Si es aplicable, la
probabilidad obtenida es
exacta.
No exige la realización de
experiencias ni recoger
datos.
Es de fácil uso.
No siempre es
aplicable.
Definición de Probabilidad.
Sea un espacio muestral asociado a un experimento. La probabilidad P, es una función que asigna a cada evento A, un número P(A), llamado probabilidad del evento A, tal que cumple los siguientes axiomas:
Teorema Sean A y B dos eventos arbitrarios, entonces: – P ( ) = 0 – P( AC ) = 1 – P( A ) – Si A B, entonces P( A ) P( B ) – Si A B, entonces P(B – A) = P(B) – P(A) A A B
• Corolario. Para todo evento A, 0 P( A ) 1
• Teorema. Para dos eventos arbitrarios A y B se tiene que: P( A B ) = P( A ) + P( B ) - P( A B)
A B
Ejemplo
– En una determinada ciudad, el 60% de los hogares se suscriben a un periódico de circulación nacional, el 80% a un periódico de circulación local y el 50 % se suscriben a ambos periódicos. Si se selecciona al azar un hogar, ¿Cuál es la probabilidad de que :
• esté suscrito al menos en uno de los dos periódicos? • esté suscrito exactamente a uno de los dos periódicos? • no se suscribe a los periódicos?
Solución
: el conjunto de hogares de una cierta ciudad.
A: conjunto de hogares que se suscribe a un periódico de circulación nacional.
B: conjunto de hogares que se suscribe a un periódico de circulación local.
P(A)= 0,6 P(B)=0,8
AB: conjunto de hogares que se suscribe a ambos periódicos.
P(AB)= 0,5
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 0,6+ 0,8-0,5=0,9
Luego la probabilidad de que un hogar esté suscrito al menos en uno de estos dos periódicos es de 0,9.
El 90% de los hogares está suscrito al menos a uno de estos dos periódicos.
– ¿Cuál es la probabilidad de que esté suscrito exactamente a uno de los dos periódicos?
P(A)+P(B)-2P(AB)= 0,6 + 0,8 – 2*0,5 = 0,4
Luego la probabilidad de que un hogar esté suscrito a exactamente un periódico es 0,4.
Solución
– ¿Cuál es la probabilidad de que no esté suscrito a ningún periódico?
P([AB]c) o bien
1-P(AB) =1-0,9=0,1
Luego la probabilidad de que un hogar no esté suscrito ningún periódico es de 0,1.
Probabilidad Condicional.
– _
A B
– _
– Observar que
P(AB)=P(B)P(A/B) – Análogamente podemos observar que:
– Así P(AB)=P(A)P(B/A)
(
)
( / )
( )
P A
B
P A B
P B
(
)
( / )
( )
P A
B
P B A
P A
Ejemplo
– En la ciudad de Concepción, la probabilidad que llueva el día uno de junio es 0,5 y la probabilidad que llueva el 1 y 2 de junio es 0,4.
• Dado que llovió el 1 de junio ¿cuál es la probabilidad que llueva el día 2 de junio?.
– A: llueve el 1 de junio B: llueve el 2 de junio – P(A)=0,5 P(AB)=0,4 ( ) 0, 4 ( / ) 0,8 ( ) 0, 5 P A B P B A P A
Luego la probabilidad que llueva el 2 de junio dado que llovió el 1 de junio es de 0,8.
Ejemplo
• ¿Cuál es la probabilidad que no llueva el día 2 de junio dado que el 1 de junio llovió?
– A: llueve el 1 de junio B: llueve el 2 de junio – P(A)=0,5 P(AB)=0,4 P(B/A)=0,8
– P(Bc/A)=1-P(B/A)=0,2
– Luego la probabilidad que llueva el 2 de junio dado que no llovió el 1 de junio es de 0,2.
Regla de multiplicación
P(AB) = P(B) P(A/B) = P(A) P(B/A) Una generalización de lo anterior está dada por:
P( ) =P(Ak 1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(Ak/A1A2...Ak-1)
i i
A
1
Ejemplo
• Una caja contiene cinco bolas roja y seis negras; se extrae al azar sucesivamente y sin reposición dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que las dos resulten rojas?
