Propiedades de la media aritmética
INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE PROBABILIDADES
3.10 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
Sí un primer suceso (algunos autores lo citan como evento) puede efectuarse de P1 maneras diferentes, y si
después de que este suceso ha sido efectuado, un segundo suceso puede efectuarse de P2 maneras
diferentes, . . . , y finalmente un k- ésimo suceso puede realizarse en Pk maneras diferentes, entonces
todos los k sucesos pueden realizarse en el orden especificado en P1 P2 . . . Pk maneras diferentes.
Ejemplo 44
Sí un hombre tiene 2 camisas y 4 corbatas entonces tiene 2 4 = 8 maneras de escoger una camisa y luego una corbata.
DIAGRAMA DE ARBOL
Un diagrama, llamado diagrama de árbol (debido a su apariencia), se emplea frecuentemente en conexión con el principio anterior.
Solución: Sí las camisas se representan por S1, S2 y las corbatas por T1, T2, T3 y T4, las diferentes
FACTORIAL
El producto de cualquier número entero positivo n por todos los enteros menores que n se llama factorial de n y se expresa por el símbolo n! Por lo tanto:
0! = 1 por definición 1! = 1 (1) = 1 2! = 2 (1) = 2 3! = 3 (2) (1) = 6 4! = 4 (3) (2) (1) = 24
.
.
.
n = (n) (n1) (n2), . . . , (1)El factorial de los primeros números enteros positivos se pueden obtener directamente utilizando una calculadora común, para números mayores se obtienen con la ecuación aproximada de Stirling: n ~
2n n e
n n, siendo e=2.71828 . . . la base de los logaritmos naturales.El símbolo ~ en la ecuación de Stirling indica que la relación del lado izquierdo al lado derecho se aproxima a 1 a medida que n.
Ejemplo 45: Hallar el valor 50!
T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T4 S1 S2
50 ~
250 50 e
50 50N
, para evaluar N se utilizan logaritmos de base 10. Así: log N = log
100
50 e
50 50
=1log100 1log 50 log (50) 50 log
2 2 e =1log(2) 1(0.4972) 50 (1.6990) 50 (0.4343) 2 2 log N = 64.4836 N = antilog (64.4836) = 3.04 1064 PERMUTACIONES
Supóngase que se tienen n objetos diferentes y deseamos ordenar r de estos objetos en una línea. Puesto que hay n maneras de escoger el primer objeto, y luego de hacer esto n1 maneras de escoger el segundo objeto, . . , y finalmente nr +1 formas de escoger el résimo objeto, se deduce por el principio fundamental del conteo que el número de ordenaciones, o permutaciones diferentes como generalmente se les llama, está dado por:
n Prn (n 1) (n 2) . . . (n r 1)
nPr = número de permutaciones de n objetos tomados de r en r.
Para el caso particular cuando r = n , nPr se convierte en: n Prn (n 1) (n 2) . . .1n!, que se denomina n factorial. En términos factoriales nPr se puede escribir como:
n! n Pr
(n r)!
Ejemplo 46: Calcule el número de permutaciones diferentes que pueden tomarse con las letras
A,B,C,D,E,F,G, tomando 3 a la vez.
7 3 7! 7! 7 6 5 4! P 210 (7 3)! 4! 4! COMBINACIONES
En una permutación interesa el orden de la distribución de los objetos. Así abc es una permutación diferente de bca. Sin embargo, en muchos problemas interesa solamente seleccionar o escoger objetos sin interesar su orden. Dichas selecciones se llaman: COMBINACIONES. Por ejemplo abc y bca son la misma combinación.
El número total de combinaciones de r objetos seleccionados de n se denota por nCr ó
nr y está dado por:
n rn!
nC r
r! (n
r)!
Ejemplo 47: ¿De cuántas formas puede elegirse una comisión de 5 personas de entre 9 personas?
9 5 9 59!
9!
9 8 7 6 5 4!
C
126
5! (9 5)!
5! 4!
5! 4!
Ejemplo 48Se escriben a azar las cinco vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que la “e” aparezca la primera y la “o” la última?
R/ Al escribir al azar las 5 vocales tenemos P5= 5! = 120 casos posibles. De entre ellos, si la e ha de aparecer la primera y la o la última, tenemos las otras 3 vocales que han de permutar en los tres lugares centrales, es decir, los casos favorables son P3= 3!=6. La probabilidad pedida es:
6 1
p
120 20
LISTA DE EJERCICIOS 3
1. Suponga que 3% de una población de adultos ha intentado suicidarse. También se sabe que 20% de esa población vive en condiciones de extrema pobreza. Sí estos dos eventos son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar haya intentado suicidarse y además viva en condiciones de extrema pobreza?
