En el problema 24, ¿con cuánto liquidaría su deuda Marisela el 1 de octubre?

a) $32,309.35 b) $33,297.23 c) $29,975.43 d) $32,987.43 e) Otra

26. Al momento de firmar contratos una constructora recibe un anticipo por $1’750,000 para am- pliar un tramo de carretera. Siete semanas después le pagan otros $3’000,000, y el resto cuan- do entrega las obras 6 meses después de la firma. ¿Por qué cantidad es este pago, si el costo al comenzar los trabajos fue por $6’250,700? Considere que el dinero genera intereses del 18.2% simple anual y la ampliación se inició dos semanas después de la firma del contrato.

a) $1’423,429.35 b) $1’695,876.70 c) $1’703,429 d) $1’640,373.28 e) Otra

27. Para regalar en navidad, Patricia hace un depósito por $5,350 tres meses antes de su compra, y un pago de $4,950 dos meses después del primero. ¿Qué cantidad de dinero pagó el día de la compra, si el total que gastó fue de $13,725.45 y a cuánto ascienden los intereses o cargos? Suponga intereses del 15.30% simple anual.

a) $3,157.25 b) $3,329.52 c) $2,868.36 d) $3,565.00 e) Otra

28. ¿Cuánto gana por intereses el contador Martínez al invertir $35,000 con plazo de 7 meses e intereses del 1.2% simple mensual?

a) $2,760.00 b) $2,940.00 c) $3,028.00 d) $2,670.00 e) Otra

solución

Ejemplo 1

¿Cuál es el descuento real de un documento con valor nominal de $25,300, 72 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 11.4% simple anual?

En la fórmula del interés simple, se sustituyen

M por 25,300, el valor nominal del documento

n por 72 días, el plazo o tiempo que falta para el vencimiento i por d= 0.114, la tasa de interés, es decir, de descuento

Entonces,

25,300 = C[1 + (0.114/360)72] M= C(1 + in)

25,300 = C(1.0228)

de donde C= 25,300/1.0228 o C = 24,736.02

El descuento real es, entonces, D= M − C, es decir,

D= 25,300 − 24,736.02 o D= $563.98

Ejemplo 2

Descuento comercial de un pagaré

El descuento comercial de un documento con valor nominal de $6,500, tres meses antes de vencer, es decir, n = 3/12, puesto que éste es el plazo en años, con un tipo de descuento del 11.2% simple anual, es

D = 6,500(3/12)(0.112) o D= Mnd D = $182

Si al valor nominal del pagaré se le resta este descuento, entonces se obtendrá su valor co-

mercial o valor descontado P, que en este caso será:

P = 6,500 − 182 o P = $6,318 CⴝⲐx 789 4 ⴚ ⴙ 56 123 0 .ⴝ

A diferencia del anterior, el descuento comercial, llamado así por su semejanza con la rebaja que los comerciantes hacen a sus artículos cuando los venden, quitando algunos pesos al precio de lista, se calcula restando al valor nominal un descuento. La adquisición de CETESes un claro ejem-

plo de inversiones que se manejan con descuento comercial, el cual, en general, se obtiene mul- tiplicando el valor nominal del documento por el plazo y por la tasa de descuento, es decir,

D= Mnd

donde d es la tasa de descuento simple anual, n es el plazo en años, D es el descuento comer-

Fórmula general

El resultado anterior se expresa generalmente como

P = M − Mnd ya que D= Mnd donde, al factorizar M, se obtiene la fórmula del siguiente teorema. Teorema 3.3

El valor comercial P de un documento con valor nominal M, n años antes de su vencimiento es

P = M(1 − nd)

donde d es la tasa de descuento simple anual.

solución

Ejemplo 3

Valor comercial de un pagaré

¿Cuál es el valor comercial del 12 de mayo de un documento que ampara un préstamo de $26,500, recibido el 25 de enero pasado con intereses del 12% simple anual y cuyo venci- miento es el 30 de julio? Suponga que la tasa de descuento simple anual es del 12.5%.

