0 .
(c) CM
0 ={X ∈mod(Λ) tal que ǫX :GF(X)→X es un epimorfismo }.
(d) CM
1 ⊆ {X ∈mod(Λ)tal que ǫX :GF(X)→X es un isomorfismo }.
A continuaci´on, probamos el siguiente resultado para las categor´ıasC∨M
0 , que ser´a muy ´util en el Cap´ıtulo 2.
Proposici´on 1.8.2. Sean M un Λ-m´odulo, Γ = EndΛ(M)op y F = HomΛ(−, M) : mod(Λ)→mod(Γop). Entonces Cogen(M) =C0∨M.
Demostraci´on. Es claro que se verifica la inclusi´on C∨M
0 ⊆Cogen(M). Sea Z ∈ mod(Λ). Sabemos que F(Z) = HomΛ(Z, M) es un R-m´odulo fini- tamente generado. Sean h1, h2, ..., hn sus generadores y consideremos la apli-
caci´on h = (h1...hn)t : Z → Mn. Entonces, como h1, h2, ..., hn ∈ Im(F(h)),
tenemos que F(h) : F(Mn) → F(Z) es un epimorfismo. Por otro lado, si
Z ∈ Cogen(M) sabemos que existe un monomorfismo g = (g1...gs)t : Z →
Ms. Como h
1, h2, ..., hn generan HomΛ(Z, M), resulta que gi = Pnj=1rijhj,
con rij ∈ R. Luego g = (rij).h, y de aqu´ı sigue que h es un monomorfismo,
por serlo g. Esto prueba que Z ∈ C∨M
0 , completando la demostraci´on de la
proposici´on.
1.9.
M´odulos est´andar, coest´andar, propios
est´andar y propios coest´andar.
En los Cap´ıtulos 4, 5 y 6 de esta tesis definimos y estudiamos la noci´on de sistema coestratificante propio, que es una generalizaci´on de los llamados m´odulos propios coest´andar al contexto de los sistemas estratificantes. Los m´odulos propios coest´andar fueron definidos por V. Dlab en su estudio de las ´algebras quasi-hereditarias (ver [D1]).
En esta secci´on recordamos la definici´on (ver [R, DR, D1, ADL]) de las siguientes clases de m´odulos: est´andar, coest´andar, propios est´andar y propios coest´andar. Los m´odulos est´andar y coest´andar sobre ´algebras de artin fueron definidos por C. Ringel en conexi´on con el estudio de las ´algebras quasi- hereditarias, donde las categor´ıas de los m´odulos filtrados por ellos juega un rol esencial.
Sea Λ una R-´algebra de artin. Como ya lo hemos mencionado, D : mod(Λ) → mod(Λop) denota a la dualidad usual para ´algebras de artin,
y ∗ denota al funtor HomΛ(−,Λ) : mod(Λ) →mod(Λop). Entonces ∗ induce una dualidad de proj(Λ) a proj(Λop).
Para un n´umero naturalt, consideramos [1, t] ={1, ..., t}. Sealel n´umero de Λ-m´odulos simples no isomorfos dos a dos, esto es l es el rango del grupo de Grothendieck K0(Λ). Fijamos un orden lineal ≤ sobre [1, l] y notamos (Λ,≤) para indicar que consideramos Λ con el orden ≤.
Sea ΛP ={ΛP(i) : i∈[1, l]} un conjunto de representantes de las clases de isomorfismos de Λ-m´odulos proyectivos indescomponibles. La c´apsula in- yectiva del Λ-m´odulo simple ΛS(i) = top(ΛP(i)) es denotada por ΛI(i). Para el ´algebra Λop, siempre consideramos el conjunto de representantes
ΛopP = {ΛopP(i) : i ∈ [1, l]} de Λop-m´odulos proyectivos indescomponibles,
donde ΛopP(i) = (ΛP(i))∗ para todoi∈ [1, l].
Ahora s´ı, teniendo en cuenta estas elecciones, podemos definir las si- guientes clases de m´odulos.
