Programación Dinámica

A partir del procedimiento realizado anteriormente, se puede pasar al desarrollo de la programación dinámica. Se debe elegir cómo asignar las 8 horas hombre a cada uno de los 4 programas con los que cuenta la empresa. A continuación, se muestra la utilidad generada por hora, expresadas en dólares, en función a la cantidad de horas asignadas a cada uno de los programas, multiplicando la utilidad obtenida por hora ajustada de cada programa en el proceso anterior, por cada una de las ocho horas hombre disponible:

Tabla 4.17

Tabla Inicial: Utilidad en US$ por horas disponibles

ETAPAS 1 2 3 4 ESTADO S 1 70.04 14 11.09 42.55 2 140.08 27.99 22.18 85.1 3 210.11 41.99 33.28 127.66 4 280.15 55.99 44.37 170.21 5 350.19 69.98 55.46 212.76 6 420.23 83.98 66.55 255.31 7 490.26 97.98 77.65 297.87 8 560.3 111.97 88.74 340.42

Cada etapa está representada por cada uno de los programas. Para este caso, debido a que es una programación dinámica recursiva hacia atrás, se empieza el desarrollo con la etapa 4 (Programa: Entrenador Elite).

Para ello, se realizó una matriz de 8 por 8, ya que 8 horas es la capacidad máxima de asignación. Para completar dicha matriz, se utilizó los datos de la etapa 4 de la tabla 4.17. En la intersección (1;1) de la matriz de la etapa 4, se estaría asignando 1 hora de una bolsa 1 hora disponible, por lo que según nuestra utilidad por hora de la etapa 4, corresponde US$ 42.55. En la intersección (2;1), se asigna 1 hora de una bolsa 2 hora disponibles, por lo que la utilidad

correspondiente sigue siendo de US$ 42.55. Este caso se repite para toda la columna hasta la intersección (8;1).

Pasando a la siguiente columna, en la intersección (1;2), se busca asignar 2 horas de una bolsa de 1 hora disponible, por lo que en este caso no sería posible. Sin embargo, desde la intersección (2;2) hasta la (8;2), se busca asignar 2 horas de una bolsa de horas igual o mayor a la solicitada, por lo que para todos estos casos la utilidad sería de US$ 85.10. De igual forma, para las demás columnas, los datos empezarían desde las intersecciones (3;3), (4;4), (5;5), (6;6), (7;7) y (8;8), y los datos para cada columna serían US$ 127.66, US$ 170.21, US$ 212.76, US$ 255.31, US$ 297.87 y US$ 340.42, respectivamente.

Una vez completa dicha matriz, se busca el máximo de la utilidad en función a cada hora y se le asigna la hora en la que se obtuvo ese máximo.

A continuación, se muestra la matriz de la etapa 4 para ilustrar el caso. Por ejemplo, para un disponible de 4 horas, la máxima utilidad generada es de US$ 170.21, y esta se da asignando 4 horas a la etapa 4, mientras que, para un disponible de 7 horas, la máxima utilidad generada es de US$ 297.87, y esta se da asignando 7 horas a la etapa 4.

Tabla 4.18

Programación dinámica recursiva hacia atrás: Etapa 4

Solución óptima 1 2 3 4 5 6 7 8 f4(x4) h4 1 42.55 42.55 1 2 42.55 85.1 85.1 2

3 42.55 85.1 127.66 127.66 3 4 42.55 85.1 127.66 170.21 170.21 4 5 42.55 85.1 127.66 170.21 212.76 212.76 5 6 42.55 85.1 127.66 170.21 212.76 255.31 255.31 6 7 42.55 85.1 127.66 170.21 212.76 255.31 297.87 297.87 7 8 42.55 85.1 127.66 170.21 212.76 255.31 297.87 340.42 340.42 8

Siguiendo la recursividad hacia atrás, se continúa con la etapa 3. Para el caso de esta etapa lo que se utilizó para completar la matriz es la utilidad de la columna 3 de la tabla 4.17 y los datos óptimos de la matriz de la etapa 4.

En este caso, la matriz ya no es de 8 por 8, sino que es de 8 por 7, ya que considerando el supuesto 7, es indispensable que cada uno de los programas cuente con, al menos, 1 hora de llamadas. En la intersección (1;1) de la matriz de la etapa 3, se estaría asignando 1 hora de 1 bolsa una hora disponible, por lo que según nuestra utilidad por hora de la etapa 3, corresponde US$ 11.09. En la intersección (2;1), se estaría asignando 1 hora de la etapa 3 de una bolsa 2 horas disponibles, por lo que estaría sobrando 1 hora disponible para utilizarlo con la hora óptima del programa anterior, la cual corresponde a US$ 42.55, por lo cual la utilidad correspondiente a la intersección (2;1), sería US$ 11.09 + US$ 42.55 = US$ 53.64.

