Para estudiar num´ericamente nuestro modelo utilizando el formalismo del ope- rador de transferencia para modelos con potenciales peri´odicos descrito en el apar- tado 2.3.6, reescalamos las variables hi un factor 2π y escribimos el hamiltoniano (3.3) de la siguiente forma: H = N X i=1 ½ 4π2J 2 [hi+1− hi] 2+ V 0[1− cos(2πhi)] ¾ . (3.55)
De esta forma el periodo del potencial es 1, y se puede aplicar tal cual el formalis- mo explicado en el apartado 2.3.6.
Se ha procedido a discretizar el operador de transferencia definido en la ecua- ci´on (2.121) (haciendo desde el principio θ = 0) para el hamiltoniano (3.55). Se han utilizado para ello matrices de tama˜no 2001 × 2001, y se han calculado los autovalores y autofunciones mayores utilizando la edici´on para estudiantes del programa MATLAB. Salvo por la discretizaci´on del operador (y la precisi´on del m´etodo num´erico utilizado para calcular el espectro de la matriz), este c´alculo es exacto. Dado que hay que definir una matriz y diagonalizarla para un cierto n ´umero de temperaturas a fin de obtener la dependencia del autovalor con la temperatura λmax(β), hemos comprobado con un n´umero limitado de temperaturas que la uti- lizaci´on de matrices mucho mayores (se ha llegado a 4001 × 4001) no cambia el resultado, con lo que podemos estar razonablemente seguros de que los resultados
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 φ 0 1 2 3 4 |ϕ0|2 -0.5 0 0.5 0.01 0.1 1
Figura 3.9: Autofunci´on al cuadrado t´ıpica (normalizada de forma que sea de ´area unidad) del operador de transferencia del modelo (3.55) a una temperatura baja (T = 0.8 en este caso). Recuadro: lo mismo en escala semilogar´ıtmica, mostrando que la autofunci´on tiene los m´ınimos distintos de cero (0.014 en este caso) en φ =−0.5 y φ = 0.5.
de este c´alculo num´erico son, a todos los efectos, exactos. Hemos repetido el c´alcu- lo tambi´en utilizando paquetes inform´aticos distintos de MATLAB, consiguiendo el mismo resultado.
A partir del autovalor m´aximo λmax(T )calculado, se obtiene el calor espec´ıfi- co intensivo aplicando las f´ormulas (2.127), que nos proporciona la energ´ıa libre por nodo, y (2.71), que nos da el calor espec´ıfico a partir de la energ´ıa libre. En la figura 3.2 se represent´o el calor espec´ıfico as´ı obtenido junto al resultado de las simulaciones de Monte Carlo. El acuerdo es perfecto, lo que aumenta la confianza tanto en las simulaciones como en el c´alculo num´erico del operador de transferen- cia.
En la figura 3.9 se muestra un ejemplo de m´odulo al cuadrado de la autofun- ci´on correspondiente al autovalor mayor del operador de transferencia del modelo. Est´a convenientemente normalizada de forma que represente correctamente una probabilidad. Recordemos que esta funci´on representa la densidad de probabilidad de que las alturas tomen valores en un periodo del potencial. Esto es, limit´andonos a mirar en un ´unico periodo −1
2 < φi ≤ 12, esta funci´on nos indica la densidad de probabilidad de la variable φi definida en (2.115). Vemos en el recuadro de la figura que el m´ınimo de esta densidad de probabilidad se localiza en los bordes del intervalo de definici´on, esto es, en los lugares en los que el potencial V (hi)tiene sus m´aximos. Esta observaci´on es general y se reproduce en todas las temperaturas. Para que se produzca un escal´on en el sistema, debe ocurrir que una altura pa- se de estar en un periodo del potencial a otro vecino. Para ello ha de superar la
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 T 10-8 10-6 10-4 10-2 1 densidad de escalones Schneider-Stoll Operador de transferencia 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 10-26 10-13 100 Schneider-Stoll Operador de transferencia
Figura 3.10: Densidad de escalones estimada a partir de la probabilidad de que una altura atraviese un m´aximo del potencial en φ = ±1/2 (esto es, m´ınimo de |ϕ0|2 frente a T ). Las l´ıneas horizontales corresponden a las inversas de los tama˜nos de los sistemas para los que se han realizado simulaciones de Monte Carlo. Para comparaci´on, se muestra la f´ormula aproximada (3.56). Recuadro: la misma curva con el eje vertical extendido.
barrera de potencial que supone el m´aximo de [1 − cos(2πhi)]en los valores se- mienteros de hi. Como criterio para comparar la probabilidad de que esa barrera sea atravesada a distintas temperaturas, y por lo tanto la probabilidad de forma- ci´on de escalones a una temperatura dada, podemos tomar precisamente el valor del m´ınimo de la autofunci´on |ϕ0|2, que es la probabilidad de que una altura hi est´e justo en el m´aximo de potencial que marca la separaci´on entre dos pozos. Pero esa probabilidad de formaci´on de un escal´on en un sitio i dado admite tambi´en otra interpretaci´on: la de densidad de escalones del sistema.
En la referencia (Schneider y Stoll 1981) se da la siguiente expresi´on para la densidad de escalones: nk= r 64Jβ πV0 e−8β. (3.56)
Esta f´ormula procede de la aproximaci´on de considerar un gas ideal de escalones (Currie et al. 1980), y es m´as precisa cuanto menor es la densidad de escalones, por lo tanto, cuando T → 0.
