Modelos pedagógicos

Sthn Parˆgrafo 5.2 orÐsame thn w topologÐa se ènan q¸ro X me nìrma, san thn topikˆ kurt  topologÐa pou orÐzetai ston X apì thn oikogèneia hminorm¸n P = {px∗ : x∗ ∈ X∗}, ìpou p_x∗(x) = |x∗(x)|. Mia bˆsh perioq¸n tou 0 apoteleÐtai apì ta sÔnola thc morf c

B(x∗

1, . . . , x∗n; ε) = {x ∈ X : |x∗i(x)| < ε, i = 1, . . . , n},

ìpou n ∈ N, x∗

i ∈ X∗, ε > 0. Parathr ste ìti, an o X eÐnai apeirodiˆstatoc,

tìte oi w-perioqèc tou 0 den eÐnai fragmèna sÔnola: èqoume

n

\

i=1

Ker(x∗i) ⊂ B(x∗1, . . . , x∗n; ε)

gia kˆje ε > 0, dhlad  kˆje w perioq  tou 0 perièqei kˆpoion upìqwro tou X peperasmènhc sundiˆstashc.

Prìtash 5.4.1. Kˆje w anoiktì sÔnolo eÐnai k · k-anoiktì. Apìdeixh. 'Estw U èna w anoiktì sÔnolo. Tìte,

U = [

x∈U

(x + Bx),

ìpou Bxeinai w anoikt  basik  perioq  tou 0. 'Omwc, kˆje BxeÐnai sÔnolo thc

morf c

n

\

i=1

{x ∈ X : |x∗i(x)| < ε}

dhlad  k·k anoiktì sÔnolo (diìti, kˆje x∗

i ∈ X∗eÐnai suneqèc wc proc thn k·k).

5.4 H asjenhc topologia · 99 Prìtash 5.4.2. 'Estw (xi)dÐktuo ston X kai x ∈ X. Tìte, xi −→ xw an kai

mìno an x∗_(x

i) → x∗(x)gia kˆje x∗∈ X∗.

Apìdeixh. Parathr ste pr¸ta ìti an x∗_{∈ X}∗ _{tìte to x}∗_{eÐnai w suneqèc: arkeÐ}

na elègxoume ìti to x∗ _{eÐnai w suneqèc sto 0, to opoÐo eÐnai profanèc afoÔ gia}

kˆje ε > 0 to sÔnolo {x ∈ X : |x∗_{(x)| < ε}eÐnai w anoiktì.}

Aut  h parat rhsh mac dÐnei amèswc thn mÐa kateÔjunsh: an xi −→ x, tìtew

x∗_(x

i) → x∗(x)gia kˆje x∗∈ X∗.

AntÐstrofa: upojètoume ìti x∗_(x

i) → x∗(x)gia kˆje x∗∈ X∗. 'Estw U mia

w anoikt  perioq  tou x. Upˆrqoun x∗

1, . . . , x∗n ∈ X∗ kai ε > 0 ¸ste

{y ∈ X : |x∗

k(y) − x∗k(x)| < ε, k = 1, . . . , n} ⊆ U.

Gia kˆje k = 1, . . . , n upˆrqei ik ¸ste: an i ≥ ik tìte |x∗k(xi) − x∗k(x)| < ε.

BrÐskoume i0 ≥ ik gia kˆje k ≤ n. Tìte, gia kˆje i ≥ i0 èqoume |x∗k(xi) −

x∗

k(x)| < εgia kˆje k = 1, . . . , n. Dhlad , xi∈ U. 'Epetai ìti xi−→ xw . 2

(a) Asjen¸c suneq  sunarthsoeid 

SumbolÐzoume me (X, w)∗ _{ton grammikì q¸ro twn w suneq¸n grammik¸n sunar-}

thsoeid¸n f : X → K kai me X∗ _{ton duðkì tou (X, k · k), ton gnwstì mac q¸ro}

twn k · k fragmènwn grammik¸n sunarthsoeid¸n. Ja deÐxoume ìti (X, w)∗= X∗.

H apìdeixh basÐzetai sto ex c L mma:

L mma 5.4.3. 'Estw g, f1, . . . , fn : X → Kgrammikˆ sunarthsoeid  me thn

idiìthta Tn

k=1

Ker(fk) ⊆ Ker(g). Tìte, upˆrqoun a1, . . . , an∈ K¸ste g = a1f1+

· · · + anfn.