Para el caso de la intersección (3;1), se estaría asignando 1 hora de la etapa 3 de una bolsa 3 horas disponibles, por lo que estaría sobrando 2 horas disponibles para utilizarlo con las 2 horas óptimas del programa anterior, la cual corresponde a US$ 85.10, por lo cual la utilidad correspondiente a la intersección (3;1), sería US$ 11.09 + US$ 85.10 = US$ 96.20.

Este procedimiento se repite hasta completar las 8 horas disponibles con 1 hora de la etapa 3 y las demás, con las horas optimas de la etapa anterior. Pasando a la siguiente columna,

en la intersección (1;2), se busca asignar 2 horas de una bolsa de 1 hora disponible, por lo que en este caso no sería posible, al igual que la matriz anterior. Sin embargo, la intersección (2;2) busca asignar 2 horas de una bolsa de 2 horas, por lo que la utilidad es de US$ 22.18.

Desde la intersección (3;2) hasta la (8;2), sólo se asigna 2 horas de la etapa 3 y las horas restantes, al igual que la columna anterior, se utiliza las horas óptimas de la matriz de la etapa 4. Este caso se repite para las demás columnas, los datos empezarían desde las intersecciones (3;3), (4;4), (5;5), (6;6) y (7;7), y se utiliza las horas óptimas de la matriz de la etapa 4. Después de completar dicha matriz, al igual que la etapa anterior, se busca el máximo de la utilidad en función a cada hora y se le asigna la hora en la que se obtuvo ese máximo. Por ejemplo, para un disponible de 4 horas, la máxima utilidad generada es de US$ 138.75, y esta se da asignando 1 hora a la etapa 3, mientras que, para un disponible de 7 horas, la máxima utilidad generada es de US$ 266.41, y esta se da asignando 1 hora a la etapa 3. A continuación, se muestra la tabla resultante:

Tabla 4.19

Programación dinámica recursiva hacia atrás: Etapa 3

Solución óptima 1 2 3 4 5 6 7 f3(x3) h3 1 11.09 11.09 1 2 53.64 22.2 53.64 1 3 96.2 64.7 33.28 96.2 1 4 138.8 107 75.83 44.37 138.75 1 5 181.3 150 118.38 86.92 55.46 181.3 1

6 223.9 192 160.93 129.47 98.01 66.55 223.85 1

7 266.4 235 203.49 172.03 140.57 109.11 77.65 266.41 1

8 309 278 246.04 214.58 183.12 151.66 120.2 308.96 1

Siguiendo con el proceso de recursividad hacia atrás, se continuó con la etapa 2, donde se utilizó la utilidad de la columna 2 de la tabla 4.17 y los datos óptimos de la matriz de la etapa 3, para completar la matriz de la etapa 2. Esta matriz es de 8 por 6, debido al supuesto 7. En la intersección (1;1) de la matriz de la etapa 2, se estaría asignando 1 hora de una bolsa 1 hora disponible, por lo que según nuestra utilidad por hora de la etapa 2, corresponde a US$ 14.00. En la intersección (2;1), se estaría asignando 1 hora a la etapa 2 de una bolsa 2 horas disponibles, por lo que estaría sobrando 1 hora disponible para utilizarlo con la hora óptima de la etapa anterior, la cual corresponde a US$ 11.09, por lo cual la utilidad correspondiente a la intersección (2;1), sería US$ 14.00 + US$ 11.09 = US$ 25.09. Para el caso de la intersección (3;1), se estaría asignando 1 hora de la etapa 2 de una bolsa 3 horas disponibles, por lo que estaría sobrando 2 horas disponibles para utilizarlo con las 2 horas óptimas del programa anterior, la cual corresponde a US$ 53.64, por lo cual la utilidad correspondiente a la intersección (3;1), sería US$ 14.00 + US$ 53.64 = US$ 67.64. Este procedimiento se repite hasta completar las 8 horas disponibles con 1 hora de la etapa 2 y las demás, con las horas optimas de la etapa anterior. Pasando a la siguiente columna, en la intersección (2;2), busca asignar 2 horas de una bolsa de 2 horas, por lo que la utilidad es de US$ 27.99.

