Cualquier biografía de Fermat está condenada a ser corta. Su vida, que discurrió en los dos primeros tercios del siglo XVII, fue totalmente irrelevante. Nunca tuvo ningún nombramiento en ninguna universidad ni ocupó un sillón en ninguna academia real. Abogado de carrera y de profesión magistrado, no publicó casi nada en vida, expresando sus ideas, en vez de en
publicaciones, mediante su correspondencia y en manuscritos sin publicar. Como no fue profesionalmente matemático, es
conocido como el “príncipe de los aficionados”, aunque teniendo en cuenta su aportación al mundo de las matemáticas, el apodo es totalmente inexacto (si por aficionado entendemos un principiante mediocremente dotado).
Pierre Fermat nación en Beaumont de Lomagne en el sur de Francia a principios del siglo XVII (1601-1665). Su padre era un próspero comerciante de pieles y cónsul de la localidad, por lo que el joven Pierre pasó su niñez en circunstancias acomodadas. Recibió una buena educación fuertemente impregnada por el estudio de las lenguas y literaturas clásicas y, en su momento, marchó a la universidad, donde estudió jurisprudencia. Su formación le llevó a servir como magistrado en la corte de la
ciudad de Toulouse, un puesto que, además de darle seguridad económica, le dio el derecho de insertar el “de” delante de su primer apellido para indicar una especia de nobleza menor.
Contrajo matrimonio y creó una familia de cinco hijos. Ocupó puestos de influencia en la Iglesia Católica, de la que fue un devoto hijo. Por lo que sabemos, vivió toda su vida dentro de un radio de unos doscientos kilómetros de su ciudad natal y nunca vivió en París.
En resumen, la existencia de Pierre de Fermat fue austera y callada. Se ha sugerido que por su naturaleza poco exigente de su trabajo tenía tiempo para escribir poesía en latín o para hacer críticas académicas de textos griegos. Con sobra de tiempo y una inteligencia descomunal, Fermat recuerda al joven Albert Einstein unos dos siglos y medio después,
Antes de empezar:
¿Qué es la probabilidad?
¿Cómo definirías el máximo y el mínimo de una función?
¿Cuándo decimos que un número es cuadrado perfecto?
cuyo trabajo incuestionado como empleado en una oficina suiza de patentes le proporcionó la oportunidad de desarrollar la teoría de la relatividad.
La pasión incuestionable de Fermat- más intensa que la poesía clásica, los asuntos eclesiásticos o incluso el Derecho- fueron las matemáticas, en las que sus contribuciones han sido profundas y trascendentales. Aún así, renunció a la publicación de sus descubrimientos matemáticos:
“tengo tan pocas cualidades para poner por escrito mis demostraciones que me he contentado en haber descubierto la verdad y en conocer los medios de demostrarla cuando llegue la ocasión de hacerlo”
Afortunadamente, transmitió sus ideas por carta a otros corresponsales científicos europeos: Descartes, Pascal, Christian Huygens, John Wallis y Marin Mersenne. Por ellos Fermat podía saber lo que pasaba en París, Amsterdam u Oxford, y a ellos podía transmitir sus propios notables descubrimientos.
Entre sus más impresionantes descubrimientos están su formulación de lo que hoy conocemos geometría analítica, descrita en un tratado de 1636: Ad locus planos et solidos isagoge, y a sus contribuciones a la fundamentación de la teoría de la probabilidad contenidas en una serie de cartas a partir de 1654. En su amplia correspondencia con Pascal (1623-1662), bosquejaron ideas, ejercieron críticas e impulsaron la hasta entonces inadvertida teoría de probabilidades.
En cuanto a la geometría analítica, el nombre de Fermat está ligado al de otro matemático, aunque en esta ocasión no sea un colaborador. Se trata de René Descartes, quien de forma independiente diseñó su propio sistema de geometría analítica. Ambos captaron la idea enormemente fecunda de combinar dos grandes corrientes del pensamiento matemático: el álgebra y la geometría.
Desafortunadamente, Fermat nunca publicó su tratado, mientras Descartes anunció al mundo sus descubrimientos en su influyente obra Géométrie de 1637. Como fue el primero en imprimirlo, Descartes recibió el reconocimiento del público y su nombre se ha consagrado en el término de plano cartesiano. Si nuestro magistrado francés hubiera sido un poco más comunicativo, los matemáticos podrían haber estado hablando del plano “Fermatiano” en vez del cartesiano.
Una de las principales aportaciones de Fermat, y en el que sobrepasó claramente a Descartes, fue el descubrimiento de los valores máximos y mínimos de ciertas curvas (uno de los objetivos clave del cálculo diferencial), unas cuantas décadas antes de que Leibniz y Newton formularan los procedimientos necesarios para determinar estos valores. Estos métodos aparecieron en su Methodus ad disquirendam maximam et minimam (evidentemente, obra manuscrita y no publicada).