2. En un taller hay 3 máquinas; la primera se avería al mes con una probabilidad de 0.04, la segunda con 0.06 y la tercera con 0.1; sus averías son independientes en probabilidad. Se pide:
a) Probabilidad de que se averíe una sola máquina en el mes; b) Probabilidad de que se averíen las tres máquinas en el mes;
c) Probabilidad de que se averíen la primera y la segunda, pero no la tercera.
3. El Sr. Fernández está dudando entre dedicar sus ahorros a un viaje a Cuba o invertir en renta variable. Su asesor fiscal le ofrece dos alternativas atrayentes, pero él ante su falta de formación bursátil, confía al azar su decisión. Invertirá en el sector eléctrico si saca una bola roja de una urna que contiene 20 bolas, de las cuales 8 son rojas, 3 verdes y 9 negras. Si la bola no es roja lanzará dos dados y si obtiene una suma de 6 entre ambos invertirá en el sector inmobiliario; en caso contrario se decidirá por las vacaciones en Cuba. ¿Cuál es la probabilidad de que finalmente disfrute del viaje?
4. Una población está clasificada en tres grupos, según la edad: el 20% está entre 25 y 35 años, el 65% entre 36 y 50 años y el 15% entre 51 y 65 años. Al investigar los hábitos de dicha población se ha comprobado que toman café por la mañana el 70% del grupo del primer grupo de edades, el 40% del segundo y el 10% del tercero.
a) Seleccionado aleatoriamente un individuo de la población ¿cuál es la probabilidad de que sea del grupo de 25 a 35 años y tome café?
b) Si sabemos que un individuo toma café ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo de 51 a 65 años?
5. El 40 % de los alumnos de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la UNED proceden de otra Universidad, el 25 % estudia su segunda carrera y el resto cursa estudios superiores por primera vez. El porcentaje de mujeres en cada uno de estos grupos es de 40, 60 y 55 respectivamente. Para elaborar una encuesta se elige al azar un estudiante y se desea saber:
a) Cual es la probabilidad de que proceda de otra Universidad y sea mujer.
b) Si se eligió una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de otra Universidad?
6. Por un estudio encargado por el partido político “Seguro Que Ganamos” (SQG) se obtiene la siguiente información: el 17% de la población tiene estudios superiores, el 44% estudios medios, el 30% estudios primarios y el 9% no tiene estudios. De entre los de estudios superiores el 25% votan al partido SQG, entre los de estudios medios el 35%, entre los de estudios primarios el 22% y entre los que no tienen estudios votan partido SQG el 18%. Si se extrae un sujeto al azar, obtenga las siguientes probabilidades:
a) Que sea titulado superior sabiendo que vota al SQG. b) Que sea persona sin estudios que vota al SQG;
c) Que sea una persona con estudios primarios o que no vote al SQG.
7. Suponga que un espacio muestral es: S = E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7 en donde de E1, . . . ,E7
representan los puntos muestrales. Se aplican las siguientes asignaciones de probabilidades: P(E1)=0.05, P(E2)=0.20, P(E3)=0.20, P(E4)=0.25, P(E5)=0.15, P(E6)=0.10, P(E7)=0.05
Sean A=E1, E4, E6 a) Determinar P(), P(), P(C)
B=E2, E4, E7 b) Determinar P()
C=E2, E3, E5, E7 c) Determinar P()
d) ¿Son mutuamente excluyentes A y C? e) Determinar Bc y P(BC)
8. Suponga que una caja contenga diez bolas distribuidas de la siguiente manera: Tres son de color y tienen puntos
Una es de color y tienen franjas Dos son grises y tienen puntos Cuatro son grises y tienen franjas
a) Si una persona extrae de la caja una bola de color:
a.1 ¿Cuál es la probabilidad de que ésta contenga puntos? a.2 ¿Cuál es la probabilidad de que tenga franjas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de la bola tenga puntos, dado que es gris? c) Calcule P ( gris/puntos) y P ( color/puntos).
9. Una tienda de autoservicio ha sido víctima de muchos ladrones durante un mes determinado, pero debido al aumento de las condiciones de seguridad de la tienda, se ha podido aprehender a 250 ladrones. Se registró el sexo de cada infractor y si éste era su primero robo o si ya había sido sorprendido con anterioridad. Los datos se resumen en la siguiente tabla:
Sexo Primera aprehensión Segunda aprehensión
Hombre 60 70
Mujer 44 76
Suponiendo que un infractor aprehendido es seleccionado al azar, encuentre:
a) La probabilidad de que éste sea hombre.
b) La probabilidad de que sea la primera aprehensión del infractor, dado que sea hombre. c) La probabilidad de que el ladrón sea mujer, dado que éste es reincidente.
d) La probabilidad de que el ladrón sea mujer, dado que es su primera aprehensión.
