Desviación estándar de una muestra
EA 3-14 En un intento de estimar la demanda potencial futura, la National Motor Company realizó un estudio, en 1988, en el que preguntaba a parejas casadas cuántos automóviles debe tener la familia promedio actual.
Para cada pareja, promediaron las repuestas del hombre y la mujer, a fin de obtener la respuesta global de la pareja. Las respuestas se colocaron en una tabla:
Número de autos 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Frecuencia 2 14. 23 1.7 1.4 1.2
a) Calcule la varianza y la desviación estándar.
b) Dado que la distribución tiene, casi, forma de campana, en teoría, ¿cuántas observaciones deben caer entre 0.5 y 1.5? ¿Entre 0 y 2? ¿Cuántas caen de hecho en esos intervalos?
Aplicaciones
■ 3-61 La chef en jefe de The Flying Taco acaba de recibir dos docenas de jitomates de su proveedora, pero to- davía no los acepta. Sabe por la factura que el peso promedio de un jitomate es 7.5 onzas, pero insiste en que todos tengan un peso uniforme. Aceptará los jitomates sólo si el peso promedio es 7.5 onzas y la des- viación estándar es menor que 0.5 onzas. Los pesos de los jitomates son los siguientes:
6.3 7.2 7.3 8.1 7.8 6.8 7.5 7.8 7.2 7.5 8.1 8.2
8.0 7.4 7.6 7.7 7.6 7.4 7.5 8.4 7.4 7.6 6.2 7.4
¿Cuál es la decisión de la chef y por qué?
■ 3-62 Los siguientes datos son una muestra de la tasa de producción diaria de botes de fibra de vidrio de la Hy- drosport, Ltd., un fabricante de Miami:
17 21 18 27 17 21 20 22 18 23
El gerente de producción de la compañía siente que una desviación estándar de más de tres botes por día indica variaciones de tasas de producción inaceptables. ¿Deberá preocuparse por las tasas de producción de la planta?
■ 3-63 Un conjunto de 60 observaciones tiene una media de 66.8, una varianza de 12.60 y una forma de distri- bución desconocida.
a) ¿Entre qué valores deberán caer al menos 75% de las observaciones, de acuerdo con el teorema de Chebyshev?
b) Si la distribución es simétrica y con forma de campana, aproximadamente cuántas observaciones de- berán encontrarse en el intervalo 59.7-73.9?
c) Encuentre los resultados estándar para las siguientes observaciones tomadas de la distribución: 61.45, 75.37, 84.65 y 51.50.
■ 3-64 El número de cheques cobrados diariamente en las cinco sucursales del Bank of Orange County durante el mes anterior tuvo la siguiente distribución de frecuencias:
Clase Frecuencia 0-199 10 200-399 13 400-599 17 600-799 42 800-999 18
Hank Spivey, director de operaciones del banco, sabe que una desviación estándar en el cobro de cheques mayor que 200 cheques diarios ocasiona problemas de personal y de organización en las sucursales, de- bido a la carga de trabajo dispareja. ¿Deberá preocuparse por la cantidad de empleados que van a utilizar el mes siguiente?
■ 3-65 El consejo directivo del Banco de la Reserva Federal de Estados Unidos ha otorgado permisos a todos los bancos miembros para elevar las tasas de interés 0.5% para todos los depositantes. Las tasas de interés an- teriores para cuentas de ahorro eran 51/4; para certificados de depósito (CD) a un año, 7
1
18 meses, 83/4; a dos años, 9 1
/2; a tres años, 10
1
/2, y para CD a cinco años, 11%. El presidente del First
State Bank desea saber qué características tendrá la nueva distribución de tasas de interés si se le agrega 1
/2% a todas las tasas. ¿Cómo se relacionan las nuevas características con las anteriores?
■ 3-66 El administrador de un hospital de Georgia investigó el número de días que 200 pacientes, elegidos al azar, se quedan en el hospital después de una operación. Los datos son:
Frecuencia en el hospital en días 1-3 4-6 7-9 10-12 13-15 16-18 19-21 22-24
Frecuencia 18 90 44 21 9 9 4 5
a) Calcule la desviación estándar y la media.
b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev, ¿cuántas estancias habrá entre 0 y 17 días? ¿Cuántas hay realmente en ese intervalo?
c) Debido a que la distribución tiene aproximadamente forma de campana, ¿cuántas estancias entre 0 y 17 días pueden esperarse?