En la figura 3.6 se muestra un diagrama temporal, donde aparecen las fechas, las cantidades de dinero y los plazos.

FIGURA3.6

Primero es necesario hallar el valor futuro de los $26,500 del préstamo, mediante la fórmu- la del interés simple:

M = 26,500[1 + (186/360)(0.12)] M= C(1 + ni) M = 26,500(1.062) o M = $28,143

Con este valor futuro, el plazo n = 79/360 años y la tasa de descuento d = 0.125, se obtiene el valor descontado.

P = 28,143[1 − (79/360)(0.125)]

P= 28,143(0.972569445) o P = $27,371.02

Enero 25 Mayo 12 Junio 30

26,500 107 días 79 días P M CⴝⲐx 789 4 ⴚ ⴙ 56 123 0 .ⴝ

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solución

Ejemplo 4

Plazo y tasa de interés en un documento

¿Qué día se negocia en $32,406 el siguiente documento con descuento del 10.02% simple anual? Suponiendo que ampara un crédito en mercancía por $32,000, ¿cuál fue la tasa de in- terés simple anual?

Bueno por $33,050.00

Por este pagaré me obligo a pagar incondicionalmente a la orden de CH Impresiones en México D.F. el día 17 de febrero de 2005 la cantidad de $33,050.00 (treinta y tres mil cin- cuenta pesos 00/100 m.n.), valor recibido a mi entera satisfacción.

Lugar y fecha: Naucalpan, Estado de México, a 5 de octubre de 2004 Nombre: Antonio Gutiérrez

Domicilio: Calle 4 # 27, Col. Alce Blanco

acepto

a) El valor nominal es de $33,050, el valor en que se comercializa es de $32,406, la tasa de

descuento es d = 0.1002, por lo tanto,

32,406 = 33,050[1 − n(0.1002)] P= M (1 − nd)

de donde 32,406/33,050 − 1 = −n(0.1002)

n(0.1002) = 0.019485628 n= 0.019485628/0.1002

n= 0.194467343 años, porque la tasa es anual, esto es,

0.194467343(360) = 70.00824359 días

Significa que 70 días antes del 17 de febrero, es decir, el 9 de diciembre de 2004, el do- cumento se comercializa en $32,406.

b) El plazo entre el 17 de febrero y el 5 de octubre anterior es de 135 días, el capital es el va-

lor de la mercancía $32,000, el monto es M= 33,050 y la tasa de interés i se obtiene des- pejándola de la siguiente ecuación:

solución

Ejemplo 5

Descuento interbancario

El Banco del Sur descuenta al señor Gómez el 15% de interés simple anual de un documen- to con valor nominal de $30,000 que vence 45 días después. El mismo día, el banco descuen- ta el pagaré en el Banco Nacional con el 13.5% anual. ¿Cuál fue la utilidad para el Banco del Sur?

El plazo es n = 45/360 años, el monto (valor nominal) es M = 30,000, la tasa de descuento es d = 0.15; entonces, el capital que el señor Gómez recibe por el documento es

P = 30,000[1 − (45/360)(0.15)]

P = 30,000(0.98125) o P = $29,437.50

Ahora bien, el capital que el Banco del Sur recibe del Nacional, dado que la tasa de descuen- to es d = 0.135, es

P = 30,000[1 − (45/360)(0.135)] P = 30,000(0.983125)

P = $29,493.75

La diferencia entre los dos resultados es la utilidad para el Banco del Sur:

U= 29,493.75 − 29,437.50 U = $56.25

Note que esto es igual a la utilidad de los $30,000 al 1.5% en 45 días.

U= 30,000(0.015)(45/360) U = $56.25

El 1.5% es la diferencia entre los porcentajes.

33,050 = 32,000[1 + i(135)] M= C(1 + in)

33,050/32,000 − 1 = i(135) 0.0328125 = i(135) o

i= 0.000243056 diaria, porque el plazo está en días.

Para la tasa anual se multiplica por 360:

0.000243056(360) = 0.0875, es decir, 8.75%

Ejercicios 3.4