7 DE
Descomponemos en fracciones parciales:
Z(s) = 1200 L 000- L 000 -
S + 100 (S + s
+ +
+ 100 (s + 1
Al aplicar la forma inversa del segundo teorema de traslación llegamos a
3 3
i(t) =
1). n
Un voltaje periódico aplicado
La ecuación diferencial de la corriente i(t) en un circuito LR en serie es 0
Determine la corriente, i(t), cuando i(O) = 0 y E(t) es la función de onda cuadrada que muestra la figura 7.41.
FIGURA 7.41
SOLUCIÓN La transformada de de la ecuación es
+ =
Como E(t) es periódica, con periodo = 2, aplicamos la ecuación (9) de la sección 7.4:
= 1 . dt + 0 dt
1
1 = (1 +
1 + Por consiguiente, de acuerdo con
Z(s) =
7 . 5 A p l i c a c i o n e s
Para determinar la transformada inversa de de esta función, primero emplearemos una serie geométrica. Recordemos que, cuando
Si = cuando 0 tenemos que 1 1 + + + . . . Si escribimos 1 L LIR I R R I L ) la ecuación (8) se transforma en RIL RIL
Al aplicar la forma inversa del segundo teorema de traslación a cada término de ambas series obtenemos i(t) = (1 1) + 2) 3) + + 3) + . . 0, lo que es lo mismo, i(t) = (1 + n). 1 n
Para interpretar la solución del ejemplo 8 supongamos, como ejemplo, que R 1 y 0 t 4. En ese caso, = (1 1) + (1 2) (1 En otras palabras,
+ i(t) = + + 3 < 4.
342 7 TRANSFORMADA DE
FIGURA 7.42
Vigas
En la sección 5.2 dijimos que la deflexión estática y(x) de una viga uniforme de longitud que resiste una carga por unidad de longitud se calcula con la ecuación diferencial de cuarto ordenen que
E
es el módulo de elasticidad e Z es el momento de inercia de la sección transversal de la viga. El método de la transformada de se presta muy bien a resolver la ecuación (9) cuando (x) está definida por tramos. Para aplicar esta transformada, supondremos ticitamente que y y(x) están definidas en (0, más que en (0, Nótese también que el ejemplo siguiente es un problema de valores en la frontera, y no un problema de valor inicial.Problema de valores en la frontera
Una viga de longitud está empotrada en sus extremos (Fig. 7.43). Calcule la flecha de la viga cuando la carga se define como sigue:
w(x) =
S O L U C I Ó N Como la viga está empotrada en sus dos extremos, las condiciones en la frontera son y (0) = 0, y’(O) = 0, y(L) = 0, y’(L) = 0. También, el lector debe comprobar que
muro
Sección 7.5 Aplicaciones 343
Al a (9) respecto a la variable se obtiene
y =
0 Sea
Si y”(O) y = y”‘(O), entonces
1
1
en consecuencia,
Aplicamos las condiciones y(L) 0 y 0 a este resultado para obtener sistema de ecuaciones en y
1 960EZ
Al resolverlas vemos que = y = De esta forma queda
definida la mediante
1920EZ
r
Esta observación continúa presentando la terminología de los sistemas dinámicos.A la luz de las 1) y (2) de esta sección, la transformada de se adapta
bien al análisis de los sistemas dinámicos lineales. Si despejamos de la ecuación general transformada obtenemos la expresión
Aquí, . + es igual al polinomio auxiliar de grado si reemplazamos
el símbolo normal m con y es la transformada de de g(r) y es un polinomio de grado en s, formado por los diversos productos de los coeficientes . . . , n,
344 7 LA TRANSFORMADA DE
y las condiciones iniciales dadas, . . por ejemplo, el lector debe comprobar que cuando = 2, = + + + + Se acostumbra llamar función de transferencia a la recíproca de o sea, del sistema, y expresar ecuación (1 la forma
Y(s) = G(s) +
De este modo hemos separado, en sentido aditivo, los efectos de la respuesta originados por la función de entrada g (esto es, G(s)) y por las condiciones iniciales (es decir, Q(s)); por consiguiente, la respuesta del sistema es una superposición de dos respuestas:
= +
La función = G(s)} es la salida originada por la entrada g(r). Si el estado inicial del sistema es el estado cero, con todas las condiciones iniciales cero = = 0,. . . = 0), entonces = 0, así que la única solución del problema de valor inicial es Esta solución se llama respuesta de estado cero del sistema. Si se razona en términos de resolver la ecuación diferencial, digamos por el método de coeficientes indeterminados, la solución particular sería Obsérvese también que, de acuerdo con el teorema de convolución, la respuesta de estado cero se puede expresar como una integral ponderada de la entrada: = = w(t) g(t). En consecuencia, la inversa de la función de transferencia, w(t) = se llama función de peso o de ponderación, del sistema. Por último, si la entrada la solución del problema y sedenomina
respuesta de entrada cero del sistema. En el ejemplo 2, la respuesta de estado cero es = la respuesta de entrada cero es = la función de transferencia es W(S)
+ 9) y la función peso del sistema es w(t) = W(S)} =
En el apéndice III se encuentra una tabla de las transformadas de algunas básicas. En los problemas 1 a 26 use la transformada de para resolver la ecuación diferencial respectiva, sujeta a las condiciones iniciales indicadas. Cuando sea apropiado, exprese en términos de funciones escalón unitario.
