Representación matricial de las transformaciones lineales

El teorema 2.12 demuestra que una transformación lineal T: V -+ W de un espacio lineal de dimensión finita V está determinada por su acción sobre un conjunto dado de elementos base e, , ... , en.Supongamos ahora que el espacio W

también es de dimensión finita, por ejemplo dim W =m, y sea w, , ... ,Wn una

base para W. (Las dimensiones n y m pueden ser o no iguales.) Puesto que T

tiene los valores en W, cada elemento T(ed puede expresarse, con unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base w, , ... ,Wm, por ejemplo

m T(ek) =

!

tikWi ,

i=1

donde ta , ... ,tmk son los componentes de T(ek) respecto a la base ordenada

(w, , ... ,wm). Dispondremos verticalmente la m-pla (t,k, ... , tmk), como a con- tinuación se indica:

(2.9)

Esto se llama vector columna o matriz columna. Tenemos una tal columna para cada uno de los n elementos T(e,) , ... , T(e ••). Colocándolas una junto a otra y

encerrándolas en un par de corchetes obtenemos la disposición rectangular si- guiente:

tu t12 t1n

t21 t22 t2n

Este cuadro se llama matriz y consta de m filas y n columnas. La llamamos matriz

m X n. La primera fila es la matriz 1 X n (t11 , t'2 , ... ,t

,n).

La matriz m X 1 (2.9) es la k-ésima columna. Los escalares tik van afectados con dos índices, el

Representación matricial de las transformaciones lineales ₅₇

primero iindica la tila y el segundo k indica la columna en las cuales aparece tik..

A tikle llamamos el elemento ik de la matriz. También se utiliza la notación abre- viada

o

para designar la matriz cuyo elemento ik es tu,

Así pues, toda transformación lineal T de un espacio n-dimensional V en un

espacio m-dimensional W da origen a una matriz m X n (tik) cuyas columnas son

los componentes de T(eI), ••• ,T(en) relativos a la base (w1, ••• ,wm). La lla-

mamos representación matricial de T relativa a unas bases ordenadas (el' ... ,en)

de V y (Wl , ••• ,Wm) para W. Una vez conocida la matriz (tik), los componentes de un elemento cualquiera T(x) con relación a la base (wl , ••• ,wm) pueden deter-

minarse como se explica en el teorema que sigue.

TEOREMA 2.13. Sea T una transformación lineal perteneciente a P(V, W), donde dim V =n y dim W =m. Sean (el"'" en) y (W1 , ••• ,wm) bases orde-

nadas de V y W, respectivamente, y (tik) la matriz m X n cuyos elementos están determinados por las ecuaciones

(2.11)

m

T(ek) =

L

tikWi , para k = 1,2, ... ,n .

i=l

Entonces un elemento cualquiera

(2.10)

de V con componentes (Xl"'" Xn) relativo a (el"'" en) es aplicado por T

en el elemento

(2.12)

m

T(x) =LYiWi

i=1

en W con componentes (YI"'" Ym) relativos a (wl, ••• ,wm). Los Yi están

ligados a los componentes de X mediante las ecuaciones lineales

(2.13)

n

Yi

=L

tikxk para j= 1, 2, ... ,m .

Demostración. Aplicando T a cada uno de los miembros de (2.11) y uti- lizando

I

(2.10), obtenemos

en donde cada Yi viene dada por (2.13). Esto completa la demostración.

Habiendo elegido un par de bases le1 , ••• ,en) y (W1 , ••• ,wm) para V y W,

respectivamente, toda transformación lineal T: V ~ W tiene una representación matricial (tik). Recíprocamente, si disponemos demn escalares colocados formando una matriz rectangular (t¡k) y elegimos un par de bases ordenadas para V y W,

es fácil demostrar que existe exactamente una transformación lineal T:V ~ W

que tiene esa representación matricial. Definimos T simplemente con los elementos base de V por medio de las ecuaciones (2.10). Entonces, según el teorema 2.12,

existe una y sólo una transformación T: V ~ W con esos valores asignados. La ima- gen T(x) de un punto x de V viene entonces dada por las ecuaciones (2.12) y

(2.13).