10. El gerente regional de una compañía privada de paquetería está preocupada por la posibilidad de que algunos de sus empleados vayan a huelga. Estima que la probabilidad de que sus pilotos para viajes fuera de la ciudad (P1) vayan a huelga es de 0.75 y la probabilidad de que sus pilotos para
viajes dentro de la ciudad (P2) se vayan a huelga es de 0.65. Además estima que si los P2 se van a huelga, existe 90% de posibilidad de que los P1 realicen un paro solidario de actividades.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos grupos se vayan a huelga?
b) Si los pilotos P1 hacen huelga ¿Cuál es la probabilidad de que los pilotos P2 lo hagan también como acto de solidaridad?
11. Un transportista de productos tiene 10,000 cajas de plátanos que provienen de Ecuador y de Honduras. Una inspección de la carga ha dado la siguiente información:
Origen Número de cajas con fruta: Total de cajas Echada a perder Muy madura
Ecuador 200 840 6000
Honduras 365 295 4000
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja seleccionada al azar contenga fruta echada a perder?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja seleccionada al azar contenga fruta muy madura?
c) Dado que una caja seleccionada al azar contiene fruta muy madura ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de Honduras?
12. En un conjunto de estudiantes el 15% estudia alemán, el 30% estudia francés y el 10% ambas materias.
a) ¿Son independientes los sucesos estudiar alemán y estudiar francés?
b) Si se elige un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que no estudie francés ni alemán.
13. En una ciudad el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30% consume pan de multicereales y el 20% consume ambos. Se pide:
a) Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que coma pan de multicereales?
b) Sabiendo que un habitante consume pan de multicereales, ¿cuál es la probabilidad de que no consuma pan integral?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma ninguno de los dos tipos de pan?
14. La probabilidad de que un hombre viva más de 25 años es de 3/5, la de una mujer es de 2/3. Se pide:
a) La probabilidad de que ambos vivan más de 25 años. b) La probabilidad de que sólo viva más de 25 años el hombre. c) La probabilidad de que sólo viva más de 25 años la mujer.
15. La probabilidad de que un artículo provenga de una fábrica A1 es 0.7, y la probabilidad de que
provenga de otra A2 es 0.3. Se sabe que la fábrica A1 produce 4 por mil de artículos defectuosos y
la A2 8 por mil.
a) Se observa un artículo y se ve que está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica A2?
b) Se pide un artículo a una de las dos fábricas, elegida al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso?
c) Se piden 5 artículos a la fábrica A1 ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguno defectuoso?
16. De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar dos asistentes y se desea saber:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno hable francés? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hablen castellano?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan sólo en castellano? d) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo hablen un idioma?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que hablen los tres idiomas?
17. En un hospital especializado en enfermedades de tórax ingresan un 50 % de enfermos de bronquitis, un 30 % de neumonía y un 20 % con gripe. La probabilidad de curación completa en cada una de dichas enfermedades es, respectivamente, 0.7; 0.8 y 0.9. Un enfermo internado en el hospital ha sido dado de alta completamente curado. Hallar la probabilidad de que el enfermo dado de alta hubiera ingresado con bronquitis.
18. Una empresa productora de papel y celulosa dispone de 250 registros de candidatos para algunas plazas vacantes. Se asume que los registros representan una muestra aleatoria de la población económicamente activa de la ciudad. En los registros, 60% son hombres y 40% son mujeres. Se sabe que en esta ciudad el 50% de los hombres son fumadores, y apenas 20% de las mujeres fuman.
a) ¿Cuál es la proporción de la población que calificaría para un empleo de motosierrista (hombre y que no fume)?
b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar una persona de sexo femenino, si se sabe que no es fumadora?
19. En los parcelamientos “La Máquina” “Nueva Concepción” y “La Blanca” se producen en su orden el 14, 18, y 25% del total de maíz de la república. Los porcentajes de grano podrido son en su orden: 3,4 y 6%. Para el resto del país, el porcentaje de grano podrido es el triple de la desviación estándar de los porcentajes de pudrición anteriores.
Sí se escoge un saco al azar y se descubre que está podrido:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de “La Máquina”? b) ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del resto del país?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que siendo de “La Blanca” esté podrido?
d) Si se escoge otro y no está podrido ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la Nueva Concepción?