■ 3-67 FundInfo proporciona información a sus suscriptores para permitirles evaluar el desempeño de los fondos de inversión que consideran vehículos de inversión potencial. Un estudio reciente de los fondos cuya me- ta de inversión establecida era crecimiento e ingreso produjo los siguientes datos de la tasa de retorno anual sobre la inversión total durante los últimos cinco años:
Rendimiento anual (%) 11.0-11.9 12.0-12.9 13.0-13.9 14.0-14.9 15.0-15.9 16.0-16.9 17.0-17.9 18.0-18.9
Frecuencia 2 2 8 10 11 8 3 1
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la tasa de rendimiento anual para esta mues- tra de 45 fondos de inversión.
b) Según el teorema de Chebyshev, ¿entre qué valores debe caer al menos 75% de las observaciones de la muestra? ¿Qué porcentaje de observaciones caen de hecho en ese intervalo?
c) Dado que la distribución es casi una campana, ¿entre qué valores se esperaría encontrar 68% de las observaciones? ¿Qué porcentaje de las observaciones de hecho caen en ese intervalo?
■ 3-68 Nell Berman, propietario de la Earthbread Bakery, afirmó que el nivel de producción promedio por sema- na de su empresa fue 11,398 barras de pan, con una varianza de 49,729. Si los datos utilizados para calcular los resultados se recolectaron en el periodo de 32 semanas, ¿durante cuántas semanas estuvo el nivel de producción abajo de 11,175? ¿Y cuántas arriba de 11,844?
■ 3-69 La compañía Creative Illusion Advertising tiene tres oficinas en tres ciudades distintas. Los niveles de sa- lario difieren de un estado a otro. En la oficina de Washington, D.C., el aumento promedio a los salarios durante el año anterior fue $1,500, con una desviación estándar de $400. En la sucursal de Nueva York, el aumento promedio fue $3,760, con una desviación estándar de $622. En Durham N.C., el aumento pro- medio fue $850, con una desviación estándar de $95. Se entrevistó a tres empleados. El empleado de Was- hington recibió un aumento de $1,100; el de Nueva York, obtuvo un aumento de $3,200; y el de Durham uno de $500. ¿Cuál de los tres tuvo el menor aumento en relación con la media y la desviación estándar de los aumentos correspondientes a su oficina?
■ 3-70 La American Foods comercializa con fuerza tres de sus productos a nivel nacional. Uno de los objetivos fundamentales de la publicidad de cada producto consiste en lograr que los consumidores reconozcan que American Foods elabora el producto. Para medir qué tan bien cada anuncio logra ese reconocimiento, se le pidió a un grupo de consumidores que identificara lo más rápido posible a la compañía responsable de una larga lista de productos. El primer producto de la American Foods obtuvo un tiempo promedio, antes de ser reconocido, de 2.5 segundos, con una desviación estándar de 0.004 segundos. El segundo producto tuvo un tiempo promedio de 2.8 segundos, con una desviación estándar de 0.006 segundos. E1 tercero, un tiempo promedio de 3.7 segundos, con una desviación estándar de 0.09 segundos. Uno de los encuestados en particular tuvo los siguientes tiempos antes de reconocer la procedencia del producto: 2.495 para el pri- mero, 2.79 para el segundo y 3.90 para el tercero. ¿Para cuál de los productos estuvo el consumidor en cuestión más alejado del desempeño promedio, en unidades de desviación estándar?
■ 3-71 Sid Levinson es un médico especializado en el conocimiento y uso efectivo de medicinas que eliminan el dolor en pacientes gravemente enfermos. Con el fin de saber aproximadamente cuántas enfermeras y per- sonal administrativo debe emplear, ha empezado a registrar el número de pacientes que atiende cada se- mana. En ese lapso, su administrador registra el número de pacientes gravemente enfermos y el número de pacientes sin mayores problemas. Sid tiene razones para creer que el número de pacientes sin mayo- res problemas por semana tendría una distribución en forma de campana, si tuviera suficientes datos (es-
to no es cierto para los pacientes gravemente enfermos). Sin embargo, ha recolectado datos sólo durante las cinco últimas semanas.
Pacientes gravemente enfermos 33 50 22 27 48
Pacientes sin mayores problemas 34 31 37 36 27
a) Calcule la media y la varianza para el número de pacientes seriamente enfermos por semana. Utilice el teorema de Chebyshev para encontrar los límites dentro de los cuales deberá caer el “75% central” del número de pacientes gravemente enfermos por semana.
b) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar para el número de pacientes sin mayores pro- blemas por semana. ¿Dentro de qué límites deberá caer el “68% central” de estas cifras semanales?
