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Modelos topol´ogicos no abelianos: condensaci´on y con-

5. Orden topol´ogico

5.3. Modelos topol´ogicos no abelianos: condensaci´on y con-

confinamiento de cargas topol´ogicas

Un aspecto que no hemos comentado a´un es la similitud del Hamiltoniano

(5.2) con el correspondiente a una teor´ıa gauge Z

2

en la red. La diferencia

radica en que en (5.2) no se impone la simetr´ıa gauge, si bien el estado

fundamental pertenece al sector que s´ı la posee. Resulta entonces natural

considerar generalizaciones a grupos gauge discretos no abelianos, en las que

los qudits tienen dimensi´on igual al orden del grupo. Estas generalizaciones

las considera Kitaev en [37] con el ´animo de esbozar la computaci´on cu´antica

topol´ogica que hemos comentado m´as arriba. Eligiendo grupos no abelianos,

el orden topol´ogico resulta ser no abeliano tambi´en, viniendo las cargas to-

pol´ogicas descritas por las representaciones irreducibles del doble cu´antico

del grupo [37].

En [14] tratamos en cierta profundidad estas generalizaciones a grupos

gauge discretos, completando e intentando iluminar el mencionado trabajo

de Kitaev [37]. En particular, hacemos un ´enfasis mayor en ciertos operadores

asociados a objetos geom´etricos con forma de cinta. Estos operadores cinta,

que pueden interpretarse como procesos en los que un par de excitaciones se

crea en uno de los extremos de la cinta y una de ellas se propaga hasta el otro

extremo, fueron ya introducidos en [37]. Sin embargo, en [14] los caracteriza-

mos por sus propiedades, introducimos las cintas cerradas y estudiamos una

serie de algebras asociadas a las cintas de las que se extraen inmediatamente

las cargas topol´ogicas del sistema.

Una vez desarrollada esta maquinaria, y con la idea de generalizar el

concepto de borde que encontr´abamos en el caso Z

2

en la secci´on anterior,

estudiamos una amplia familia de variaciones de los modelos de Kitaev pa-

ra grupos discretos arbitrarios. Estos modelos modificados incluyen nuevos

t´erminos a un solo cuerpo que generalizan los t´erminos de Zeeman del ca-

so Z

2

. Gracias a que los modelos son exactos, nos es posible extraer unan

gran cantidad de informaci´on sobre los modelos. En particular, encontramos

que los nuevos sistemas pueden interpretarse en t´erminos de la condensaci´on

de algunas de las cargas del sistema original, junto con el confinamiento de

otras. Utilizando los operadores cinta, encontramos que las paredes de domi-

nio que surgen del confinamiento pueden etiquetarse. Clasificamos entonces

los tipos de excitaciones en t´erminos de su carga topol´ogica y su etiqueta de

confinamiento.

Como ya se ha dicho, la motivaci´on original para estudiar esta familia de

modelos modificados radicaba en el deseo de generalizar la noci´on de borde

a sistemas con un grupo gauge discreto arbitrario. Este objetivo lo mate-

rializamos en [15], introduciendo el concepto de orden topol´ogico anidado.

Recordemos que en el caso Z

2

pod´ıamos practicar dos tipos de agujeros, aso-

ciados a t´erminos Zeeman X y Z. En ambos casos, el orden topol´ogico en los

agujeros queda completamente destruido. La novedad que surge al considerar

grupos m´as grandes es que es posible introducir agujeros en los que el orden

topol´ogico es destruido s´olo parcialmente, existiendo una gran variedad de

tipos de agujeros. Esta es la raz´on por que hablamos de orden topol´ogico

anidado.

Utilizando una vez m´as los operadores cinta, en [15] mostramos como la

introducci´on de estos agujeros, que ahora preferimos denominar islas, modifi-

ca el estado fundamental del sistema aumentando su degeneraci´on topol´ogica.