y = 1, = 0 2. = y(O)= 3 . y’ + = = 2 4. y = sen = 0 5 . + + 4y = 0, = 1, = 0 6 . y” + = 0, = y’(O) = -3 7 . y” + = = 0, y’(O) = 1 8 . 4y’ + 4y = = 1, y’(O) = 0 9 . + = y(O) 0, y’(O) 0 10. + = 1 + = 0, y’(O) = 4 ll. y = sen = 1, y’(O) -1 y” = 1, = 1, y'(O) = 13. y’ = y(O) = 0, y’(O) 0
7.5 Aplicaciones
14. = t, = 0, y’(O) 0
+ = 0, y’(O) 0,
+ y’ = sen 0, y’(O) 0,
17. y = 0, = 1, y’(O) = 0, y”(O) = -1, = 0 = y = 0, y’(O) = 0, y”(O) = 0, = 0 19. y’ + y = = 0, en donde = 0 ,
20. y’ + y = = 0, en donde 1 ,
21. y’ + = = 0, en donde =
22. y” + = = 0, y’(O) = -1, en donde =
23. y” + = sen = 1, y’(O) = 0
24. y” + = = 0, y’(O) = 1
0 , 25. y” + y = f(t), = 0, y’(O) = 1, en donde f(t) = 1 , t
0 ,
26. + 4y' + 3y = 1 2) 4) = 0,
y’(O) = 0
En los problemas 27 y 28, aplique la transformada de para resolver la ecuación diferencial dada sujeta a las condiciones indicadas en la frontera.
27. y” + + = 0, y’(O) = 2, 1) = 2
En los problemas 29 a 38 resuelva la ecuación integral o integrodiferencial respectiva con la transformada de 29. f(t) + (t = t 30. f(t) = 2t 4 31. f(t) = te’ + 32. f(t) + 2 (t = + sen 33. f(t) + = 1 34. f(t) = t + 35. = 1 + 36. t = 38. + 9 = 1, = 0
346 7 TRANSFORMADA DE
39. Mediante la ecuación (3) determine la corriente i(t) en un circuito LRC en serie, cuando
L = 0.005 h, R = 1 C 0.02 E(r) = V e i(O) 0. 40. Resuelva el problema 39 cuando E(t) = 1)
41. Recuerde que la ecuación diferencial que describe la carga q(t) en el de circuito RC en serie es
= (j)
donde E(t) es el voltaje aplicado (véase 3.1). Emplee la transformada de para determinar la carga, q(t), cuando (0) 0 y E(t) = k 0. Examine dos casos: cuando
k 1 y cuando k = 1
42. Aplique la transformada de para calcular la carga en el de un circuito en
serie RC, cuando q(O) R 10 C 0.1 f y E(t) es la que aparece en la figura 7.44.
FIGURA 7.44 FIGURA 7.45
43. Use la transformada de para determinar la carga en el de un circuito en
serie RC, cuando q(O) 0, R 2.5 C 0.08 f y E(t) es la que aparece en la figura 7.45. 44. a) Aplique la transformada de para hallar la carga q(t) en el de
circuito RC en serie, cuando q(O) 0, R = 50 C 0.01 f y es la que aparece en la figura 7.46.
b) Suponga que 100 Con un programa de gráficas trace la función q(t) en el intervalo 0 6. Con esa gráfica estime el valor de la carga.
FIGURA 7.46 FIGURA 7.47
4 5 . a) Use la transformada de para calcular la corriente i(t) en un circuito en serie LR,
con = 0, = 1 h, R 10 y E(t) es la que aparece en la figura 7.47. b) Con algún para trace i(t) en el intervalo 0 6. Con esa
estime e los valores máximo y mínimo de la corriente.
