CAPÍTULO 1. ACERCAMIENTO A LOS NÚMEROS NATURALES
1.3 SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1.3.6 Principio fundamental del conteo
El principio fundamental del conteo ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las técnicas de conteo son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
El Principio fundamental del conteo asegura que si una tarea o suceso se puede realizar de 𝑛 formas y otra tarea o suceso ocurre de 𝑚 formas, el número de maneras para desarrollar las dos tareas o sucesos es 𝑛 × 𝑚.
El principio se extiende a cualquier número de acciones. Este principio puede ser visto en términos de la potencia o cardinalidad del producto cartesiano de dos conjuntos dados 𝐴 y 𝐵, el cual es el conjunto formado por las combinaciones producidas por el emparejamiento de cada elemento de 𝐴 con cada elemento de 𝐵.
62 Una estrategia de conteo planteada desde experiencias manipulativas, aparece desde la necesidad de vincular los elementos de conjuntos discretos de una manera sistemática, para formar todas las combinaciones posibles (estrategia del odómetro). Bajo esta estrategia cuando las combinaciones de dos elementos se forman a partir de dos conjuntos dados con un artículo de cada conjunto, un elemento de un conjunto se mantiene constante mientras que los elementos del otro conjunto varían sistemáticamente hasta que todas las combinaciones posibles con el elemento constante se han formado. Un nuevo elemento invariable desde el primer conjunto es entonces seleccionado. El agotamiento de todos los elementos constantes en el primer conjunto indica la generación de todas las combinaciones posibles.
Ejemplo:
Para viajar por la vía aérea entre Pasto y Medellín se puede hacer escala en Cali o en Bogotá. Pasto-Cali tiene dos frecuencias de vuelo y Cali-Medellín tres frecuencias diarias de vuelo; Pasto-Bogotá tiene tres vuelos diarios mientras que Bogotá-Medellín tiene siete vuelos. ¿Cuántas alternativas se tiene en total para viajar entre Pasto y Medellín?
Solución:
Aplicando el principio del conteo es claro que de Pasto a Medellín, pasando por Cali, hay 6 = 2 × 3 alternativas de vuelo y entre Pasto y Medellín, con escala en Bogotá, se tiene 21 = 3 × 7 formas de adquirír su tiquete. Por ello, en total se tiene 27 = 6 + 21 opciones para realizar ese viaje.
1.3.6.1 Permutaciones
Con el principio fundamental del conteo aparecen conceptos de arreglos fundamentales como los de permutación, combinación, permutación con repetición, variación y el factorial, entre otros.
Permutar es “variar la disposición u orden en que estaban dos o más cosas”. Es necesario precisar si estas cosas son o no indistinguibles, para asegurar que la nueva configuración sea en esencia distinta a la antigua.
Las permutaciones ordinarias o sin repetición de 𝑛 elementos se denotan por 𝑃𝑛 y con ello se nombra a los distintos grupos que se pueden formar, de tal manera que en cada grupo entren los 𝑛 elementos y que un grupo se diferencie de los demás en el orden de ubicación de los elementos.
Se tiene que 𝑃𝑛 = 𝑛! donde 𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × ⋯ × 2 × 1, es decir que 𝑛! es el producto de todos los enteros positivos no mayores que 𝑛. Es el caso, entonces, que 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 que es una entre las infinitas formas de escribir 120.
El factorial de un número es algo que crece en forma desbordada; por ejemplo, 13! =6227020800; no obstante, en apariencia, 13 es un número pequeño. Al mismo tiempo se define 1! = 0! = 1. Imagine como vendría el doble factorial, en el que, por decir algo, 13!! =6227020800!
63 Las permutaciones con repetición son las ordenaciones distintas que pueden obtenerse con 𝑛 elementos si hay 𝑘 < 𝑛 grupos cuyos objetos son indistinguibles entre sí y cada grupo contiene 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑘 elementos respectivamente, de forma que
𝑎1+ 𝑎2+ ⋯ + 𝑎𝑘 = 𝑛.
El total de permutaciones con repetición, en este caso, obedece a la siguiente fórmula:
𝑃𝑛′= 𝑛!
𝑎1! × 𝑎2! × ⋯ × 𝑎𝑘!
