En los procesos de control de nivel de líquidos, el análisis del fluido es distinto si el flujo de éste se halla en régimen laminar o régimen turbulento. La magnitud que indica en qué régimen se halla el líquido es el número
de Reynolds. Se considera que el flujo es laminar si el número de Reynolds es inferior a 2000.
En el caso del flujo laminar, se asume que el movimiento del líquido es el movimiento de un conjunto de capas paralelas, lo que permite tratar al flujo como estable (no existen turbulencias). Si el líquido avanza entremezclando sus capas paralelas y produciendo torbellinos, se dice que el flujo es turbulento.
Los sistemas en los que se tiene flujo turbulento, deben representarse, a menudo, mediante ecuaciones diferenciales no lineales, en tanto que los sistemas con un flujo laminar pueden representarse mediante ecuaciones diferenciales lineales. Lo habitual en los procesos industriales es un flujo de líquidos a través de tubos y tanques conectados, el cual resulta, a menudo, turbulento y no laminar.
En este apartado se van a obtener modelos matemáticos de procesos de control de nivel de líquidos. Si se introduce el concepto de resistencia y capacidad para estos procesos, es posible describir en formas simples sus características dinámicas.
El concepto de resistencia se va a introducir del siguiente modo. Considérese el flujo a través de un tubo corto que conecta dos tanques. La resistencia R que representa dicho tubo para el flujo de líquido se define como el cambio en la diferencia de nivel (entre los dos tanques) necesaria para producir un cambio de una unidad en el caudal del flujo:
R cambio en la difencia de nivel m cambio en el caudal de flujo m s
= ( )
( 3 / )
(3.6.0.1)
Dado que la relación entre el caudal y la diferencia de nivel es distinta para el flujo laminar y el flujo turbulento, en lo sucesivo se tratarán ambos casos.
Se tiene el sistema que aparece en la figura 3.33, en el cual el líquido sale a chorros a través de la válvula de carga a un lado del tanque. Si el flujo a través de esta restricción (válvula de carga) es laminar, la relación entre la velocidad del flujo en estado estable y la altura en estado estable en el nivel de la restricción se obtiene mediante: Q = K·H (3.6.0.2) resistencia R capacidad C válvula de control válvula de carga H + h
donde Q es el caudal del flujo en estado estable expresado en m3/s, K es un coeficiente en m2/s y H es la
altura en estado estable dada en metros.
Para el flujo laminar, la resistencia Rl se obtiene como:
R H Q H Q l = = δ δ (3.6.0.3)
La ecuación (3.6.0.3) es muy similar a la expresión matemática de la ley de Ohm, donde Rl sería la
resistencia eléctrica, H la diferencia de potencial o tensión y Q la corriente eléctrica.
Si el flujo es turbulento a través de la restricción (válvula de carga), el caudal en estado estable se obtiene mediante:
Q= ⋅K H (3.6.0.4)
donde Q es el caudal del flujo en estado estable expresado en m3/s, K es un coeficiente en m2,5/s y H es la
altura en estado estable dada en metros.
La resistencia Rt para el flujo turbulento se expresa como:
R H
Q t =
δ
δ (3.6.0.5)
Tomando el valor del caudal Q de la ecuación (3.6.0.4) y derivando con respecto a la altura H:
(
)
δ δ δ δ Q H K H H K H = ⋅ = ⋅ 2 (3.6.0.6)Ahora, sustituyendo el valor de la ecuación (3.6.0.6) en la ecuación (3.6.0.5), resulta:
R H K H H Q H Q t = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ 2 2 2 (3.6.0.7)
El valor de la resistencia de flujo turbulento Rt depende del flujo y la altura. Sin embargo, el valor de Rt se
considera constante si los cambios en la altura y en el flujo son pequeños. Usando la resistencia de flujo turbulento, la relación entre Q y H se expresa:
Q H
Rt
=2⋅ (3.6.0.8)
Tal linealización es válida, siempre y cuando los cambios en la altura y el flujo, a partir de sus valores respectivos en estado estable, sean pequeños.