■ 3-72 El inspector de cualquier distrito escolar tiene dos problemas principales: primero, la dificultad de tratar con la directiva escolar elegida y, segundo, la necesidad de estar siempre preparado para buscar un nuevo empleo debido al primer problema. Tom Langley, inspector del distrito escolar 18 no es la excepción. Ha comprendido el valor de entender todas las cifras que aparecen en un presupuesto y de ser capaz de utili- zarlas en su provecho. Este año, la junta directiva sugirió un presupuesto de investigación de medios de $350,000. Por experiencias anteriores, Tom sabe que el gasto real siempre sobrepasa al presupuesto soli- citado, y el excedente tiene una media de $40,000 y una varianza de 100,000,000 de dólares cuadrados. Tom aprendió el teorema de Chebyshev cuando estuvo en la universidad, y piensa que podría serle útil para encontrar un intervalo de valores dentro del cual se encuentre el gasto real 75% del tiempo en los años en que la propuesta de presupuesto sea igual a la de este año. Haga un favor a Tom y encuentre ese intervalo.
■ 3-73 Bea Reele, una prestigiada sicóloga clínica, tiene registros muy precisos sobre todos sus pacientes. A partir de los datos, ha creado cuatro categorías dentro de las cuales puede colocar a todos sus pacientes: niños, adultos jóvenes, adultos y ancianos. Para cada categoría, la sicóloga ha calculado el Coeficiente In- telectual (CI) medio y la varianza de los coeficientes intelectuales dentro de la categoría. Las cifras que obtuvo se presentan en la tabla siguiente. Durante cierto día Bea atendió a cuatro pacientes (uno de cada categoría) y sus CI fueron: niño, 90; adulto joven, 92; adulto, 100, y anciano, 98. ¿Cuál de los pacientes tiene el CI más alejado de la media, en unidades de desviación estándar, correspondiente a esa categoría en particular?
Categoría CI medio Varianza de CI
Niño 110 81
Adulto joven 90 64
Adulto 95 49
Anciano 90 121
Soluciones a los ejercicios de autoevaluación
EA 3-13 x x x (x x) 2 x x x (x x)2 50 5.2 27.04 54 1.2 1.44 56 0.8 0.64 55 0.2 0.04 55 0.2 0.04 61 5.8 33.64 49 6.2 38.44 60 4.8 23.04 52 3.2 10.24 51 4.2 17.64 57 1.8 3.24 59 3.8 14.44 56 0.8 0.64 62 6.8 46.24 57 1.8 3.24 52 3.2 10.24 56 0.8 0.64 54 1.2 1.44 59 3.8 14.44 00049 6.2 0,38.44 1,104 285.20 x
55.2 años, que es cercano a los 55 años deseados
s
285.20 3.874 años, que muestra más variabilidad que la deseada19 (xx)2 n1 1,104 20 x n
x
1.0288 autos
s2 0.3080 así s
0.30800.55 autosb) (0.5, 1.5) es aproximadamente xs entonces, cerca del 68% de los datos, o 0.68(52) 35.36 obser-
vaciones deben estar en este intervalo. De hecho, 44 observaciones están ahí.
(0, 2) es aproximadamente x2s, entonces alrededor del 95% de los datos, o 0.95(52)49.4 obser-
vaciones deben estar en este intervalo. De hecho, 50 observaciones caen en él.
3.10
Dispersión relativa: el coeficiente
de variación
La desviación estándar es una medida absolutade la dispersión que expresa la variación en las mis- mas unidades que los datos originales. Los donativos anuales de Blue Cross-Blue Shield al Hospital de Cumberland (tabla 3-21) tienen una desviación estándar de $380,640, y los que hacen al Hospi- tal de Valley Falls (tabla 3-16), tienen una desviación estándar de $57,390 (que puede usted calcu- lar). ¿Podemos comparar los valores de estas dos desviaciones estándar? Desafortunadamente, la respuesta es no.
La desviación estándar no puede ser la única base para la comparación de dos distribuciones. Si tenemos una desviación estándar de 10 y una media de 5, los valores varían en una cantidad que es el doble de la media. Si, por otro lado, tenemos una desviación estándar de 10 y una media de 5,000, la variación relativa a la media es insignificante. En consecuencia, no podemos conocer la dispersión de un conjunto de datos hasta que conocemos su desviación estándar, su media y cómo se compara la desviación estándar con la media.