Piense en un grupo de diez (10) canicas entre las cuales hay seis (6) amarillas, dos (2) azules y dos rojas y quiere armar la simbología de la bandera de Colombia, entonces se tiene 𝑃10′ = 10!
6!×2!×2!= 1260 maneras de producir tales ordenamientos.
El número de ordenaciones distintas de 𝑛 objetos distintos es 𝑃𝑛 = 𝑛!
Cuando los objetos están distribuidos en una circunferencia, se tendrá un menor número de ordenaciones. El criterio que define una nueva configuración es la posición relativa de unos elementos con respecto a los demás. Denotando 𝑃𝐶𝑛 a los distintos grupos que se pueden formar, se tiene que: 𝑃𝐶𝑛 = (𝑛 − 1)!.
Ejemplo:
Los tres mosqueteros sentados alrededor de una mesa al desayuno, pudieron sentarse de 4! = 24 maneras diferentes. (Recuerde que los tres mosqueteros fueron cuatro).
1.3.6.2 Variaciones
En lenguaje vernáculo, variar significa “hacer que una cosa sea diferente en algo de lo que era antes”. En matemáticas, la palabra variación tiene una acepción más precisa: una variación de una familia de elementos es una modificación de alguno de sus elementos o del orden en que se presentan.
Las variaciones ordinarias o sin repetición de 𝑛 elementos tomados de 𝑘 en 𝑘 y denotado por 𝑉𝑛.𝑘, son los distintos grupos que se pueden formar con los 𝑛 elementos de tal forma que en cada grupo entren 𝑘 elementos distintos y que un grupo se diferencie de los demás, bien en alguno de sus elementos o en su orden de ubicación.
De este modo se encuentra que:
𝑉𝑛,𝑘= 𝑛!
(𝑛 − 𝑘)! .
64 Ejemplo:
Cinco personas entran a una furgoneta en la que hay siete asientos; ¿de cuántas maneras pueden sentarse?
Solución:
La respuesta se obtiene así:𝑉𝑛,𝑘 = 𝑉7,4= 7!
(7−4)!=7!
3!= 7 × 6 × 5 × 4 = 840.
Por lo tanto, hay 840 alternativas de ubicarse en la furgoneta.
Se llaman variaciones con repetición de 𝑛 elementos, tomados de 𝑘 en 𝑘 y denotado por 𝑉𝑅𝑛,𝑘 a los distintos grupos que se pueden formar con los 𝑛 elementos, de tal manera que en cada grupo entren 𝑘 elementos iguales o distintos y que un grupo se diferencie de los demás, bien en algún elemento, bien en su orden de ubicación:
𝑉𝑅𝑛,𝑘 =𝑛!
𝑘!
1.3.6.3 Combinaciones
En lenguaje vernáculo, combinar es “unir cosas diversas, de manera que formen un compuesto”.
Al igual que las variaciones y las permutaciones, el concepto de combinación tiene un significado concreto en matemáticas (en matemáticas, las palabras comunes tienen significados especiales; grupo, anillo, cuerpo, dominio, quebrado, fracción, parte, función dominio, rango, …).
Combinación es el número de conjuntos de un determinado número de elementos que se pueden formar con un universo de objetos, sin importar el orden de selección, solo importa qué elementos se toman. Las combinaciones ordinarias o sin repetición de 𝑛 elementos, tomados de 𝑘 en 𝑘 y denotado por 𝐶𝑛,𝑘 = (𝑛
𝑘) a los diferentes conjuntos de 𝑘 elementos distintos; esto es, un conjunto que se distinga de los demás en al menos un elemento (no importa el orden de ubicación o selección):
𝐶𝑛,𝑘 = (𝑛
𝑘) = 𝑛!
(𝑛 − 𝑘)! × 𝑘!
Ejemplos:
Entre diez músicos de la misma calidad interpretativa, se desea conformar un trío. De cuántas maneras se puede hacer.
Solución:
Se tiene la posibilidad de obtener (10
3) = 10!
7!×3!= 120 tríos.
65 En una esquina se encuentran cinco amigos que se saludan de apretones de mano, Determinar el número de apretones manos que se producen.
Se producen (5
2) = 5!
3!×2!= 10 apretones de mano.
1.3.7 Aplicación del principio fundamental del conteo