3.1 Plataforma de Soporte para Bolígrafos
3.3.2 Selección y Evaluación del Sistema de Dientes
La siguiente tarea es encontrar el tamaño de diente de involuta que logre realizar el trabajo de forma segura en el sistema engrane-cremallera. Se empieza tomando la decisión a priori del sistema de dientes estándar que se va a utilizar. Se elige un sistema de dientes rectos de profundidad total y ángulo de presión de 20°. Cada sistema de acción conjugada de dientes de involuta debe mantener un número de dientes mínimo en cada componente de forma que se evite la interferencia. Para el sistema de engrane- cremallera, se calcula el número menor de dientes mediante la siguiente ecuación:
Donde el factor k=1 para dientes de altura completa. El módulo se escogerá de la primera selección de tamaños preferidos, pero debe ser ensayado en función de las fuerzas que debe soportar. Se crea un diagrama de fuerzas para el sistema engrane-cremallera para identificar las fuerzas presentes.
Figura 3.22: Diagrama de cuerpo libre de cremallera
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N Y N Y 12 0.245 28 0.353 13 0.261 30 0.359 14 0.277 34 0.371 15 0.29 38 0.384 16 0.296 43 0.397 17 0.303 50 0.409 18 0.309 60 0.422 19 0.314 75 0.435 20 0.322 100 0.447 21 0.328 150 0.46 22 0.331 300 0.472 24 0.337 400 0.48 26 0.346 Cremallera 0.485Factores de Forma de Lewis (Y)
(Altura Completa y φ=20°)
Del diagrama de cuerpo libre de la cremallera, se ve que la fuerza de trabajo Wt es la igual a la
fuerza Fd, de manera que el sistema se encuentre en equilibrio. La fuerza Wt es la carga que experimenta el
diente en semejanza a una viga en cantiléver. Se utiliza la ecuación de Lewis para estimar el esfuerzo flexionante en el diente:
Donde el factor Kv es el factor de efectos dinámicos, que tienden a incrementar los esfuerzos
producidos en la raíz del diente tal que Kv>1. Para situaciones de bajas velocidades Kv≈1. Los factores F y m,
definen por completo la dimensión del diente, siendo F el flanco o espesor del diente y m el modulo (que define la altura y el ancho del diente). El factor de forma de Lewis Y es un valor adimensional que ubica el esfuerzo máximo en la raíz del diente en base a la geometría del diente. Para determinar este valor es necesario tener el número de dientes y el ángulo de presión usados en el componente. La tabla de abajo muestra los factores de forma de Lewis para dientes de altura completa con ángulo de presión de 20°.
Es importante notar que el tamaño de diente no solo afecta al esfuerzo producido en el engrane, sino también su tamaño y las condiciones de espacio. Se necesita un engrane el cual sea lo suficientemente grande para alojar el eje y la cuña, pero no demasiado que pueda llegar a ser inconveniente el espacio que ocupe en la máquina. Dado que varios parámetros están vinculados (como por ejemplo el diámetro de paso, el numero de dientes y el módulo) se ensayaron distintas combinaciones de valores en la ecuación de Lewis además de juzgar el tamaño final del engrane, con la finalidad de encontrar una combinación que satisficiera las condiciones de esfuerzo y tamaño. Se tomaban valores del diámetro de presión Dp y del
modulo m de manera a priori para ensayarlos en la ecuación repitiendo hasta encontrar el engrane Tabla 3.12: Factores de forma de
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adecuado.Se presenta el ensayo de la ecuación de Lewis con la combinación exitosa de parámetros del engrane propuesto. Los datos del engrane:
Dp = 45 mm m = 2.5 mm N = 18 Dientes Φ = 20° F = 10 mm Y = 0.309
El cálculo del factor de seguridad considera un acero aleado AISI 4140 templado y revenido para una dureza Brinell de 510 (~52 HRc), el cual posee un esfuerzo a la cedencia Sy = 1640 MPa. Con base a un
criterio de falla del esfuerzo cortante máximo (TECM, el criterio de falla más conservador) se calcula el esfuerzo cortante de cedencia como la mitad del esfuerzo de cedencia normal. Con un factor de 3.6 la selección se encuentra del lado de la seguridad, especialmente por que existe incertidumbre en el tratamiento térmico del material, ya que en talleres de maquinados convencionales (que es muy probablemente donde se llevaría a cabo la fabricación) los procesos no son muy controlados. Lo mismo es valido para la dureza la cual afecta la resistencia superficial del contacto entre dientes. Se analiza este esfuerzo mediante la ecuación de la AGMA para esfuerzos hertzianos:
[ ( )] ⁄ En donde: [ ( ) ] ⁄
La ecuación del esfuerzo contacto σc, involucra el factor de velocidad Kv, la fuerza tangencial del
engranaje Wt, el flanco del diente F, el ángulo de presión φ, los radios de curvatura del diente en el punto
de paso para el piñón y la corona y el coeficiente elástico de la AGMA Cp. La ecuación describe una presión
distribuida de forma elíptica, con su eje mayor en el centro del contacto. El coeficiente de la AGMA a su vez involucra las propiedades elásticas de los materiales del piñón y la corona (o cremallera en este caso); el modulo de Young E, y el coeficiente de Poisson . Los radios de curvatura se calculan a partir del diámetro
�� �
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de paso dp.El radio de curvatura para la cremallera es engañoso, ya que el dentado en la cremallera es completamente recto. Matemáticamente se puede describir como un radio de curvatura infinito si se toma el límite del radio de curvatura cuando dp tiende a infinito. Se calculan los radios de curvaturas para el
engrane y la cremallera:
Considerando que se utilizara el mismo acero AISI 4140 para ambos componentes con E=205 GPa y =0.28, el coeficiente elástico se calcula:
[ ( )] ⁄ [ ( )] ⁄ ⁄ Y el esfuerzo de contacto: [ ( )]⁄ ⁄ ⁄ ( )⁄ ( [ ]⁄ ) ( [ ]⁄) ( [ ]⁄ )
Donde se ve que el esfuerzo es negativo por ser de compresión. Este valor debe ser comparado con la resistencia a la fatiga por contacto Sc que puede ser estimada fácilmente conociendo la dureza superficial
del componente en escala Brinell. La correlación entre la resistencia y la dureza para una vida de 108 ciclos viene dada por:
[ ]
La falla radica en este caso en la incapacidad del diente en soportar la carga de contacto (que dependerá del usuario), ya que el esfuerzo flexionante se diseño con seguridad. En otras palabras, los esfuerzos de contacto se consideran más peligrosos que aquellos a la flexión. Dado que en la ecuación de σc la relación
entre la carga y el esfuerzo no es lineal sino cuadrática, el factor de seguridad se calcula:
[
]
De lo anterior se ve que el tamaño del sistema de dientes es adecuado y seguro por ambos criterios, el de esfuerzo flexionante y el de esfuerzo de contacto. La amenaza esta entonces en los esfuerzos
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de contacto y esto es por varias razones: se considera que el ensamblaje pueda tener desviaciones en la alineación, la histéresis por el rebaje de diente (backlash) o que el usuario haga mal uso del mecanismo favoreciendo esfuerzos de impacto; se justifica entonces la inversión en el material y el tratamiento térmico.Por último, se evalúan otros factores en los cuales el tamaño del engrane se ve directamente involucrado; estos son el torque a aplicar, la primera aproximación de la longitud de la palanca, la carrera vertical de la cremallera y la carrera circular de la palanca. Estos valores son también para ensayo, evaluándolos a consideración de manera que se encuentre prudente continuar con el proceso de diseño usando el tamaño seleccionado del engrane.
El torque necesario para lograr la fuerza tangencial Wt de 1750 N en el engrane de radio de 22.5 mm:
Y estimando una fuerza del operador de 200 N, se estima una longitud del brazo de la palanca para lograr el torque deseado:
Se considera que una palanca de 20 cm es bastante aceptable, ya que se pretende que sea utilizada con una sola mano. Una palanca muy corta podría ser incomoda para sostener, mientras que una muy larga implicaría que el usuario se alejara de la máquina para poder operarla, o que al aplicar la fuerza, se genere suficiente momento para levantar la máquina.
La carrera lineal de la cremallera se prefiere este en un rango de 45 a 50 mm, y sea de forma que el desplazamiento angular del engrane (y de la palanca) sea menor a 180°.
{ } { }
Lo anterior es con el objetivo de que el movimiento de operación no sea muy largo y este en un rango cómodo. La mayoría de las planchas térmicas manejan carreras angulares cercanas a los 180°, con tiempos de planchado de 20 a 40 segundos. Los planchados para bolígrafos son mas cortos (entre 5 y 10 segundos) y por tanto el descanso entre cada movimiento es menor (aunque también la fuerza es significativamente menor). Los valores encontrados son aceptables (pero estarán susceptibles a modificaciones) por lo que es prudente continuar con el diseño.