Lo que necesitamos es una medida relativaque nos proporcione una estimación de la magnitud
de la desviación respecto a la magnitud de la media. El coeficiente de variaciónes una de estas medi- das relativas de dispersión. Relaciona la desviación estándar y la media, expresando la desviación estándar como porcentaje de la media. La unidad de medida, entonces, es “porcentaje”, en lugar de las unidades de los datos originales. Para una población, la fórmula para el coeficiente de variación es: El coeficiente de variación, una medida relativa Defectos de la desviación estándar 15.707 51 f(xx)2 n1 53.5 52 x n EA 3-14 a) # de autos Frecuencia x f fx xx (xx)2 f(xx )2 0.0 2 0.0 1.0288 1.0585 2.1170 0.5 14 7.0 0.5288 0.2797 3.9155 1.0 23 23.0 0.0288 0.0008 0.0191 1.5 7 10.5 0.4712 0.2220 1.5539 2.0 4 8.0 0.9712 0.9431 3.7726 2.5 02 0.5.0 1.4712 2.1643 04.3286 52 53.5 15.7067 Coeficiente de variación Desviación estándar de la población
Coeficiente de variación de la población (100) [3-20]
Media de la población
Para utilizar esta fórmula en un ejemplo, podemos suponer que cada día el técnico A del labora- torio realiza un promedio de 40 análisis con una desviación estándar de 5. El técnico B efectúa un promedio de 160 análisis diarios con una desviación estándar de 15. ¿Cuál de los dos técnicos mues- tra menos variabilidad?
A primera vista, parece que el técnico B tiene una variación en su producción tres veces mayor que el técnico A. Pero B realiza sus análisis con una rapidez cuatro veces mayor que A. Tomando en cuenta toda esta información, podemos calcular el coeficiente de variación para ambos técnicos:
Coeficiente de variación (100) [3-20] (100) 12.5% ←Para el técnico A y Coeficiente de variación (100) 94% ←Para el técnico B
Así, tenemos que el técnico B, quien tiene una variación absolutamayor que la del técnico A, tiene
una variación relativamenor que la de A, debido a que la media de producción de B es mucho ma-
yor que la de A.
Para conjuntos grandes de datos, utilizamos la computadora para calcular nuestras medidas de tendencia central y de variabilidad. En la figura 3-13, utilizamos el sistema Minitab para calcular algunas de las estadísticas sumarias para los datos de calificaciones dados en el apéndice 10. Las estadísticas se muestran para cada sección, así como para el curso completo. En la figura 3-14 utili- zamos Minitab para calcular varias medidas de tendencia central y de variabilidad para los datos sobre ganancias del apéndice 11. Las estadísticas se dan para las 224 compañías juntas, y también se
desglosan por bolsa de valores (1 OTC, 2 ASE, 3 NYSE). La estadística MEDREC
(TRMEAN,trimed mean) es una “media recortada”, es decir, una media calculada sin tomar en cuen-
ta el 5% de los datos más altos ni el 5% de los datos más bajos. Esto ayuda a disminuir la distorsión ocasionada por los valores extremos que tanto afectan a la media aritmética.
Uso de la compu- tadora para calcular medidas de tenden- cia central y de variabilidad 15 160 5 40 Cálculo del coeficiente de variación
El concepto y la utilidad del coeficiente de variación son evidentes si se intenta comparar a hombres con sobrepeso y mujeres con sobrepeso. Suponga que un grupo de hombres y mujeres tiene un sobrepeso de 20 li- bras. Esas 20 libras no son una buena medida del peso ex- cesivo. El peso promedio para los hombres es cerca de 160 libras, mientras que el peso promedio para las mujeres es alrededor de 120 libras. Con un cociente sencillo se puede
ver que las mujeres tienen 20/120, es decir 16.7%, de so- brepeso, y el de los hombres corresponde a 20/160, o sea cerca del 12.5%. Aunque el coeficiente de variación es un poco más complejo que el cociente del ejemplo, el concep- to es el mismo: se usa para comparar la cantidad de varia- ción en grupos de datos que tienen medias diferentes. Advertencia: no compare la dispersión en los conjuntos de datos usando las desviaciones estándar, a menos que las medias sean parecidas.
SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES
Ejercicios 3.10
Ejercicios de autoevaluación
EA 3-15 Basart Electronics piensa emplear uno de dos programas de capacitación. Se capacitó a dos grupos para