En muchos casos prácticos, se desconoce el valor del coeficiente K de la ecuación (3.6.0.4). En tales casos, la resistencia se determina mediante una gráfica que representa la altura frente al caudal basada en datos
caudal Q Altura H q h P Q H -H 0 Figura 3.34 : Gráfica H - Q.
experimentales. La resistencia se obtiene midiendo la pendiente de la curva en el punto de operación. Un ejemplo de tal gráfica aparece en la figura 3.34. En la figura, el punto P es el punto de operación en estado estable, (H , Q). La línea tangente a la curva en el punto P interseca la ordenada en el punto (-H , 0). Por
tanto, la pendiente de esta línea tangente es 2⋅H Q/ . Considerando que la resistencia Rt es la pendiente en el
punto de operación (H , Q), el valor de la resistencia Rt es 2⋅H Q/ .
Si se toma la condición de operación en la vecindad del punto P, se define como h una desviación pequeña de la altura a partir del valor en estado estable y como q el pequeño cambio correspondiente del flujo, la pendiente de la curva en el punto P se obtiene mediante:
( )
tg P h q H Q Rt = =2⋅ = (3.6.0.9)La aproximación lineal se basa en el hecho de que la curva real no difiere mucho de su recta tangente si la condición de operación no varía mucho.
El concepto de capacidad C de un tanque se define como el cambio necesario en la cantidad de líquido almacenado, para producir un cambio de una unidad en el potencial (altura). El potencial es la cantidad que indica el nivel de energía del sistema.
C cambio en el volumen de líquido m cambio en la altura m
= ( )
( )
3
(3.6.0.10)
No se debe confundir la capacidad, C, de un tanque con su capacidad volumétrica. La capacidad del tanque es igual a su área transversal. Si ésta es constante, la capacidad es constante para cualquier altura.
Ejemplo 3.11
Se tiene el sistema de la figura 3.33. Se definen las siguientes variables:
• Q : caudal en estado estable (antes de que haya ocurrido cualquier cambio) en m3/s.
• qi : desviación pequeña del caudal de entrada de su valor en estado estable expresado en m3/s.
• qo : desviación pequeña de la velocidad de salida de su valor en estado estable en m3/s.
• H : altura en estado estable (antes de que haya ocurrido un cambio) expresado en m. • h : desviación pequeña de la altura a partir de su valor en estado estable en m.
Ya se ha comentado anteriormente que un sistema se considera lineal si el flujo es laminar. Aunque el flujo sea turbulento, el sistema puede linealizarse si los cambios en las variables se mantienen pequeños. A partir de esta suposición, la ecuación diferencial de este sistema se obtiene considerando que la diferencia entre el flujo de entrada y el flujo de salida durante el pequeño intervalo de tiempo δ t es igual a la cantidad adicional almacenada en el tanque, es decir:
(
)
C⋅δh= qi −qo ⋅δt (3.6.0.11)
A partir de la definición de resistencia, la relación entre qo y h se obtiene mediante:
q h R
o = (3.6.0.12)
La ecuación diferencial para este sistema para un valor constante de R se convierte en:
C h q h R t i ⋅ = − ⋅ δ δ ; R C h t h R qi ⋅ ⋅δ + = ⋅ δ (3.6.0.13)
Nótese que R·C es la constante de tiempo del sistema.
Función de transferencia.
condiciones iniciales igual a cero, se tiene:
(
R C s⋅ ⋅ + ⋅1) ( )
H s = ⋅R Q si( )
(3.6.0.14)Si qi se considera la entrada y h la salida, la función de transferencia del sistema es:
( )
( )
H s Q s R R C s i = ⋅ ⋅ +1 (3.6.0.15) Usando la relación:( )
( )
Q s R H s o = ⋅ 1y tomando qo como la salida (siendo la entrada la misma) la función de transferencia es:
( )
( )
Q s Q s R C s o i = ⋅ ⋅ + 1 1 (3.6.0.16)Actividades de enseñanza – aprendizaje.
Las actividades que se proponen a continuación requieren la utilización de un software de resolución de problemas matemáticos y visualización de gráficas. Para este tipo de actividades se recomienda el uso MATLAB.
Actividad 3.1: Obtención de la respuesta v
o(t) cuando la excitación es un
escalón.
En el circuito eléctrico de la figura 3.35, se desea obtener la expresión de la respuesta vo(t) cuando la
excitación vi(t) sea un escalón unitario.
Los valores de los componentes son: • R1 = 20 Ω.
• R2 = 1000 Ω.
• L1 = 1 H.