Al igual que hac´ıamos en el caso Z

2

, las islas pueden crearse, dividirse, mo-

verse y fusionarse, lo que da lugar a una generalizaci´on de la computaci´on

cu´antica topol´ogica usual basada en excitaciones.

Sumario de resultados

Generalizamos el concepto de operador cinta en los modelos topol´ogi-

cos con grupo gauge no abeliano desarrollados por Kitaev. Esto nos

permite caracterizar la carga topol´ogica en t´erminos de un algebra de

proyectores asociada a operadores cinta cerrados.

Introducimos nuevos t´erminos en los Hamiltonianos de estos modelos,

lo que da lugar a una familia de modelos exactamente solubles.

En los nuevos modelos parte o la totalidad del orden topol´ogico son

destruidos, y por tanto la simetr´ıa gauge se reduce o desaparece.

El mecanismo que produce esta reducci´on de la simetr´ıa es el confina-

miento de parte de las cargas topol´ogicas de los modelos originales.

Asimismo, encontramos que algunas de las cargas topol´ogicas aparecen

condensadas.

Caracterizamos las cargas topol´ogicas y las paredes de dominio de los

nuevos modelos utilizando ´algebras de proyectores asociadas a opera-

dores cinta tanto abiertos como cerrados.

Consideramos la posibilidad de introducir el mecanismo de reducci´on

de orden topol´ogico s´olo en ciertas ´areas del sistema. Esto da lugar al

concepto de orden topol´ogico anidado.

La introducci´on de islas con una simetr´ıa gauge reducida da lugar a

una degeneraci´on de origen topol´ogico en el estado fundamental del

sistema.

Las islas pueden dividirse, moverse y fusionarse, lo que da lugar a una

generalizaci´on de la computaci´on cu´antica topol´ogica usual.

6.

Resultados y conclusiones

En esta tesis se presentan trabajos encaminados a resolver el problema del

ruido en los sistemas cu´anticos. En el ´ambito de la informaci´on cu´antica, se

estudia de forma sistem´atica una familia de protocolos de destilaci´on cu´antica

para qudits:

Describimos el grupo de transformaciones locales que dejan invarian-

te la base de estados de Bell. Encontramos que los elementos de este

grupo producen permutaciones de los elementos de la base. Estas per-

mutaciones forman un grupo simpl´ectico af´ın.

Caracterizamos los estados invariantes bajo la acci´on de este grupo.

Estos estados, que llamamos heterotr´opicos, son relevantes pues son el

resultado de las operaciones de despolarizaci´on.

Estudiamos una amplia familia de protocolos de destilaci´on de entrela-

zamiento cu´antico basados en el grupo de permutaciones locales.

Consideramos protocolos de destilaci´on con y sin despolarizaci´on.

Para investigar los protocolos, empleamos m´etodos tanto anal´ıticos co-

mo computacionales.

Encontramos que los protocolos en los que se obtiene m´as de una pareja

de qudits en cada iteraci´on resultan ventajosos para fidelidades altas

pero in´utiles para fidelidades bajas.

Describimos una familia de puntos fijos comunes a todos los protocolos

considerados.

Generalizamos el algoritmo de amplificaci´on de privacidad cu´antico a

qudits.

Estudiamos el problema de la destilabilidad, encontrando que con los

protocolos considerados los qudits con dimensi´on no prima se compor-

tan peor que los de dimensi´on prima.

En lo tocante a la correcci´on cu´antica de errores, se introducen nuevos c´odigos

de car´acter topol´ogico y t´ecnicas especificas para su manipulaci´on:

Introducimos versiones cl´asicas de los c´odigos homol´ogicos que saturan

el l´ımite de Hamming.

Generalizamos los c´odigos homol´ogicos a complejos bidimensionales y

al caso de los qudits.

Encontramos que las superficies han de ser orientables para qudits de

dimensi´on mayor a dos.

Damos una perspectiva geom´etrica a c´odigos previamente conocidos.

Construimos una familia de c´odigos homol´ogicos que satura la tasa

m´axima k/n.

Encontramos una clase ´optima de c´odigos regulares en el toro.

