolds con el modelo de cavitación de Elrod. Para la integración numérica de dichas ecuaciones, se basó en el método de diferencias finitas propuesto por Vijayaraghavan [1989] y el método modificado de Newtow-Raphson, que ya había sido utilizado por Jalali [1998] y Kushwaha [2004]. Para la resolución del problema utilizó las técnicas de iteración de Gauss-Seidel, así como parámetros de relajación para encontrar la solución más rápidamente. Bobach [2011] propuso un modelo tridimensional elastohidrodinámico que tiene en cuenta el efecto de la temperatura, incorporando la fricción en condiciones de lubricación mixtas (teniendo en cuenta la rugosidad de los perfiles). El modelo está basado en el cálculo numérico de la ecuación de Reynolds, la de la energía y la transmisión de calor de Fourier. Anuradha [2011] estudió el cambio de las propiedades del lubricante en engranajes rectos paralelos, a través de la resolución numérica las ecuaciones de Reynolds y de la energía. Las propiedades reológicas de los fluidos se implementaron a través del modelo de Tait, el cual calcula la densidad en función de las condiciones de presión y temperatura [Bair, 2007], [Krupka, 2010] y del modelo de Doolittle para el cálculo de la viscosidad [Bair, 2007], [Kumar 2009]. Habchi [2012] propuso un modelo de elementos finitos para el cálculo de la distribución de presiones en el contacto bajo lubricación elastohidrodinámica en régimen cuasi-estático y presentó técnicas para la reducción del modelo con el objetivo de “aligerar” el proceso de cálculo. Este enfoque suele ser el elegido por muchos autores como Almqvist [2008] y Hartinger [2008],

que utilizan códigos comerciales basados en Computational Fluid Dynamics (CFD), como

FLUENT o ANSYS. Zhu [2012] propuso un modelo numérico para la resolución de la distribución de presiones en engranajes helicoidales considerando el efecto de la temperatura. Posteriormente Mihailidis [2013] presentó un modelo de cálculo de presiones, bajo condiciones de lubricación elastohidrodinámica extremas, en contactos lineales y fluidos no Newtonianos. Además, Jamali [2015] propuso un modelo similar para engranajes helicoidales, analizando el efecto de los rebajes en la punta de los dientes en la distribución de presiones.