• L2 = 2 H.
• C = 20 µF.
Realizar los siguientes pasos:
• Obtener la función de transferencia que relacione la señal de salida con la señal de entrada o excitación. • Obtener la respuesta del sistema, en el dominio complejo, cuando la señal de entrada es un escalón
unitario. El resultado será un cociente de polinomios en el dominio complejo.
• Para poder obtener la transformada inversa de Laplace de la respuesta, realizar la expansión en fracciones parciales con MATLAB.
• Realizar la transformada inversa de Laplace de la función obtenida con la expansión en fracciones parciales.
• Trazar una gráfica de la respuesta y de la entrada en un intervalo de tiempo de 5 segundos. Para una correcta visualización de las señales, toma 10 muestras por segundo.
Actividad 3.2: Obtención de la respuesta v
o(t) cuando la excitación es una
rampa.
En el circuito eléctrico de la figura 3.35, se desea obtener la expresión de la respuesta vo(t) cuando la
excitación vi(t) sea una rampa unitaria.
Realizar los siguientes pasos:
• Obtener la función de transferencia que relacione la señal de salida con la señal de entrada o excitación. • Obtener la respuesta del sistema, en el dominio complejo, cuando la señal de entrada es una rampa
unitaria. El resultado será un cociente de polinomios en el dominio complejo.
• Para poder obtener la transformada inversa de Laplace de la respuesta, realizar la expansión en fracciones parciales con MATLAB.
• Realizar la transformada inversa de Laplace de la función obtenida con la expansión en fracciones parciales.
C A
B
• Traza una gráfica de la respuesta y de la entrada en un intervalo de tiempo de 5 segundos. Para una correcta visualización de las señales, toma 10 muestras por segundo.
Ejercicios de profundización y refuerzo.
Ejercicio 3.1
Realizar la simplificación del diagrama de bloques de la figura 3.36 y obtener su función de transferencia.
Ejercicio 3.2
Realizar la simplificación del diagrama de bloques de la figura 3.37 y obtener su función de transferencia.
Ejercicio 3.3
El proceso de control de una planta aparece representado mediante el diagrama de bloques de la figura 3.38. Dicho proceso consta de un proceso controlado (planta), un controlador (integrador) y un transmisor de medida (sensor), los cuales aparecen representados mediante sus respectivas funciones de transferencia. Realizar el modelo matemático en el espacio de estados (ecuación de estado y ecuación de salida) considerando como variables de estado x1(t), x2(t) y x3(t).
R(s) Y(s)
G
Figura 3.36 : Diagrama de bloques para simplificar.
R(s) Y(s)
Figura 3.37 : Diagrama de bloques para simplificar.
R(s) E(s) Y(s) integrador planta sensor 1 s + 1 1 s 10 s + 5
Ejercicio 3.4
Se diseña un sistema de suspensión activa para un automóvil y se desarrolla el modelo de las partes pasivas de la suspensión más un actuador ideal. Con el fin de simplificar el análisis, en la descripción del modelo se utiliza la cuarta parte del coche, es decir, una rueda, medio eje y la cuarta parte de la masa del coche. El sistema, tal y como se ha descrito, aparece en la figura 3.39, donde se introduce un actuador que se conecta directamente entre la masa del automóvil y el eje. Con este actuador se pretende ejercer una fuerza controlada en el sistema de suspensión, el cual es a su vez controlado por una corriente i(t). Describir las ecuaciones diferenciales del modelo propuesto donde aparezcan las relaciones entre la fuerza ejercida por el actuador y el resto del sistema.
Ejercicio 3.5
Se tiene un motor de corriente continua de imanes permanentes que arrastra una masa de inercia J (figura
3.40).
El motor aparece representado por un inducido ideal de fuerza contraelectromotriz e’(t), una resistencia de inducido Ri y un coeficiente de autoinducción del devanado inducido Li. El circuito se alimenta con una tensión u(t). Se supone que la velocidad del motor es práticamente proporcional a la f.c.e.m. e’(t), cumpliéndose la relación,
e’(t) = C1·ω(t)
donde C1 es una constante que depende de los parámetros constructivos del motor y ω(t) es la velocidad de
giro expresada en rad/s. El par que el motor ejerce sobre la masa es directamente proporcional a la corriente que circula por el inducido, expresándose como,
M(t) = C2·ii(t)
donde C2 es otra constante que depende de los parámetros constructivos del motor e ii(t) es la corriente de
inducido del motor. La masa que debe arrastrar el motor presenta una fricción viscosa en el eje, cuyo coeficiente es B. Se desea obtener el modelo de función de transferencia que relacione la velocidad de giro de la masa ω(t) con la tensión de alimentación del motor u(t). Dibujar también el diagrama de bloques correspondiente.