Apìdeixh. JewroÔme thn grammik  apeikìnish T : X → Kn _me

T (x) = (f1(x), . . . , fn(x))

kai to grammikì sunarthsoeidèc ψ : T (X) → K me ψ(T (x)) = g(x).

O T (X) eÐnai grammikìc upìqwroc tou Kn_{kai to ψ eÐnai kalˆ orismèno grammikì}

sunarthsoeidèc ston T (X): an T (x1) = T (x2) ∈ T (X), tìte fk(x1) = fk(x2)gia

kˆje k = 1, . . . , n, ˆra x1−x2∈

n

T

k=1

Ker(fk). Apì thn upìjesh, x1−x2∈ Ker(g),

dhlad  g(x1) = g(x2). H grammikìthta elègqetai eÔkola.

H ψ epekteÐnetai se èna grammikì sunarthsoeidèc ˜ψ : Kn _{→ K. Upˆrqoun}

a1, . . . , an∈ K¸ste: gia kˆje t = (t1, . . . , tn) ∈ Kn,

˜

ψ(t1, . . . , tn) = a1t1+ · · · + antn.

Tìte, gia kˆje x ∈ X èqoume

g(x) = ψ(T (x)) = ˜ψ(f1(x), . . . , fn(x)) = a1f1(x) + · · · + anfn(x).

Je¸rhma 5.4.4. 'Estw X ènac q¸roc me nìrma. Tìte, (X, w)∗_{= X}∗_.

Apìdeixh. 'Eqoume parathr sei ìti X∗ _{⊆ (X, w)}∗_{. AntÐstrofa, èstw f :}

X → K èna w suneqèc grammikì sunarthsoeidèc. Upˆrqei basik  perioq  B(x∗

1, . . . , x∗n; ε) ¸ste: an x ∈ B(x∗1, . . . , x∗n; ε) tìte |f(x)| < 1. Dhlad , an

|x∗

k(x)| < εgia kˆje k = 1, . . . , n, tìte |f(x)| < 1.

Autì èqei san sunèpeia thn Tn

k=1 Ker(x∗ k) ⊆ Ker(f ). Prˆgmati, an x ∈ Tn k=1 Ker(x∗

k), tìte, gia kˆje m ∈ N kai gia kˆje k = 1, . . . , n

èqoume |x∗

k(mx)| = 0 < ε. 'Ara, |f(mx)| < 1 =⇒ |f(x)| < m1 gia kˆje m ∈ N.

'Epetai ìti f(x) = 0.

Apì to L mma 5.4.3 upˆrqoun a1, . . . , an ∈ K¸ste f = a1x∗1+ · · · + anx∗n.

Autì deÐqnei ìti f ∈ X∗_{. Sunep¸c, (X, w)}∗_{⊆ X}∗_{. 2}

(b) Asjen c kleist  j kh je¸rhma Mazur

'Estw A ⊆ X. AfoÔ h w topologÐa eÐnai mikrìterh apì thn k · k topologÐa, èqoume

Ak·k = \{B ⊆ X : A ⊆ Bkai B k · k − kleistì} ⊆ \{B ⊆ X : A ⊆ Bkai B w − kleistì} = Aw. An ìmwc to A eÐnai kurtì, tìte isqÔei isìthta:

Je¸rhma 5.4.5 (Mazur). 'Estw X ènac q¸roc me nìrma kai èstw A kurtì uposÔnolo tou X. Tìte,

Aw= Ak·k.

Apìdeixh. Upojètoume gia aplìthta ìti K = R. EÐdame ìti Ak·k⊆ Aw. 'Estw ìti upˆrqei x0 ∈ Aw\ Ak·k. To {x0} eÐnai sumpagèc kai to Ak·k eÐnai kurtì kai

kleistì ston (X, k · k). Sunep¸c, upˆrqoun x∗_{∈ X}∗ _{kai λ ∈ R ¸ste}

sup x∈Ax ∗_{(x) = sup} x∈Ak·k x∗(x) < λ < x∗(x). 'Omwc, x0∈ A w

, ˆra upˆrqei dÐktuo (xi)sto A me xi−→ x, kaiw

x∗_(x 0) = lim i x ∗_(x i) ≤ sup x∈Ax ∗_(x).