46. Resuelva la ecuación (6) sujeta a i(O) = 0, y es la función meandro de la figura 7.48. [Sugerencia: vea el problema 31 de los ejercicios
347
FIGURA 7.48 FIGURA 7.49
47. Resuelva la ecuación sujeta a i(O) = 0, y E(t) es la diente de sierra de la figura 7.49. Especifique la solución cuando 0 2. [Sugerencia: vea el problema 33 de los ejercicios
48. Recuerde que la ecuación diferencial que expresa la carga instantánea, q(t), del de un circuito en serie LRC es
Vea la sección 5.1. Aplique la transformada de para hallar q(t) cuando L = 1 h,
R 20 C 0.005 E(t) = 150 t 0, q(O) = 0 e i(O) = 0. es la corriente i(t)? es la carga q(t) si se desconecta el mismo voltaje constante para
49. Determine la carga, q(t), y la corriente, i(t), en un circuito en serie, en el que L 1 h,
R 20 C = 0.01 f, E(t) = 120 sen q(O) = 0 C e i(O) = 0 A. es la corriente estable?
FIGURA 7.50
Una batería de voltaje constante, V, carga al de la figura 7.50. Si dividimos entre L y definimos = y la ecuación (12) se transforma en
d t
Use la transformada de para demostrar que la solución de esta ecuación, sujeta a
q(O) = 0 y a i(O) = 0, es
= e-“‘(1 +
348 7 LA TRANSFORMADA DE
51. Aplique la transformación de para determinar la carga, q(t), en el de un circuito en serie LC, cuando q(O) 0, i(O) 0 y E(t) 0.
52. Suponga que una pesa de 32 estira 2 un resorte. Si se suelta partiendo del reposo desde la posición de equilibrio, deduzca la ecuación de su movimiento, cuando una = sen actúa sobre el sistema durante 0 y luego desaparece. No tenga en cuenta fuerzas de amortiguamiento. [Sugerencia: exprese la fuerza actuante en términos de la función escalón unitario.]
53. Una pesa de 4 estira 2 un resorte. Dicha pesa parte del reposo a 18 arriba de la posición de equilibrio y el movimiento se produce en un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a por la velocidad instantánea. Con la trans- formación de encuentre la ecuación del movimiento.
54. Una pesa de 16 se cuelga de un resorte cuya constante es 4.5 A partir de = 0, se aplica al sistema una fuerza igual = 4 sen 3t + 2 Suponiendo que no hay fuerzas de amortiguamiento, use la transformada de para deducir la ecuación del movimiento, cuando la pesa se suelta y parte del reposo desde la posición de equilibrio. 55. Una viga en voladizo esta empotrada en su extremo izquierdo y libre en el derecho.
Determine la flecha y(x) cuando la carga está expresada por
w ( x ) =
Ll2 x L.
56. Resuelva el problema 55 cuando la carga es
w ( x ) = c
57. Determine la flecha y(x) de una viga en voladizo cuando la carga es la del ejemplo 9. 58. Una viga empotrada en su extremo izquierdo está simplemente apoyada en su extremo
derecho. Determine la flecha y(x) cuando la carga es como la del problema 55.
Problema para discusión
59. La transformada de no se presta bien para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables; sin embargo, se puede usar en algunos casos. teoremas de las secciones 7.3 y 7.4 son adecuados para transformar + + Determine la solución de la ecuación diferencial que satisface ay(O) = 0.
Problema de programación
60. En la parte a) de este problema guiaremos al lector por los comandos de Mathematica que le permitirán obtener la transformación simbólica de de una ecuación diferencial y la solución del problema de valor inicial determinando la transformación inversa. En Mathematica, la transformada de de una función y(t) se obtiene tecleando
Sección 7.6 Función delta de Dirac
En el segundo renglón de la sintaxis se reemplaza el comando anterior con el símbolo Y. (Si el lector no dispone de Mathematica, adapte el procedimiento descrito para software que tenga a la mano.)
a) Se tiene el problema de valor inicial
y” + + = t sen t, = 2, y’(O) = -1.
Cargue el paquete de la transformada de Capture exactamente cada renglón de la secuencia de comandos que sigue y ejecútelos en su momento. Copie la salida a mano o imprima los resultados
diffequat = y”[t] + + == t Sin[t]
transformdeq = [diiequat, t, s] 2, -1, t, s] = Y] Flatten
Y =
s, t]
b) Modifique el procedimiento de la parte a) lo necesario para llegar a solución de y + 4y = 0, = 0, y’(O) = 0, y”(O) = 1.
c) La carga q(t) de un en un circuito en serie está determinada por
= 0, q’(O) = 0.
Modifique el procedimiento de la parte a) lo necesario para hallar q(t). En Mathematica, la función escalón unitaria, a) se escribe UnitStep[t a]. la solución.