Definici´on 1.9.1. (a) El conjunto de los Λ-m´odulos est´andar es Λ∆ = {Λ∆(i) : i ∈ [1, l]}, donde Λ∆(i) = ΛP(i)/tr⊕j>iΛP(j)(ΛP(i)). Entonces, Λ∆(i) es el mayor m´odulo cociente deΛP(i)con factores de composici´on
s´olo entre los ΛS(j) con j ≤i.
(b) El conjunto de los Λ-m´odulos coest´andares Λ∇=D(Λop∆), donde el
par (ΛopP,≤) es usado para calcular Λop∆.
(c) El conjunto de los Λ-m´odulos propios est´andar es Λ∆ = {Λ∆(i) :
i∈[1, l]}, donde Λ∆(i) =ΛP(i)/tr⊕j≥iΛP(j)(radΛP(i)). Entonces, Λ∆(i)
es el mayor m´odulo cociente de Λ∆(i) que satisface la condici´on de mul-
tiplicidad [Λ∆(i) :S(i)] = 1.
(d) El conjunto de los Λ-m´odulos propios coest´andares Λ∇=D(Λop∆),
donde el par (ΛopP,≤) es usado para calcular Λop∆.
El siguiente resultado recuerda algunos hechos homol´ogicos b´asicos acerca de los m´odulos est´andar y propios coest´andar. Se puede ver una demostraci´on de los mismos en [R] o en [DR].
Proposici´on 1.9.2. Sea Λ un ´algebra de artin y ≤ un orden lineal definido sobre [1, l]. Valen las siguientes afirmaciones.
(a) HomΛ(Λ∆(i),Λ∆(j)) = 0 parai > j.
1.9. M´odulos est´andar, coest´andar, propios est´andar y propios coest´andar. (c) HomΛ(Λ∇(i),Λ∇(j)) = 0 parai < j.
(d) Ext1Λ(Λ∇(i),Λ∇(j)) = 0 para i < j. (e) HomΛ(Λ∆(i),Λ∇(j)) = 0 para i6=j.
(f ) Ext1Λ(Λ∆(i),Λ∇(j)) = 0 para todo i, j.
Dada una clase C de objetos en mod(Λ), notamos por F(C) a la subca- tegor´ıa llena de mod(Λ) que contiene al m´odulo cero y a los Λ-m´odulos M
que tienen una C-filtraci´on, esto es, un Λ-m´odulo no nulo M pertenece a C si existe una filtraci´on 0 = M0 ⊆M1 ⊆ · · · ⊆Ms =M con factoresMi+1/Mi
isomorfos a un m´odulo en C para todo i. Entonces F(C) es la menor subca- tegor´ıa en mod(Λ) que es cerrada por extensiones y contiene a C.
Queremos mencionar algunas propiedades b´asicas de las categor´ıasF(Λ∆) y F(Λ∇). Para ello, recordemos antes los siguientes conceptos (ver [AR]).
Sea M un Λ-m´odulo. Dada una clase C de objetos en mod(Λ), se dice que f : C → M es una C-aproximaci´on a derecha de M si C ∈ C y la aplicaci´on HomΛ(C1, f) : HomΛ(C1, C) → HomΛ(C1, M) es suryectiva para todo C1 ∈ C. Una C-aproximaci´on minimal a derecha de M es una C-aproximaci´on que es minimal a derecha. La noci´on de C-aproximaci´on minimal a izquierda de M se define dualmente. Para cada n´umero natural
n, ponemos ⊥nC = {M ∈ mod(Λ) : Extn
Λ(M,−)|C = 0} y ⊥C = ∩n>0⊥nC. Las nociones de C⊥n y C⊥ son introducidas an´alogamente.