Su tratamiento de los máximos, mínimos y tangentes enfrentó a Fermat con Descartes durante los últimos años de la década de 1630. Descartes había desarrollado una técnica propia para resolver los problemas de las tangentes y sostenía que “éste es no sólo el problema más útil y general de la geometría que yo conozco, sino incluso que he deseado alguna vez conocer.” Sin embargo, la aproximación de Descartes resulta
engorrosa incluso para casos elementales. Lo que Fermat podía hacer casi sin esfuerzo, requería, en manos de Descartes, páginas y páginas de laboriosos cálculos algebraicos. Durante un tiempo, se desató la rivalidad en el tema, y Descartes proclamó la superioridad de su método. Sin embargo, pronto quedó claro, incluso para él, que Fermat había escogido el camino mejor. El reconocimiento de la derrota dejó un poso de amargura entre estos dos grandes matemáticos de la época.
A causa del éxito con que Fermat logró resolver los problemas más sencillos de máximos y mínimos, Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), se referiría a él como el verdadero inventor del cálculo diferencial. Esto puede parecer un poco exagerado teniendo en cuenta que Fermat aplicó sus técnicas a una familia muy limitada de curvas: las de la forma n
x
y (llamadas parábolas de Fermat) y las de la forma n x
y 1
(llamadas hipérbolas de Fermat).
A pesar de estas contribuciones en geometría analítica, cálculo de probabilidades y cálculo diferencial, las más notables contribuciones fueron en teoría de números.
Esta teoría de números ya había sido estudiada en la antigüedad por Euclides y otros matemáticos de la antigüedad clásica, aunque podemos decir que la teoría de números moderna comienza con Fermat. Y toda su motivación le vino después de una ávida lectura del Arithmetica de Diofanto (250 de nuestra era), cuyo ejemplar estaba completamente usado con anotaciones y comentarios marginales (sólo seis de los trece ejemplares que sobrevivieron a los dos incendios de la Biblioteca de Alejandría).
Para Fermat el tema era fascinante. Se sintió íntima y poderosamente captado por los números enteros y demostró una extraordinaria habilidad para reconocer sus propiedades como quien reconoce a viejos amigos. Públicamente, Pierre de Fermat fue un respetado jurista en Toulouse, pero en su fuero interno fue un teórico de los números por excelencia.
Ya que todo lo que tenemos de él son notas al margen, alusiones… los matemáticos posteriores, en particular Euler, han intentado reconstruir sus procesos mentales y las líneas probables de su razonamiento, sin dudar, además, de sus afirmaciones:
“Cuando Fermat sostiene que tiene una prueba de alguna formulación, su afirmación ha de ser tomada en serio (André Weil. Siglo XX))”
Una de sus afirmaciones más sorprendentes se refiere a la descomposición de los números primos en la suma de dos cuadrados perfectos. Pero para entender este resultado, necesitamos unos cuantos preliminares.
En primer lugar, si dividimos un número entero entre n, el resto es 0,1,2 ó 3. Los restos, después de todo, deben ser menores que los divisores. Por tanto, cualquier número entero pertenece a una categoría del tipo: 4k, 4k+1,4k+2,4k+3. Los números de la forma 4k y 4k+2 son claramente pares y, por tanto, no son números primos. Por otro lado, los de la categoría 4k+1, 4k+3 son impares y cualquier número impar y, en particular cualquier primo impar, debe ser de esta forma. Así, por ejemplo 5=4*1+1, 13=4*3+1,
37=4*9+1 son primos de la primera categoría, mientras que 7=4*1+3, 19=4*4+3 y 43=4*10+3 son de la segunda categoría.
Pero además, Fermat se dio cuenta que estas dos categorías de números primos diferían en algo más profundo. En 1640, escribiendo por Navidad al padre Mersenne, hace la siguiente observación:
“Un número primo, que excede en 1 a un múltiplo de 4, es solamente una vez la hipotenusa de un triángulo rectángulo.”
Esta es su manera curiosamente geométrica de afirmar que los números primos de la primera categoría podían descomponerse en la suma de dos cuadrados perfectos y que esta descomposición sólo podía lograrse de una sola manera (13=4*3+1=4+9; 37=4*9+1=1+36). Por otra parte, observó que los números primos de la forma 4k+3 no se podían escribir como la suma de dos cuadrados perfectos de ninguna manera en absoluto. Desde esta perspectiva, las dos categorías de números primos impares aparecen bastante diferentes: una de ellas es la suma de dos cuadrados y la otra no. Como siempre, Fermat dejó una demostración bastante vaga de esta afirmación y no sería hasta un siglo después que Euler conseguiría demostrarla.
Y a continuación, el más famoso enunciado teórico sobre números salido de la pluma de Fermat. Su fama procede de su- o más probablemente es causa de su – extraña dificultad. Vamos a describir lo que se ha dado en llamar el “último teorema de Fermat”.
