(1) La solución de Arquitas. En síntesis la construcción de Arquitas que en realidad opera con propiedades de geometría plana, puede resumirse así: Sea en el plano base una circunferencia de diámetro
AB = b, y por A una recta tal que determine sobre la circunferencia
una cuerda AC = a. Imaginemos ahora las tres superficies siguientes:
a) el cilindro circular recto de base la circunferencia de diámetro b (de ecuación en coordenadas polares R cos φ = b cos α );
b) el cono circular recto engendrado por la rotación de la generatriz AC alrededor de AB (de ecuación a = b cos φ · cos α ); c) la superficie engendrada por una semicircunferencia de
base, que gira alrededor de su tangente en A (de ecuación R cos²
φ = a).
Sea ahora M el punto de intersección de las tres superficies. Ese punto pertenecerá a la semicircunferencia móvil de diámetro AB’ =
b, a la generatriz MN del cilindro siendo N un punto de AB’, y a la
generatriz AM del cono que contiene el punto C’ tal que AC’ = a. Se demuestra fácilmente que el ángulo AC’N es recto, por tanto, de los triángulos rectángulos AC’N; AMN; AMB’ se deduce la proporcionalidad AC’ : AN = AN : NM = NM : AB’ que demuestra que los segmentos AN y AM resuelven el problema del mesolabio. (Analíticamente, si de las tres ecuaciones se elimina α y se introduce r = cos φ, se obtiene igualmente cos φ = a : r = r : R = R :
b).
(2) La obra matemática de Eudoxo. La posibilidad de llegar a una definición de la razón entre dos cantidades, sean éstas conmensurables o no, la fija Eudoxo partiendo ante todo de un recurso de tipo lógico, enunciando un “principio” que expresa la condición para que dos cantidades “tengan razón mutua”. Este principio afirma que “dos cantidades tienen razón mutua cuando un múltiplo de la menor supera a la mayor”, o en términos actuales; dadas dos cantidades A > B, existe siempre un entero n tal que B > A o también que A < B. Euclides en sus Elementos otorgó a este enunciado el mismo carácter lógico de “principio”, pero Arquímedes de olfato matemático más fino, verá en él un postulado y en sus escritos así lo considera. Hoy mantiene tal carácter, confirmado brillantemente por las geometrías no arquimedianas de este siglo, y se le conoce ya como “postulado de la continuidad", ya como "postulado de Arquímedes" y a veces "de Eudoxo o Arquímedes".
La segunda etapa del proceso de Eudoxo es la definición de razón entre dos cantidades, sean conmensurables o no. Es la siguiente "definición por abstracción": Dos razones a : b, c : d son iguales si dados dos números enteros cualesquiera m y n y ma (mayor, menor o igual) nb, se verifica respectivamente mc (mayor, menor o igual) nd. Con esta definición que tiene cierto aire de familia con la actual definición de los números reales mediante la teoría de las cortaduras de Dedekind, Eudoxo logra conceder carta
de ciudadanía geométrica a las cantidades inconmensurables, con lo que acentúa el proceso iniciado por los pitagóricos de sacrificar, en aras de la geometría, la aritmética y el álgebra, cuyas nociones seguirán presentándose en la matemática griega bajo ropaje geométrico.
En conexión con el postulado anterior Eudoxo introduce un método de demostración que una discutible traducción renacentista bautizó como "método de exhaución", nombre con que se le conoce y que sustituye en la matemática griega la noción de límite del actual análisis infinitesimal. Ese método consiste en una doble reducción al absurdo y según él, para demostrar que una cantidad A es igual a una cantidad B o que una figura A es equivalente a una figura B, basta probar que A no puede ser ni mayor ni menor que B.