EJEMPLO 1. Construcción de una transformación lineal a partir de una ma- triz dada. Supongamos que disponemos de la matriz 2 X 3.

Elijamos las bases usuales de vectores coordenados unitarios para V3 y Va- En-

tonces la matriz dada representa una transformación lineal T: V3 ~ V. que aplica

un vector cualquiera (x¡, ~, x3) de V3 en el vector (y¡, Y.) de V. de acuerdo con

las ecuaciones lineales

EJEMPLO 2. Construcción de una representación matricial de una transfor-

mación lineal dada. Sea V el espacio lineal de todos los polinomios reales p(x)

de grado j; 3. Este espacio tiene dimensión 4, y elegimos la base O,x, x·, x"). Sea D el operador derivación que aplica cada polinomio p(x) de V en su deri- vada p'(x). Podemos considerar D como una transformación lineal de V en W,

donde W es el espacio tri dimensional de todos los polinomios reales de grado j;2. En W elegimos la base O,x, x·). Para encontrar la representación matricial de D relativa a esa elección de bases, transformamos (derivamos) cada elemento base

Representación matricial de las transformaciones lineales 59

de V Y lo expresamos como una combinación lineal de los elementos base de W. Así pues, encontramos que

D(l)

=

O

=

O

+

Ox

+

Ox2 , D(x) = 1

=

1

+

Ox

+

Ox2,

D(x2)

=

2x

=

O

+

2x

+

Ox2, D(x3)

=

3x2 =O

+

Ox

+

3x2 •

Los coeficientes de esos polinomios determinan las columnas de la representación matricial de D. Por consiguiente, la representación pedida viene dada por la si- guiente matriz 3 X 4.

Para hacer notar el hecho de que la representación matricial depende no sola- mente de los elementos base sino también de su orden, invirtamos el orden de los elementos base en W y utilicemos, en su lugar, la base ordenada (x",x, 1). Enton- ces los elementos base de V se transforman en los mismos polinomios obtenidos antes, pero los componentes de éstos relativos a la nueva base (x2, x, 1) aparecen

en orden inverso. Por consiguiente, la representación matricial de D ahora es

Calculemos una tercera representación matricial de D, usando la base (1, 1

+

x, 1

+

x

+

x', 1

+

x +.i2

+

x") para V, y la base (1,x,x2) para W.

Los elementos base de V se transforman así:

D(l)

=

O, D(l

+

x) = 1, D(l

+

x

+

x2) = 1

+

2x ,

D(l

+

x

+

x2

+

x3) = 1

+

2x

+

3x2,

2.11 Construcción de una representación matricial en forma diagonal

Ya que es posible obtener distintas representaciones matriciales de una trans-

formación lineal dada mediante la elección de bases distintas, parece natural

intentar elegir bases de modo que la matriz resultante tenga una forma lo más

sencilla posible. El teorema que sigue prueba que podemos hacer todos los ele-

mentos O excepto los de la diagonal que va desde el vértice superior izquierdo al inferior derecho. A lo largo de esa diagonal habrá una hilera de unos seguidos

de ceros, siendo el número de unos igual al rango de la transformación. Una

matriz (t¡k) con todos los elementos tu. =O cuando i =1=k se llama matriz dia- gonal.

TEOREMA 2.14. Sean V y W espacios lineales de dimensión finita, con

dim V

=

n y dim W

=

m. Supongamos que T E!l? (Y, W) y que r

=

dim T(V) represente el rango de T. Existen entonces una base (e, , ... ,en) para V y otra

(w, , ... , wn) para W tales que

(2.14) _T(ei) = Wi para i = 1, 2, ... ,r,

y

(2.15) T(ei)

=

O para i

=

r

+

1, ... ,n.

Por consiguiente, la matriz (t¡k) de T relativa a esas bases tiene todos los elementos cero excepto los r elementos de la diagonal que valen

In =122= ...

=

Irr

=

1 .