Desde la intersección (3;2) hasta la (8;2), sólo se asigna 2 horas de la etapa 2 y las horas restantes, al igual que la columna anterior, se utiliza las horas óptimas de la matriz de la etapa 3.Este caso se repite para las demás columnas, los datos empezarían desde las intersecciones (3;3), (4;4), (5;5) y (6;6), y se utiliza las horas óptimas de la matriz de la etapa 3. Finalmente, se repite el proceso de busca el máximo de la utilidad en función a cada hora y se le asigna la hora en la que se obtuvo ese máximo. Por ejemplo, para un disponible de 4 horas, la máxima utilidad generada es de US$ 110.19, y esta se da asignando 1 hora a la etapa 2, mientras que, para un

disponible de 7 horas, la máxima utilidad generada es de US$ 237.85, y esta se da asignando 1 hora a la etapa 2. En la siguiente tabla se muestra la matriz de la etapa 2:

Tabla 4.20

Programación dinámica recursiva hacia atrás: Etapa 2

Solución óptima 1 2 3 4 5 6 f₂(x₂) h₂ 1 14 14 1 2 25.09 28 27.99 2 3 67.64 39.1 41.99 67.64 1 4 110.2 81.6 53.08 55.99 110.19 1 5 152.8 124 95.63 67.08 69.98 152.75 1 6 195.3 167 138.19 109.63 81.08 83.98 195.3 1 7 237.9 209 180.74 152.18 123.63 95.07 237.85 1 8 280.4 252 223.29 194.74 166.18 137.62 280.4 1

Por último, se culminó la recursividad con la etapa 1. Aquí se utilizó la utilidad de la columna 1 de la tabla 4.17 y los datos óptimos de la matriz de la etapa 2, para completar la matriz de la etapa 1. Esta matriz es de 8 por 5, y el desarrollo es similar a las etapas anteriores. En la intersección (1;1), se estaría asignando 1 hora y dicha utilidad corresponde a US$ 70.04. En la intersección (2;1), se estaría asignando 1 hora a la etapa 1 de una bolsa 2 horas disponibles,

por lo que la hora restante se le asigna a la hora óptima de la etapa anterior, la cual corresponde a US$ 14.00, por lo cual la utilidad correspondiente a la intersección (2;1), sería US$ 70.04 + US$ 14.00 = US$ 84.03. Para el caso de la intersección (3;1), se estaría asignando 1 hora de la etapa 1 de una bolsa 3 horas disponibles, por lo que estaría sobrando 2 horas disponibles para utilizarlo con las 2 horas óptimas del programa anterior, la cual corresponde a US$ 27.99, por lo cual la utilidad correspondiente a la intersección (3;1), sería US$ 70.04 + US$ 27.99 = US$ 98.03. Este procedimiento se repite hasta completar las 8 horas disponibles con 1 hora de la etapa 1 y las demás, con las horas optimas de la etapa anterior. En la siguiente columna, la intersección (2;2), asigna 2 horas de una bolsa de 2 horas, por lo que la utilidad es de US$ 140.08. Desde la intersección (3;2) hasta la (8;2), sólo se asigna 2 horas de la etapa 1 y las horas restantes, al igual que la columna anterior, se utiliza las horas óptimas de la matriz de la etapa 2. Este caso se repite para las demás columnas, los datos empezarían desde las intersecciones (3;3), (4;4) y (5;5), y se utiliza las horas óptimas de la matriz de la etapa 2. Finalmente, se busca el máximo de la utilidad en función a cada hora y se le asigna la hora en la que se obtuvo ese máximo. Por ejemplo, para un disponible de 4 horas, la máxima utilidad generada es de US$ 280.15, y esta se da asignando 4 horas a la etapa 1, mientras que, para un disponible de 7 horas, la máxima utilidad generada es de US$ 378.18, y esta se da asignando 5 horas a la etapa 1. A continuación, se muestra el resultado de la etapa 1:

Tabla 4.21

Programación dinámica recursiva hacia atrás: Etapa 1

Solución óptima 1 2 3 4 5 f1(x1) h1 1 70.04 70.04 1 2 84.03 140 140.08 2

3 98.03 154 210.11 210.11 3 4 137.7 168 224.11 280.15 280.15 4 5 180.2 208 238.11 294.15 350.19 350.19 5 6 222.8 250 277.75 308.14 364.18 364.18 5 7 265.3 293 320.31 347.79 378.18 378.18 5 8 307.9 335 362.86 390.34 417.83 417.83 5