En la figura 3.10 se muestra el m´ınimo del m´odulo al cuadrado de la autofun- ci´on, |ϕ0|2, frente a la temperatura. Para reforzar su interpretaci´on como densidad de escalones mostramos junto a ella la curva resultante de la ecuaci´on (3.56), que es aproximada pero asint´oticamente exacta cuando T → 0. Vemos que la curva resultante de nuestro c´alculo coincide asint´oticamente con la de la ecuaci´on (3.56) seg´un T → 0, lo que refuerza nuestra interpretaci´on de esta curva como la densi- dad de escalones. Nuestra curva presenta la ventaja de que no procede de ninguna
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 T 0 1 2 3 4 5 w2 0.1 0.2 0.3 1/ln N 0.8 1 T*
Figura 3.11: Rugosidad frente a la temperatura para distintos tama˜nos del sistema (de izquierda a derecha, N =2000, 1000, 500, 250, 125, 50). Las flechas marcan la temperatura predicha por nuestro criterio basado en las autofunciones para cada tama˜no del sistema. La recta que recorre la figura por debajo es la ecuaci´on 3.36, que da la aproximaci´on de la rugosidad a bajas temperaturas. Recuadro: estimacio- nes de T∗frente a 1/ log N. Los puntos proceden de nuestro criterio, la recta es un ajuste lineal.
aproximaci´on: el c´alculo hecho a partir del operador de transferencia ha sido exac- to, salvo por la discretizaci´on necesaria para el c´alculo num´erico.
Como criterio para observar escalones en un sistema de tama˜no N, podemos decir que estos aparecer´an en temperaturas tales que la densidad de escalones sea mayor o igual que 1/N. Con esta densidad, el n´umero medio de escalones del sis- tema es precisamente 1, y lo podemos tomar como la densidad umbral. Por eso en la figura 3.10 mostramos tambi´en la inversa de de los tama˜nos del sistema para los que hemos realizado simulaciones de Monte Carlo. Por debajo de la tempe- ratura T∗(N )en la que la densidad de escalones coincide con 1/N, vemos que la densidad de escalones decae ´ordenes de magnitud en un rango muy peque˜no de temperaturas, lo que significa que observar escalones en sistemas finitos por debajo de T∗(N )tiene una probabilidad extremadamente baja. Y, lo que es m´as, la temperatura T∗(N )sigue teniendo valores claramente distintos de cero incluso para sistemas astron´omicamente grandes. En el recuadro interior de la figura 3.10 vemos que incluso para sistemas tan enormes como N = 1026, T∗(1026) ≈ 0.12, una temperatura finita y muy alejada a´un del l´ımite T∗(∞) = 0.
En la figura 3.11 se muestra de nuevo la rugosidad al cuadrado frente a la tem- peratura obtenida de las simulaciones de Monte Carlo para los distintos tama ˜nos de sistema simulados. La regi´on de temperaturas mostrada es precisamente aquella en la que las curvas de la rugosidad de los distintos tama˜nos dejan de coincidir entre ellas y la rugosidad pasa a depender de N. Se muestra tambi´en en la figura la predicci´on de la ecuaci´on (3.36) para la rugosidad a bajas temperaturas. Las flechas
verticales se˜nalan las temperaturas T∗(N )obtenidas a partir de nuestro c´alculo del operador de transferencia. Vemos que estas flechas se˜nalan con gran precisi´on la temperatura en la que la rugosidad para cada N deja de mostrar un comportamien- to plano, es decir, independiente de N, y pasa a depender de N. Esta observaci ´on, junto con la figura 3.10, explica toda la contradicci´on observada entre las simula- ciones y las aproximaciones anal´ıticas, por un lado, y el teorema que prohibe la transici´on de fase en el modelo, por otro: efectivamente, en el l´ımite termodin´ami- co (donde se aplica el teorema), hay una ´unica fase rugosa (T∗(∞) = 0), y, por lo tanto, no hay transici´on de fase a temperaturas distintas de cero. Sin embargo, para tama˜nos finitos del sistema, existe una temperatura T∗(N )distinta de cero por debajo de la cual la probabilidad de que haya escalones es exponencialmente peque˜na, lo que en la pr´actica significa que nunca se observan: a todos los efectos, un sistema de tama˜no finito (por enorme que sea, recordemos, por ejemplo, que T∗(1026)≈ 0.12) tendr´a dos fases: una plana a bajas temperaturas y una rugosa a altas. Al paso entre una y otra lo hemos llamadotransici´on de fase aparente. La temperatura a la que se produce esta transici´on depende del tama˜no del sistema. En el recuadro de la figura 3.11 se muestra la dependencia de T∗ con N para los tama˜nos de sistema con los que se ha trabajado. El resultado expuesto en este re- cuadro se entiende f´acilmente d´andose cuenta de que la formaci´on de escalones es un fen´omeno que necesita una energ´ıa de activaci´on, y por lo tanto la densidad de escalones sigue una ley de tipo Arrhenius (con correcciones, como se puede ver en la ecuaci´on (3.56)).
Queda una peque˜na cuesti´on por aclarar. ¿Por qu´e es incorrecta entonces la aproximaci´on de bajas temperaturas en el l´ımite termodin´amico? Vimos en el apar- tado 3.3.1 que la hip´otesis subyacente tras esta aproximaci´on es que la intercara de- be encontrarse completamente dentro de un ´unico periodo del potencial. En otras palabras, esto quiere decir que no puede haber escalones. En el l´ımite termodin´ami- co, la ´unica forma de que no haya ning´un escal´on es que la densidad de escalones sea id´enticamente cero, lo que s´olo se produce en T = 0. Pero para tama˜nos finitos del sistema, la densidad de escalones es despreciable frente a 1/N para un rango finito de temperaturas, lo que implica que en ese rango la hip´otesis de la aproxima- ci´on se cumple y sus resultados son una buena aproximaci´on del sistema, como ya hemos visto.