Demostración. Construimos primero una base para W. Puesto que T(V)

es un subespacio de W con dim T(V) =r, el espacio T(V) tiene una base de r

elementos en W, sean éstos w, , ... ,Wr. Según el teorema 1.7, esos elementos

forman un subconjunto de una cierta base para W. Por consiguiente podemos ad-

juntar unos elementos Wr+, , ..• ,Wm de modo que

(2.16)

sea una base para W.

Seguidamente construimos una base para V. Cada uno de los r primeros

elementos Wi de (2.16) es la imagen por lo menos de un elemento de V.Elijamos.

uno de tales elementos de V y llamémosle ei: Entonces T(e¡) =W¡ para i= 1,

2, ... ,r así que (2.14) se satisface. Sea ahora k la dimensión del núcleo N(T).

Construcción de una representación matricial en forma diagonal 61

tiene una base que consta de k elementos de V que designamos por er+1 , ••• ,e.;».

Para cada uno de esos elementos, la ecuación (2.15) se satisface. Por lo tanto, para completar la demostración, tenemos que demostrar que el conjunto ordenado

(2.17)

es una base para V. Ya que dim V

=

n

=

r

+

k, sólo tenemos que demostrar que esos elementos son independientes. Supongamos que una cierta combinación lineal de ellos sea cero, por ejemplo

(2.18)

r+k

2

c;e; =O.

i=l

Aplicando T Y haciendo uso de las ecuaciones (2.14) Y (2.15), encontramos que

r+k r

2

c;T(e;)

=

2

C;W;

=

O.

;~1 ;=1

Pero Wl , ••• ,w- son independientes, y por tanto Cl

= ... =

e,

=

O. Por consi-

guiente, los r primeros términos de (2.18) son cero, por lo cual (2.18) se re- duce a

r+k

2

e.e¡=

o.

i=r+l

Pero er+l , ••• ,er+k son independientes puesto que forman una base para N(T),

y por tanto Cr+l= ... ='Cr+k =O. Por consiguiente, todos los e, de (2.18) son

cero, luego los elementos de (2.17) forman una base para V. Esto completa la demostración.

EJEMPLO. Nos referimos al ejemplo 2 de la sección 2.10, donde D es el

operador derivación que aplica el espacio V de los polinomios de grado

:s;

3 en el espacio W de los polinomios de grado

:s;

2. En este ejemplo, el recorrido

T(V) = W, así que T tiene rango 3. Aplicando el método seguido en el teorema 2.14, elegimos cualquier base para W, por ejemplo la base (l,x,x2). Un con-

junto de polinomios de V que se aplica sobre esos elementos es (x,

tx

2, }x3).

Ampliamos este conjunto para lograr una base para V adjuntando el polinomio constante 1, que es una base para el núcleo deD. Por consiguiente, si empleamos la base (x, ~X2,

!x

3, 1) para V y la base (1,x, x2) para W, la correspondiente

2.12 Ejercicios

En todos los ejercicios en los que se considere el espacio vectorial Vn, la base que se

utilizará será la de los vectores coordenados unitarios si no se dice lo contrario. En los ejer- cicios relativos a la matriz de una transformación lineal T: V ~ W siendo V ==W, si no se indica lo contrario tomaremos la misma base en V y en W.

1. Determinar la matriz de cada una de las siguientes transformaciones lineales de Vnen Vn:

a) la transformación idéntica, b) la transformación cero,

e) multiplicación por un escalar fijo c.

2. Determinar la matriz para cada una de las siguientes proyecciones.

a) T: V3 --+ V2, b) T: V3--+ V2, e) T: Vs--+ V3 , donde T(xl, X2 ,x3) =(Xl' X2)' donde T(xl, X2 ,X3) =(x2, X3)' donde T(XI' X2, x3, X4' xs) =(X2' X3' x4)·

3. Una transformación lineal T: V2 ~ V2 aplica los vectores base iy j como sigue:

T(i) =i

+

i , T(j) =2i - i .

a) Calcular T(3i - 4j)y P(3i - 4j)en función de i y j. b) Determinar la matriz de T y de P.

e) Resolver la parte b) si la base (i,j) se reemplaza por (e" e2), siendo el =i - i,e2

== 3i

+

j.