20. Pablo y Pedro juegan 12 partidas de ajedrez, de las cuales Pablo gana 6, Pedro 4 y terminan 2 empatadas. Acuerdan jugar un torneo consistente en 3 partidas. Hallar la probabilidad de que:
a) Pablo gane las 3 partidas. R/ 1/8
b) Dos partidas terminen empatadas. R/ 5/72 c) Pablo y Pedro ganen alternativamente. R/ 5/36 d) Pedro gane al menos una partida. R/ 19/27
21. Un botiquín contiene 2 frascos de aspirinas y 3 de tabletas para la gripe. Un segundo botiquín contiene 3 de aspirinas, 2 de tabletas para la gripe y 1 de tabletas laxantes. Sí se toma un frasco aleatoriamente de cada botiquín, encuentre la probabilidad de que:
a) ambos frascos contengan tabletas para la gripe, b) ningún frasco contenga tabletas para la gripe; c) los dos frascos contengan diferentes tabletas.
22. Entre 60 partes de refacción automotriz cargadas en un camión en Guatemala, 45 tienen a Quetzaltenango por destino y 15 a Huehuetenango. Si dos de las partes se descargan por error en Escuintla y la “selección” es aleatoria, ¿qué probabilidades hay de que:
a) ambas partes debieran de haber llegado a Quetzaltenango, b) ambas partes debieran de haber llegado a Huehuetenango,
c) una debiera haber llegado a Quetzaltenango y la otra a Huehuetenango. R/ a.33/59 b. 7/118 c.45/118
23. La probabilidad de que un Ingeniero Agrónomo diagnostique correctamente una enfermedad en un cultivo en particular es de 0.7. Dado que realizó un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el encargado del cultivo levante una demanda es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el Ingeniero Agrónomo realice un diagnóstico incorrecto y de que el encargado lo demande? R/0.27
24. "Si el 80% de la población adulta ve televisión y el 70% lee algún periódico, demuestre que por lo menos el 50% acude a ambos medios de comunicación."
25. En un grupo de inválidos de guerra, 70% ha perdido un ojo, 75% una oreja, 80% un brazo y 85% una pierna. ¿Cuál es la probabilidad mínima que hayan perdido los cuatro miembros? ¿Y la máxima?
26. Un grupo de excursionistas está realizando un paseo por el parque de Las Victorias de Cobán (Alta Verapaz), en un momento dado se encuentran con tres posibles caminos, a los que llamaremos A, B y C. La posibilidad de que tomen cualquier camino es la misma. Se sabe que la probabilidad de que realicen la ruta sin perderse si toman el camino A es 0.7, si toman el B 0.8 y el C 0.9. Si se sabe que han acabado la ruta y no se han perdido ¿Cuál es la probabilidad de que hayan tomado el camino B?
27. En una población de bovinos se presenta una epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras están enfermos. Se sabe además que hay doble número de hembras que de machos y se pide:
a) Elegido al azar un individuo de esa población ¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo? b) Un individuo de esa población se sabe que está enfermo ¿Qué probabilidad hay de que el citado individuo sea macho?
28. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:
A 32 personas les gusta leer y ver la tv. A 92 personas les gusta leer.
A 47 personas les gusta ver la tv
Si elegimos al azar una de esas personas:
¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tv?
¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tv? ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
29. El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa población:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad? b) Si sabemos que ha dado positiva, ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad?
30. En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han aprobado inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas?
b) Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés? c) ¿Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"?
31. Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.
a) Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador? b) Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
32. En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta de un gabinete de cocina. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave intenta abrir el gabinete. Se pide:
a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?
b) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?
c) Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?
33. En un bosque de Pinus elliottii, 30% de los árboles fueron resinados. De los árboles no resinados, 70% son apropiados para aserrío, en tanto que dentro de los resinados apenas 10% lo son. Asumiendo que en un árbol de este bosque es seleccionado al azar, calcule:
a) ¿Cuál es la probabilidad de ser apropiado para aserrío?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el árbol haya sido resinado y ser propio para aserrío?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido resinado y no sea propio para aserrío?
d) ¿Cuál es la probabilidade de que no haya sido resinado y no sea propio para aserrío?
34. Un alumno de Ingeniería Forestal considera las oportunidades de conseguir dos centros de práctica profesional. Las probabilidades de conseguir la práctica en una empresa forestal son de 80%, en tanto que las probabilidades de conseguir una práctica en un parque nacional son de 70%. Las probabilidades de conseguir en ambos lugares son de 50%.
Calcule:
a) ¿Cuál es la probabilidad que el alumno consiga la práctica en el parque nacional, dado que él