Introducimos c´odigos homol´ogicos planos utilizando el concepto de ho-

molog´ıa relativa.

Introducimos una nueva clase de c´odigos topol´ogicos bidimensionales,

los c´odigos de color.

Los c´odigos de color se fundamentan en cierta homolog´ıa de tri´angulos

que no forma parte de las habitualmente estudiadas.

Los c´odigos de color tienen propiedades de transversalidad superiores

a las de los c´odigos de superficie, permitiendo la implementaci´on trans-

versal del grupo de Clifford. Este grupo de operadores es fundamental

en informaci´on cu´antica. En particular, puede utilizarse para destilar.

Dada una cierta topolog´ıa, los c´odigos de color codifican el doble de

qubits que los c´odigos de superficie.

Describimos clases optimas de c´odigos de color regulares, mostrando

que los c´odigos de color requieren un menor n´umero de qubits f´ısicos.

Generalizamos los c´odigos de color a tres dimensiones.

Encontramos que las propiedades de transversalidad de los c´odigos de

color tridimensionales son las mismas que las de los c´odigos de Reed-

Muller cu´anticos. Es decir, permiten la implementaci´on transversal de

ciertas puertas l´ogicas y medidas que son suficientes para la compu-

taci´on universal.

Introducimos las deformaciones en c´odigos estabilizadores como una al-

ternativa a las operaciones transversales. Esto es especialmente natural

en los c´odigos topol´ogicos, pues las deformaciones tienen una interpre-

taci´on puramente geom´etrica.

Mostramos c´omo por medio de las deformaciones es posible inicializar,

transformar y medir los qubits codificados en un c´odigo.

Consideramos en detalle los c´odigos de superficie, donde vemos que las

puertas CNot se pueden implementar mediante deformaciones. Esto

permite trasladar arquitecturas que previamente requer´ıan tres dimen-

siones a una sola capa bidimensional de c´odigo.

Derivamos una conexi´on entre los c´odigos de color y ciertos modelos

estad´ısticos bidimensionales cl´asicos de Ising a tres cuerpos.

Los resultados sugieren alg´un tipo de relaci´on entre la aparici´on de cla-

ses de universalidad diferentes en distintas redes en el modelo cl´asico,

y las distintas capacidades transversales de los c´odigos de color corres-

pondientes.

Explicamos como puede obtenerse un c´odigo de color a partir de ciertos

estados de racimo.

Al aplicar la conexi´on con modelos estad´ısticos, estos estados de racimo

se relacionan con modelos de Ising a tres cuerpos que incluyen un campo

magn´etico externo.

Finalmente, se exploran nuevas formas de orden topol´ogico y nuevos meca-

nismos para explotarlo de cara a realizar computaciones cu´anticas:

Estudiamos los sistemas con orden topol´ogico asociados a los c´odigos

de color en dimensi´on D.

Para ello desarrollamos el concepto de D-colex, un tipo de redes D-

dimensionales con ciertas propiedades de colorabilidad.

Los modelos obtenidos son condensados de redes de branas.

Las excitaciones de estos modelos son branyones, objetos extensos que

interact´aan de forma puramente topol´ogica.

En dimensi´on D, pueden construirse condensados de redes de d-branas

con d = 1, . . . , D− 1. Un condensado de redes de d-branas es a su vez

Al existir distintos ordenes topol´ogicos con el mismo sistema cu´antico

subyacente para D≥ 4, se plantea la posibilidad de estudiar transicio-

nes de fase topol´ogicas.

Describimos un Hamiltoniano cu´antico que permite introducir bordes

en los modelos topol´ogicos asociados a los c´odigos de superficie.

Los bordes se consiguen mediante la introducci´on de t´erminos Zeeman

que destruyen el orden topol´ogico.

Introducimos un test para el orden topol´ogico no basado en la interfe-

rencia con excitaciones topol´ogicas. En vez de eso, utilizamos la posi-

bilidad de cambiar din´amicamente la topolog´ıa del sistema moviendo

los bordes.