Una de las primeras demostraciones que habría logrado Eudoxo es la proporcionalidad entre dos círculos C y C' y los cuadrados D y
D' construidos sobre sus diámetros, es decir, C : C’ = D : D’. Para ello
supone que X sea el cuarto proporcional entre C, D y D' y admite
X < C'. Inscribe un C’ polígono P’ tal que en virtud del "principio",
resulte C’ – P’ < C’ – X o, lo que es lo mismo, P’ < X. Si P es el polígono semejante inscrito en C, en virtud de la proporcionalidad conocida entre los polígonos semejantes y los cuadrados de los lados homólogos C : X = D; D’ – P’: P’ y por tanto P > C, evidentemente absurdo pues P es un polígono inscripto en C. Como consecuencia de este teorema, o siguiendo un camino semejante, se llega también a un absurdo si se parte de X > C’, por tanto X = C’ y el teorema queda probado.
También por este método habría demostrado Eudoxo la equivalencia entre prismas y pirámides según referencias de Arquímedes, quien a este respecto agrega la siguiente observación de interés histórico: “... no debe dejar de atribuirse un mérito no pequeño a Demócrito que fue el primero que dio esas proposiciones sin las demostraciones".
Cabe señalar que el método de exhaución no es un método de descubrimiento como el método analítico, pues el resultado al que debe llegarse se da por admitido; ni es un método constructivo como el método sintético, en el que partiendo de propiedades conocidas se llega por vía deductiva a nuevas verdades. El método
de exhaución es puramente un método de demostración que no pretende descubrir una nueva verdad, sino demostrarla, circunstancia que pone de relieve una característica de la matemática griega. A diferencia de matemáticos de otras épocas, los matemáticos griegos pusieron el acento en la demostración y no en el resultado, en el camino y no en la meta. Y esa demostración no podía ser cualquiera, sino rigurosamente deductiva a partir de los postulados y propiedades ya demostradas, pues cualquier otro camino, por evidente o convincente que fuera, "no comporta una verdadera demostración", como dirá alguna vez Arquímedes. (3) Las triadas de Menecmo. Sea un cono circular recto de vértice
V, por un punto de una generatriz un plano perpendicular a la
misma y por V un plano paralelo al anterior. Si el ángulo en el vértice del cono es agudo, el plano paralelo no contendrá ninguna generatriz y el plano secante cortará a todas las generatrices (alargadas si es necesario); la sección cónica será una curva cerrada que se bautizó entonces, según se dice, por el matemático Aristeo, contemporáneo de Euclides aunque más joven, como sección del cono acutángulo (es nuestra elipse). Si el ángulo en el vértice es recto, el plano paralelo contendrá la generatriz paralela al plano secante, y en este caso la sección cónica será una curva abierta que se extiende indefinidamente: es la sección del cono rectángulo (nuestra parábola). Si el ángulo en el vértice es obtuso el plano paralelo contendrá dos generatrices paralelas al plano secante de manera que ahora éste sólo cortará a las generatrices de un lado de aquel plano, mientras que no cortará a las generatrices de ese plano y las que estén más allá, aunque más tarde se advirtió que cortaría también a estas generatrices si se las prolongaba más allá del vértice.
La sección cónica en este caso es también una rama abierta, pero que se mantiene dentro de un ángulo a cuyos lados, nuestras asíntotas, se acerca indefinidamente. Esta sección es entonces la sección del cono obtusángulo (una rama de nuestra hipérbola). Cuando el ángulo que contiene esa rama es recto (nuestra hipérbola equilátera) la curva adquiere propiedades especiales. Desde el comienzo esas curvas pusieron de manifiesto sus elementos de simetría (centro, ejes, vértices) y sus propiedades
más elementales, así la parábola permitía transformar en cuadrado equivalente los rectángulos de un lado fijo, la hipérbola equilátera permitía obtener todos los rectángulos equivalentes, propiedades que según referencias posteriores, habrían permitido a Menecmo dar dos soluciones distintas del problema del mesolabio con esas curvas. En efecto, de la proporcionalidad a : x :: x : y :: y : b se obtiene x² = ay ; y² = bx; xy = ab, de ahí que los dos medios proporcionales x e y podían obtenerse o bien mediante la intersección de dos parábolas de vértice común y ejes perpendiculares entre sí o bien mediante la intersección de una de esas parábolas con la hipérbola equilátera de centro aquel vértice y de asíntota aquellos ejes.