4. Una transformación lineal T: V2 ~ V2 se define así: Cada vector (x,y) se transforma en

su simétrico respecto al eje y y luego se duplica su longitud para obtener T(x,y). De- terminar la matriz de T y la de T2.

5. Sea T:Va ~ Va una transformación lineal tal que

T(k) =2i

+

3j

+

5k , T(j

+

k) =i , T(i

+

j

+

k) =j - k.

a) Calcular T(i

+

2j

+

3k)y determinar la dimensión del núcleo y el rango de T.

b) Determinar la matriz de T.

6. Para la transformación lineal del ejercicio 5, se consideran las dos bases coincidentes con (el' e2, ea)' siendo el == (2, 3, 5), e2== (1, O, O), ea== (O, 1, -1) y determinar la

matriz T relativa a las nuevas bases.

7. Una transformación lineal T:Va ~ V2 aplica los vectores base como sigue: T(i) == (O, O),

T(j) == (1, 1),T(k) == (1, -1).

a) Calcular T(4i - j

+

k)y determinar la dimensión del núcleo y el rango de T.

b) Determinar la matriz de T.

e) Utilizando la base ii.i,k) en Va y la (w., w2) en V2, siendo WI =(1,1), w =(1,2), determinar la matriz de T relativa a esas bases. 2

d) Hallar las bases (e., e2, ea) para Va Y(wi. w2) para V2 para las cuales la matriz de

T tenga la forma diagonal.

8. Una transformación lineal T: V2 ~ Va aplica los vectores base como sigue: T(i)

=

(1, 0, 1),T(j) ==(-1, 0, 1).

a) Calcular T(2i - 3j)y determinar la dimensión del núcleo y el rango de T.

b) Determinar la matriz de T.

e) Hallar bases (e, ,e2) para V2 y (w¡ .W2' W3) para Va para las cuales la matriz de T

tiene forma diagonal.

Espacios lineales de matrices 63

10. Sean V y W dos espacios lineales, ambos de dimensión 2 y con la misma base (el' e2).

Sea T: V ~ W una transformación lineal tal que

T(e¡

+

e2) = 3e¡

+

ge2, T(3e¡

+

2e2) = 7e¡

+

23e2'

a) Calcular T(e2 - e) y determinar la dimensión del núcleo y el rango de T.

b) Determinar la matriz de T relativa a la base dada.

e) Utilizar para V la base (el' e2) y hallar una nueva base de la forma (el +ae2,

2el +be2) para W, para la que la matriz de T tenga la forma diagonal.

En el espacio lineal de todas las funciones reales, cada uno de los siguientes conjuntos es independiente y genera un subespacio V de dimensión finita. Utilizar el conjunto dado como base para V y sea D:V ~ V el operador derivación. En cada caso, hallar la matriz de D y la de D2 relativa a la base que se elige.

11. (senx,cosx). 15. (-cos x, senx).

12. (1,x, eX). 16. (senx,cosx,xsenx,xcosx).

13. (1, 1

+

x, 1

+

x

+

eX). 17. (eXsenx, eXcos x).

14. (eX, xe"'). 18. (e2:l:sen 3x, e2x cos 3x).

19. Elegir la base (1, x, x2, x3) .en el espacio lineal V de todos los polinomios reales de

grado :::;3. Sean D el operador derivación y T: V ~ V la transformación lineal que aplica p(x) en xp'(x). Con relación a la base dada, determinar la matriz de cada una de las transformaciones siguientes: a) T; b) DT; e) TD; d) TD - DT; e) T2;

f) PD2 - D2P.

20. Con respecto al. ejercicio 19. Sea W la imagen de V a través de TD. Hallar bases para

V y W para las que la matriz TD tenga forma diagonal.

In document Apostol – Calculus, vol 2 (PDF) (página 79-86)