Típicamente, la historia comienza con Fermat examinando cuidadosamente un texto griego, la Arithmetica de Diofanto, donde el problema examinado era, de nuevo, la suma de dos cuadrados perfectos. Dicha suma puede, en ciertos casos, ser también un cuadrado. Ejemplos que vienen a la cabeza son 32 42 52 ó 42028512 9492. Pero reflexionaba pensativo Fermat, ¿puede la suma de dos cubos perfectos ser otro cubo perfecto?
En este momento, en el margen de su copia del Arithmetica, escribió:
“Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum utra quadratum potestatem in duos eiusdem nomini fas dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet”.
“Dividir un cubo en otros dos cubos o una cuarta potencia, o en general una potencia cualquiera en otras dos potencias del mismo exponente mayores de 2, es imposible” En otras palabras, Fermat afirmaba que no existían números enteros positivos, x, y, z tales que xn yn zn para n mayor o igual que tres.
Y para suplicio de generaciones de matemáticos, Fermat añadió lo que es quizá el enunciado más famoso de todas las matemáticas:”Ciertamente he encontrado una demostración admirable de esto, pero el margen es demasiado estrecho para escribirla”.
Aquí reside, pues, la mala denominación por partida doble de “último teorema”. Es el “último” no porque fuera el último que Fermat enunciase como matemático, sino porque permanece dudoso después de que todos sus otros enunciados fueran resueltos. Además, está mal llamado “teorema”, pues él no da ninguna demostración.
De hecho, todo lo que haría falta para demostrar que la conjetura de Fermat no es cierta es una tripleta de números enteros positivos verificando una ecuación del tipo anterior. Por supuesto, nadie encontró tal tripleta.
A Fermat se le atribuye una demostración para las ecuaciones cúbicas y, en el siglo XVIII, Euler formula una demostración para las ecuaciones de cuarto grado. Sin embargo, Euler hizo también la atinada observación de que los argumentos por separado para los cubos y las cuartas potencias eran tan radicalmente diferentes que resultaba imposible siquiera insinuar la forma de resolver el teorema general.
Conforme transcurrieron décadas, otros matemáticos resultaron interesados en la búsqueda de una solución:
En 1825, Dirichlet (1805-1859) y Legendre (1752-1833 demostraron que la suma de dos quintas potencias no puede dar otra quinta potencia.
En 1832, Dirichlet eliminó la posibilidad para exponente 14.
Pocos años después, Lamé (1795-1870), descartó la ecuación de séptimo grado. El interés por el problema ha continuado en el siglo XX y aumentado por el ofrecimiento en 1909 de 100000 marcos alemanes para quien diera con la solución correcta. La perspectiva de una ganancia monetaria atrajo a numerosos pseudo- matemáticos ávidos de dinero, y una avalancha de argumentos erróneos inundó el mundo de las matemáticas.
Con las tasas astronómicas de inflación tras la Primera Guerra Mundial en Alemania, el premio alcanzó un valor ridículo, y ciertamente los 100000 marcos se podían conseguir por métodos muchos más fáciles.
Afortunadamente, los matemáticos no siempre se mueven por incentivos monetarios. Uno de ellos con un motivo más elevado fue Gerd Faltings (1954-). En 1983 demostró que para n3, la ecuación de Fermat xn yn zn puede tener, como máximo, muchas soluciones finitas diferentes (además de aquellas en las que un conjunto de soluciones es un múltiplo de otro). De hecho, no descartó que para algunos exponentes la ecuación tuviera 100000 soluciones, lo cual dista mucho de la insistencia de Fermat en que no existe ninguna solución. Sin embargo, Faltings puso un límite a la abundancia de soluciones para el caso general. Por su demostración recibió en 1986 el Fields Medal, el equivalente al Premio Nobel de Matemáticas, en el Congreso de Matemáticas celebrado en Berkeley, California.
Cuando este libro estaba en prensa, los matemáticos restaban discutiendo una nueva y prometedora demostración del último teorema de Fermat a cargo del doctor Andrew Wiles de Gran Bretaña, en 1993. La conmoción es tan intensa que la historia apareció en la portada del The New York Times y se ha considerado tan noticiable que ha merecido un artículo de una página entera en Time.
Sin embargo, dicha demostración tenía un fallo sustancial en la demostración, lo que llevó a Wiles y a su discípulo Richard Taylor a trabajar dos años más en la demostración definitiva, hasta que en 1994 fuera totalmente aceptada en Annal of Mathematics (300 años después de haber sido formulada por Fermat).
Dado que Wiles utilizó más de 100 páginas y modernas técnicas matemáticas, es en la práctica imposible que esta demostración sea la misma que insinuó Fermat.
Los principales escritos de Fermat fueron publicados, después de su muerte, por su hijo Samuel en 1679, bajo el título Varia opera mathematica. Aunque esta publicación no encierra más que una parte de su producción, basta por sí sola para clasificar al célebre habitante de Tolouse como el más importante matemático francés del siglo XVII.