Sea C una subcategor´ıa llena de mod(Λ) que es cerrada por isomorfismos y por sumandos directos. Se dice que C es resolvente si es cerrada por ex- tensiones y por n´ucleos de epimorfismos, y proj(Λ) ⊆ C. La subcategor´ıa C es llamada contravariantemente finita en mod(Λ), si todo M ∈ mod(Λ) tiene una C-aproximaci´on a derecha. Las nociones de subcategor´ıa coresol- ventey subcategor´ıacovariantemente finitason definidas dualmente. Una subcategor´ıa de mod(Λ) que es contravariantemente finita y covariantemente finita es llamada funtorialmente finita.
La demostraci´on de la siguiente proposici´on se puede completar a partir de resultados publicados en [AR, DR, R, ADL, AHLU].
Proposici´on 1.9.3. Para (Λ,≤) valen las siguientes afirmaciones.
(b) F(Λ∇) es una subcategor´ıa coresolvente y covariantemente finita de mod(Λ). (c) F(Λ∆) ={M ∈mod(Λ) : Ext1Λ(M,−)|F(Λ∇)= 0}= ⊥1F( Λ∇). (d) F(Λ∇) ={M ∈mod(Λ) : Ext1Λ(−, M)|F(Λ∆) = 0}=F(Λ∆) ⊥1.
Antes de formular el teorema que establece la relaci´on entre un ´algebra quasi-hereditaria Λ y la subcategor´ıa F(Λ∆), recordemos la definici´on de tales ´algebras.
Definici´on 1.9.4. Sea Λ un ´algebra.
(a) Se dice que un ideal L de Λ es un ideal hereditario de Λ, si L2 = L,
L(rad Λ)L = 0 y L, considerado como un Λ-m´odulo a izquierda ΛL, es
proyectivo.
(b) Una cadena hereditaria H de ideales de Λ es una cadena
0 = L0 ⊂L1 ⊂L2 ⊂ ...⊂Ls = Λ
tal que Li/Li−1 es un ideal hereditario de Λ/Li−1 para todo 1≤i≤s. Definici´on 1.9.5. Se dice que un ´algebra Λes quasi-hereditariasi admite una cadena hereditaria H.
Los idealesLi son Λ-m´odulos proyectivos, por lo tanto Li =trQi(Λ) con Qi proyectivo. Puede verse que una cadena hereditaria induce un orden ≤
en el conjunto de proyectivos indescomponibles de Λ, por lo que podemos considerar los m´odulos est´andar correspondientes a este orden. Tenemos en- tonces el siguiente resultado.
Teorema 1.9.6. Si Λ es un ´algebra quasi-hereditaria entonces, para Λ con el orden ≤ inducido por su cadena hereditaria, se verifica que ΛΛ ∈ F(Λ∆)
y que dimK End(Λ∆(i)) = 1 para todo i∈[1, l].
Rec´ıprocamente, si para (Λ,≤) se verifica que ΛΛ∈ F(Λ∆) y que
dimK End(Λ∆(i)) = 1 para todo i ∈ [1, l], entonces Λ es un ´algebra quasi-
hereditaria.
El lector puede consultar la demostraci´on del teorema anterior en [CPS] o en [DR].
1.10. ´Algebras est´andarmente estratificadas.
1.10.
Algebras est´´
andarmente estratificadas.
Las ´algebras est´andarmente estratificadas fueron originalmente definidas por Cline, Parshall y Scott en [CPS], y han sido extensamente estudiadas por distintos matem´aticos (ver [D1], [ADL], [AHLU], [W], [ES], [PR], [Xi]).
Definici´on 1.10.1. El ´algebra Λ es un ´algebra est´andarmente estra- tificada con respecto al orden lineal ≤ sobre el conjunto [1, l], si proj(Λ)⊆ F(Λ∆). Diremos que el par (Λ,≤) es est´andarmente estratificado.
Notemos que las ´algebras est´andarmente estratificadas generalizan a las ´algebras quasi-hereditarias, que adem´as verifican la condici´on de que
dimK End(Λ∆(i)) = 1 para todo i ∈ [1, l]. Esto nos permite decir que un ´algebra est´andarmente estratificada (Λ,≤) es quasi-hereditaria si y s´olo si Λ∆(i) =Λ∆(i) para todo i∈[1, l].