Ejercicio 3.6
Partiendo del sistema del ejercicio anterior (figura 3.40), resultan conocidos los siguientes valores de los parámetros representados:
i(t)
masa del cuerpo del automóvil
masa de la rueda y del eje actuador
Figura 3.39 : Modelo de suspensión activa para
automóvil. M(t) (t) B J + - e’(t) u(t) M _ A B
• Motor: C1 = C2 = π ⋅ ⋅ Φ 2 ' N máx ; donde φ máx = 0,002 Wb, N’ = 3.000 conductores Ri = 1 Ω ; Li = 10 H • Masa: J = 2 r m⋅ 2
; donde m = 4 Kg, r (radio de giro) = 10 cm
B = 4,04·10-4 N·s
Realizar las siguientes operaciones:
a) Obtener el modelo de función de transferencia que relacione la velocidad de giro de la masa ω(t) con la tensión de alimentación del motor u(t) considerando los valores de los parámetros representados. b) Calcular el valor de la velocidad angular que alcanzará la masa en régimen permanente (utilizar el
teorema del valor final) si se aplica un escalón de 100 v.
c) Determinar la expresión de la respuesta temporal para dicho escalón de 100 v. d) Trazar la gráfica de la respuesta del sistema para los primeros 60 segundos.
Ejercicio 3.7
Un registrador es un aparato que representa sobre un papel las variaciones de una cierta magnitud de entrada - por ejemplo una tensión - a lo largo del tiempo. Esto se consigue haciendo que un cursor dotado de una plumilla en su extremo se desplace verticalmente siguiendo las variaciones de la entrada mientras un rollo de papel va avanzando a velocidad constante, tal como se ilustra en la figura 3.41.
Una posible realización (simplificada) del registrador se muestra en la figura 3.42, donde un motor de corriente continua controlado por inducido tiene como entrada una tensión proporcional - según sea el valor de la ganancia K que se supone positiva - a la diferencia entre la tensión de entrada, ur(t) y la tensión en el cursor, uc(t), la cual es proporcional al desplazamiento vertical de éste x(t). Esto es posible gracias al potenciómetro
lineal, en el cual: l ) t ( x U ) t ( uc = cc⋅ t d e s p la z a m ie n to d e l a p lu m il la
avance del papel
Figura 3.41 : Aparato registrador.
M(t) B J e’(t) M _ A B K + - (t) r cursor x(t) l l
donde Ucc es la tensión de la fuente de alimentación y l la mitad del recorrido máximo. El desplazamiento
angular del eje del motor se transforma en desplazamiento lineal del cursor mediante una polea de radio r. El motor tiene constante eléctrica C1, constante mecánica C3. La resistencia de inducido es Ri, y autoinducción de
inducido Li. Las variables a considerar en el motor son el ángulo de giro θ(t), la fuerza contraelectromotriz e’(t),
la corriente del inducido ii(t) y el par motor en el eje M(t). El eje del motor junto con la carga (poleas, cursor,
etc.) representan un momento de inercia J y una fricción viscosa de coeficiente B. La tensión de entrada ur(t)
está siempre comprendida entre +Ucc y -Ucc.
Se desea obtener un modelo matemático del sistema que relacione la señal de salida – posición del cursor
x(t) – con la señal de entrada o señal a medir ur(t). Para ello, desarrollar las siguientes cuestiones:
a) Plantear las ecuaciones, en el dominio del tiempo, que relacionen cada una de las variables y parámetros en cada uno de los componentes que intervienen en el sistema.
b) Obtener el modelo matemático de función de transferencia del sistema. c) Obtener el modelo matemático en el espacio de estados del sistema.
UNIDAD 4
Sistemas de adquisición y tratamiento de datos.
4.1
La cadena de adquisición. Estructura básica y características.