'Etsi, katal goume se ˆtopo. 2

'Amesec (kai qr simec) sunèpeiec tou jewr matoc tou Mazur eÐnai oi ex c. Pìrisma 5.4.6. 'Estw X ènac q¸roc me nìrma. 'Ena kurtì uposÔnolo tou X eÐnai asjen¸c kleistì an kai mìno an eÐnai k · k kleistì. 2 Pìrisma 5.4.7. 'Estw X ènac q¸roc me nìrma kai èstw Y ènac grammikìc

5.4 H asjenhc topologia · 101 Pìrisma 5.4.8. 'Estw X ènac q¸roc me nìrma kai èstw (xn)akoloujÐa ston

X me xi−→ 0. Tìte, upˆrqei akoloujÐa (yw k)kurt¸n sunduasm¸n twn xn ¸ste

kykk → 0.

ShmeÐwsh. Kˆje yk eÐnai diˆnusma thc morf c yk =

P_Nk

n=1aknxn, ìpou akn≥ 0

kaiPNk

n=1akn= 1.

Apìdeixh. JewroÔme to sÔnolo A = co{xn : n ∈ N}ìlwn twn kurt¸n sundua-

sm¸n twn xn. To A eÐnai kurtì, ˆra A w

= Ak·k. Apì thn upìjesh, èqoume 0 ∈ {xn: n ∈ N}

w

⊆ Aw.

'Epetai ìti 0 ∈ Ak·k, ˆra upˆrqei akoloujÐa (yk)sto A me kykk → 0. 2

(g) Asjen¸c suneqeÐc telestèc

'Estw X, Y q¸roi Banach kai èstw T : X → Y ènac grammikìc telest c. Lème ìti o T eÐnai asjen¸c suneq c an eÐnai suneq c sunˆrthsh wc proc tic asjeneÐc topologÐec twn X kai Y .

Je¸rhma 5.4.9. 'Estw X, Y q¸roi Banach kai èstw T : X → Y ènac gram- mikìc telest c. O T eÐnai fragmènoc an kai mìno an eÐnai asjen¸c suneq c. Apìdeixh. Upojètoume pr¸ta ìti o T eÐnai fragmènoc. Gia na elègxoume ìti o T eÐnai asjen¸c suneq c, arkeÐ na elègxoume thn w sunèqeia sto 0: èstw W mia asjen c perioq  tou 0 ston Y . Upˆrqoun y∗

1, . . . , y∗n∈ Y∗ kai ε > 0 ¸ste

{y ∈ Y : |y∗

k(y)| < ε, k = 1, . . . , n} ⊆ W.

OrÐzoume x∗

k : X → K me x∗k = yk∗ ◦ T. Kˆje x∗k eÐnai fragmèno grammikì

sunarthsoeidèc kai kx∗

kk ≤ kyk∗k · kT k. OrÐzoume

V := {x ∈ X : |x∗k(x)| < ε, k = 1, . . . , n}.

H V eÐnai w perioq  tou 0 ston X kai an x ∈ V tìte |y∗

k(T x)| = |x∗k(x)| < εgia

kˆje k = 1, . . . , n, dhlad  T (x) ∈ W . 'Ara, 0 ∈ V ⊆ T−1_{(W ).}

AntÐstrofa, upojètoume ìti o T eÐnai asjen¸c suneq c. An y∗ _{∈ Y}∗ ₌

(Y, w)∗_{, tìte (wc sÔnjesh asjen¸c suneq¸n sunart sewn) y}∗_{◦ T ∈ (X, w)}∗ ₌

X∗_{. Dhlad ,}

y∗_{∈ Y}∗_{=⇒ y}∗_{◦ T ∈ X}∗_.

Qrhsimopoi¸ntac aut  thn parat rhsh, ja deÐxoume ìti o T èqei k · k kleistì grˆfhma.

'Estw ìti kxn− xk → 0kai kT xn− yk → 0. Gia kˆje y∗∈ Y∗ èqoume

(y∗_{◦ T )(x} n) = y∗(T xn) → y∗(y) diìti T xn→ y, kai (y∗_{◦ T )(x} n) → (y∗◦ T )(x) = y∗(T x), diìti y∗_{◦ T ∈ X}∗ _{kai x}

n → x. 'Ara, gia kˆje y∗ ∈ Y∗ èqoume y∗(T x) = y∗(y).

AfoÔ o Y∗ _{diaqwrÐzei ta shmeÐa tou Y , paÐrnoume y = T x. Dhlad , to Γ(T )}

eÐnai k · k kleistì. Apì to je¸rhma kleistoÔ graf matoc, o T eÐnai fragmènoc. 2