Generalizamos el concepto de operador cinta en los modelos topol´ogi-

cos con grupo gauge no abeliano desarrollados por Kitaev. Esto nos

permite caracterizar la carga topol´ogica en t´erminos de un algebra de

proyectores asociada a operadores cinta cerrados.

Introducimos nuevos t´erminos en los Hamiltonianos de estos modelos,

lo que da lugar a una familia de modelos exactamente solubles.

En los nuevos modelos parte o la totalidad del orden topol´ogico son

destruidos, y por tanto la simetr´ıa gauge se reduce o desaparece.

El mecanismo que produce esta reducci´on de la simetr´ıa es el confina-

miento de parte de las cargas topol´ogicas de los modelos originales.

Asimismo, encontramos que algunas de las cargas topol´ogicas aparecen

condensadas.

Caracterizamos las cargas topol´ogicas y las paredes de dominio de los

nuevos modelos utilizando ´algebras de proyectores asociadas a opera-

dores cinta tanto abiertos como cerrados.

Consideramos la posibilidad de introducir el mecanismo de reducci´on

de orden topol´ogico s´olo en ciertas ´areas del sistema. Esto da lugar al

concepto de orden topol´ogico anidado.

La introducci´on de islas con una simetr´ıa gauge reducida da lugar a

una degeneraci´on de origen topol´ogico en el estado fundamental del

sistema.

Las islas pueden dividirse, moverse y fusionarse, lo que da lugar a una

generalizaci´on de la computaci´on cu´antica topol´ogica usual.

De los estudios presentados en esta tesis se desprende claramente que el

estudio de las propiedades topol´ogicas en informaci´on y computaci´on cu´anti-

cas, as´ı como en sistemas fuertemente correlacionados en materia condensa-

da, es un tema de investigaci´on con numerosas preguntas abiertas que en la

actualidad son objeto de intensa actividad investigadora.

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La presente bibliograf´ıa no pretende ser exhaustiva, sino adaptada a las

necesidades de esta introducci´on.

Entanglement distillation protocols and number theory

H. Bombin and M. A. Martin-Delgado

Departamento de Física Teórica I, Universidad Complutense, 28040 Madrid, Spain 共Received 1 March 2005; published 13 September 2005兲

We show that the analysis of entanglement distillation protocols for qudits of arbitrary dimension D benefits from applying basic concepts from number theory, since the set ZDn associated with Bell diagonal states is a module rather than a vector space. We find that a partition of ZDn into divisor classes characterizes the invariant properties of mixed Bell diagonal states under local permutations. We construct a very general class of recursion protocols by means of unitary operations implementing these local permutations. We study these distillation protocols depending on whether we use twirling operations in the intermediate steps or not, and we study them both analytically and numerically with Monte Carlo methods. In the absence of twirling operations, we construct extensions of the quantum privacy algorithms valid for secure communications with qudits of any dimension D. When D is a prime number, we show that distillation protocols are optimal both qualitatively and quantitatively.

DOI:10.1103/PhysRevA.72.032313 PACS number共s兲: 03.67.Lx

I. INTRODUCTION

Quantum information theory 共QIT兲 revolves around the concept of entanglement关1–4兴. It is the product of combin- ing the superposition principle of quantum mechanics with multipartite systems—described by the tensor product of Hil- bert spaces. Entanglement is central to transmitting informa- tion in a quantum communication protocol or processing in- formation in a quantum computation. There are two basic open problems in the study of entanglement: separability and distillability. Separability is concerned with two questions, namely whether a quantum state is factorizable, and if not, how much entanglement it contains. These questions are of great importance even in practice since entanglement amounts to interaction between two or more parties, and thus it demands more resources to establish an entangled state than a factorized one.

Likewise, distillability关5–11兴 is concerned with two ques- tions: whether a quantum state is distillable, and if it is, how to devise an explicit protocol to extract entanglement out of the initial low entangled state. The main focus of our paper is on the construction of distillation protocols, rather than a

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