En los procesos de control se utiliza una gran cantidad de dispositivos para recopilar o presentar información en la forma más adecuada; esos dispositivos se llaman transductores. El Diccionario de la Real Academia de la
Lengua Española define el transductor como:
Dispositivo que transforma el efecto de una causa física, como presión, temperatura, dilatación, humedad, etc., en otro tipo de señal, normalmente eléctrica.
De todos modos, en los sistemas de medida no basta solamente con disponer del transductor adecuado. En la mayoría de las ocasiones se requiere la presencia de otros elementos que adapten y traten la señal apropiadamente. Todos estos elementos, junto con el transductor, forman lo que se denomina la cadena de
medida o cadena de adquisición.
Se define cadena de adquisición como:
Sistema cuya función es la asignación objetiva (independiente del observador) y empírica (basada en la experimentación) de un número a una propiedad o cualidad de un objeto o evento, de tal forma que lo describa.
El objetivo principal de la medida es obtener información del estado del sistema, la cual puede tener las siguientes finalidades:
• Control de un proceso.
• Vigilancia o supervisión de un proceso.
• Obtención de datos acerca de algún fenómeno o proceso experimental: con los que se obtiene información sobre el comportamiento de un cierto sistema en estudio.
Los parámetros de entrada a la cadena de medida o cadena de adquisición son propiedades físicas del sistema, mientras que la naturaleza de los parámetros de salida dependerá de la naturaleza de la información que se va a transmitir. Así, por ejemplo, si la medida va destinada a un controlador de tipo eléctrico o electrónico la salida será una señal eléctrica (intensidad o voltaje), si el controlador es un ordenador que está alejado del lugar donde se desarrolla el proceso a regular, puede ser necesario que la señal de salida sea una señal de radio, infrarrojos, láser, etc.
En las cadenas de adquisición se pueden considerar los siguientes elementos constitutivos:
• Sensor o transductor de entrada: se utiliza con un sentido más amplio que el de transductor. Es el elemento que produce una señal relacionada con la magnitud que está siendo medida. El término sensor incluye, por lo tanto, al de transductor, pero puede haber sensores que no sean transductores. Un ejemplo sería el de un venturímetro en sí (figura 4.7), el cual proporciona diferencias de presiones como variable de salida de la medida de velocidad de un líquido en una tubería. Es decir, el tipo de señal de entrada (velocidad) y el de salida se corresponden con unas señales del mismo tipo de energía:
mecánica. No ha habido transducción de señal alguna y sin embargo se ha realizado una medición,
mientras que un transductor siempre implica una conversión del tipo de energía entre la señal de entrada y la señal de la salida.
• Transductor: toma la señal proveniente del sensor para transformarla en una señal de una naturaleza de energía más adecuada a los propósitos del proceso de control o sistema de medida. Esta señal, ya traducida, suele ser, en la mayoría de las ocasiones, de naturaleza eléctrica.
• Acondicionador de la señal: éste adapta la señal de salida del elemento transductor y la convierte en información adecuada para el elemento de visualización del sistema de medida o, en el caso de un sistema de control, para mezclarse con la señal de referencia. Un ejemplo de esto puede ser un amplificador que toma una pequeña señal del transductor y la hace lo suficientemente grande como para activar el dispositivo visualizador. En el caso de un transductor de temperatura como el termistor (resistencia variable con la temperatura), el cambio en el valor de su resistencia debe ser convertido por el acondicionador en una corriente que circulará por un circuito eléctrico.
• Visualizador, o elemento indicador: éste es el último elemento de las cadenas de medida cuya finalidad es la obtención de información cara al usuario (como en las aplicaciones de vigilancia y supervisión) y es donde se visualiza la salida del sistema de medida. Puede ser, por ejemplo, una aguja que se mueve a lo largo de una escala. En el caso de un termómetro que use un termistor como transductor, la salida puede ser visualizada en un amperímetro. El elemento visualizador toma la información del acondicionador de
señal y la presenta de tal forma que permita al observador reconocerla.
La figura 4.1 muestra la estructura general de una cadena de adquisición.
Hay que indicar que los elementos de la cadena de adquisición que se acaban de presentar, no siempre han de estar presentes. Puede suceder, como en el caso de la medida de temperatura, que el elemento que se encargue de tomar la señal de la magnitud física a medir (temperatura) sea el mismo que proporcione la señal