En contraste con la situaci´on para ´algebras quasi-hereditarias, si Λ es un ´algebra est´andarmente estratificada entonces Λopno necesariamente lo es. Sin
embargo, la definici´on de Dlab de los m´odulos propios est´andar permiti´o for- mular el siguiente resultado para ´algebras est´andarmente estratificadas (ver [D1] o [ADL]).
Proposici´on 1.10.2. Para (Λ,≤) las siguientes afirmaciones son equiva- lentes.
(a) ΛΛ∈ F(Λ∆), esto es, Λ es est´andarmente estratificada.
(b) ΛΛ∈ F(∆Λ).
En [R], C. Ringel construy´o un m´odulo inclinante generalizadoT asociado a un ´algebra quasi-hereditaria Λ, llamadom´odulo inclinante caracter´ısti- co, y prob´o que el ´algebra EndΛ(T), llamada ‘dual de Ringel’, es tambi´en un ´algebra quasi-hereditaria.
Recordemos que T es llamado un m´odulo inclinante generalizado si:
T tiene dimensi´on proyectiva finita, ExtiΛ(T, T) = 0 para todo i >0, y
existe una sucesi´on exacta 0 → ΛΛ → T0 → T1 → ...→ Tm → 0 con
Generalizando los resultados de C. Ringel para ´algebras quasi-hereditarias, en conexi´on con el estudio de las ´algebras est´andarmente estratificadas, I. Agoston, D. Happel, E. Luk´acs y L. Unger mostraron que, para un ´algebra de este tipo (Λ,≤), tambi´en existe un m´odulo inclinante caracter´ıstico T, tal que F(Λ∇) =T⊥ y tal que add(T) = F(Λ∆)∩ F(Λ∆)⊥1 (ver Teorema 2.1 y Proposici´on 2.2 en [AHLU]; ver tambi´en [PR]).
En la siguiente proposici´on mostramos algunas propiedades del m´odu- lo inclinante caracter´ıstico de un ´algebra est´andarmente estratificada (ver [AHLU, Lema 2.5]).
Proposici´on 1.10.3. Sea(Λ,≤)un ´algebra est´andarmente estratificada, con
≤ un orden lineal sobre el conjunto [1, l], y T = Lli=1T(i) el m´odulo incli- nante caracter´ıstico asociado a Λ, donde los sumandos T(i) son indescom- ponibles. Entonces valen las siguientes afirmaciones.
(a) Para cada 1≤i≤l existe una sucesi´on exacta
0→X(i)→T(i)→ ∇(i)→0
con X(i)∈ F({∇(1), ...,∇(i)}).
(b) Para cada 1≤i≤l existe una sucesi´on exacta
0→∆(i)→T(i)→Y(i)→0
con Y(i)∈ F({∆(1), ...,∆(i−1)}).
(c) HomΛ(T(i),∇(j)) = 0 si i < j y dimKHomΛ(T(i),∇(i)) = 1.
(d) HomΛ(∆(j), T(i)) = 0 si i < j.
Adem´as, en el Teorema 2.6 de [AHLU] se generaliza el concepto del ‘dual de Ringel’ EndΛ(T) para ´algebras quasi-hereditarias a ´algebras est´andar- mente estratificadas, probando que para el m´odulo inclinante caracter´ıstico
T asociado al ´algebra est´andarmente estratificada Λ se verifica que EndΛ(T) es nuevamente un ´algebra est´andarmente estratificada (ver tambi´en [PR]).
Para terminar esta secci´on, recordamos que un ´algebra Λ es un ´alge- bra propiamente estratificada con respecto al orden lineal ≤ sobre el conjunto [1, l], si y s´olo si su representaci´on regular est´a filtrada por los m´odulos est´andar y por los m´odulos propios est´andar. Esto es, proj(Λ) ⊆ F(Λ∆)∩ F(Λ∆) (ver [D2]).