Intuitivamente tenemos que la probabilidad de sacar una bola roja la primera vez de la caja es de 5/11, luego la caja queda con 10 bolas de las cuales cuatro son rojas. Observe que al sacar nuevamente una bola roja de la caja tenemos que la probabilidad se modificó, ahora es 4/10.
Así la probabilidad de sacar sucesivamente dos bolas rojas es (5/11)(4/10)=2/11.
Definamos Ai como el evento de sacar una bola roja en a i-ésima extracción, así,
A1 : será el evento de sacar una bola roja la primera vez, A2 : sacar una bola roja la segunda vez,
A2/A1 : será el evento de sacar una bola roja la segunda vez dado que la primera vez se sacó una bola roja y
A1A2 : será el evento de sacar sucesivamente dos bolas rojas. P(A1)=5/11 P(A2/A1)=4/10
Ejemplo
• Una caja contiene 5 bolas roja y seis negras; se extrae al azar sucesivamente y con reposición dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que las dos resulten rojas?
En este caso hay reposición, luego la probabilidad no cambia de extracción en extracción, así P(A1)P(A2)=(5/11)2.
Regla de la Probabilidad Total
– Supongamos que los eventos A1, A2, ... Ak forman una partición del espacio muestral , entonces para cualquier evento B se tiene que:
Regla de la Probabilidad Total
P(B) = P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2) +...+ P(B/Ak) P(Ak)
Podemos escribir B como: B=[BA1] [BA2] [BA3] [BA4]. Dado que son conjuntos disjuntos tenemos que:
P(B)=P[BA1] + P[BA2] + [BA3] + [BA4]
y por la regla de la multiplicación:
P(B)= P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) +...+ P(Ak) P(B/Ak)
– En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay un 20% de defectuosos y en B hay un 25%. En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y 100 del proceso B. Si se extrae al azar un producto, hallar la probabilidad que sea defectuoso.
A: sacar un artículo de la línea A. P(A)=200/300. D/A: sacar un artículo defectuoso de la línea A. P(D/A)=0,20 B: sacar un artículo de la línea B. P(B)=100/300. D/B: saca un artículo defectuoso de la línea B. P(D/B)=0,25
– En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay un 20% de defectuosos y en B hay un 25%. En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y 100 del proceso B. Si se extrae al azar un producto, hallar la probabilidad que sea defectuoso.
P(A)=200/300. P(D/A)=0,20 P(B)=100/300. P(D/B)=0,25
D: extracción de defectuoso considerando ambas líneas, esto es si se saca de A que sea defectuoso o si se saca de B y que sea defectuoso, es decir: P[DA] + P[DB].
P(D)= P(D/A)P(A)+P(D/B)P(B)=0,217
Teorema de Bayes
– Bajo las mismas condiciones de la regla anterior, se tiene que: 1
(
/
) (
)
(
/
)
(
/
) (
)
i i i k j j jP B A P A
P A
B
P B A P A
(
)
(
/ )
( )
i iP B
A
P A B
P B
Ejemplo
– En el ejemplo anterior. Si al extraer el producto resultó ser defectuoso, hallar la probabilidad de que sea del proceso A.
D: extracción de defectuoso considerando ambas líneas. P(D)= P(D/A)P(A)+P(D/B)P(B)=0,217
P(A/D)=P(DA)/P(D)= P(D/A)P(A)/P(D)=0,615
Luego la probabilidad de ser de la línea A dado que resultó ser defectuoso es de 0,615.
P(A)=200/300. P(D/A)=0,20 P(B)=100/300. P(D/B)=0,25
• Definición: Dos eventos A y B son independientes si P(A/B)=P(A) y P(B/A)=P(B). De manera equivalente se dice que dos eventos A y B son independientes si y sólo si P(AB) = P(A) P(B).
• Teorema:Si A y B en son eventos independientes, entonces:
– A y Bc son eventos independientes.
– Ac y B son eventos independientes.