Capítulo VI: Propuesta Didáctica
6.2 Análisis a priori de las situaciones involucradas en la propuesta
6.2.2 Sesión 2: Número irracional como noción protomatemática
Esta sesión está relacionada con la construcción de conocimientos de los irracionales como noción protomatemática. Se pretende que la noción a adquirir tenga relación con su presencia en medidas en contextos geométricos, específicamente en triángulos rectángulos, estudiando casos donde la medida de la hipotenusa no es entera y tampoco el número decimal que entrega una regla graduada en centímetros. Para esta parte se consideran tres situaciones enumeradas 5, 6 y 7
6.2.2.1 Situación 3
Tiempo Estimado: 30 minutos
Objetivo: Adquirir conocimientos relacionados con el número irracional como noción protomatemática
60 Descripción: Las estudiantes se encuentran inicialmente con un triángulo rectángulo isósceles y su trabajo será encontrar un segmento que esté contenido una cantidad entera de veces tanto en el cateto como en la hipotenusa. Al ser segmentos inconmensurables, la respuesta de las estudiantes debería apuntar a que no encontraron dicho segmento, sin embargo pueden dar un segmento como respuesta debido a los errores de medida presentes, es por ello que hay una pregunta que provoca la necesidad de buscar un medio de verificación de la respuesta encontrada la cual se presume será el cumplimiento de la igualdad establecida en el teorema de Pitágoras, en este punto está presente una fase adidáctica debido a que los casos anteriores no cuestionaban sobre si el segmento encontrado cumplía con otra condición además de “estar contenido de forma exacta”, por lo que tendrán que buscar una propiedad que permita verificar la pertinencia de la conclusión obtenida en la primera parte del trabajo, sin intervención del docente en relación a este recurso. Posterior a ese trabajo se entregan medidas para los catetos del triángulo inicial y se solicita que determine si la medida de la hipotenusa corresponde a un número entero y por qué. Finalmente se entrega una serie de triángulos para que determinen las medidas de los catetos y la hipotenusa usando tanto la regla graduada en centímetros, como el algoritmo de Euclides, y posterior a esa medición se solicita que comprueben si estas cumplen con la igualdad del teorema de Pitágoras para que observen la ocurrencia del patrón “no cumple con el teorema de Pitágoras” en estos triángulos rectángulos isósceles cuando los candidatos a medida son enteros o expresiones decimales de un dígito decimal. La situación presentada es de acción debido a la característica de buscar la formación de conocimientos implícitos relacionados con el número irracional como noción protomatemática, mediante la interacción sujeto-medio
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Documento Respuesta
No se ha encontrado un segmento que cumpla con las condiciones. Se usó el algoritmo de Euclides y todo resto encontrado no llegó a estar contenido una cantidad entera de veces en ambos segmentos.
Documento Respuesta
En caso de haber obtenido un segmento que cumpla con las condiciones, esta no cumple con el teorema de Pitágoras por lo tanto estos valores no representan realmente la de los catetos e hipotenusa
El teorema de Pitágoras
---
62 𝑥 = √18
No existe un número entero tal que su cuadrado sea 18, por lo tanto esta medida no es entera
Documento Respuesta
En cada caso se usó el algoritmo de Euclides y la regla graduada. En el primero no se encontró una medida y la segunda no cumple con el teorema de Pitágoras. Esto se ejemplifica con el triángulo 1
No logro dar con un segmento que cumpla con las condiciones
Medida de cada cateto: 1cm Medida de la hipotenusa: 1,4cm
12+ 12= 1,42
2 = 1,96
Se llega a una igualdad falsa, por lo tanto las medidas entregadas por la regla no corresponden a las medidas reales del triángulo rectángulo
Conocimientos Matemáticos Presentes
Número irracional, teorema de Pitágoras, Algoritmo de Euclides, Conmensurabilidad, Inconmensurabilidad, Triángulo Rectángulo,
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Rectángulo, Radical Cuadrado de un número entero, Recíproco del Teorema de Pitágoras
Conocimientos de la estudiante
Medir segmentos con un instrumento de medición, algoritmo de Euclides aplicado a la obtención de un segmento que esté contenido una cantidad entera de veces en dos segmentos dados, teorema de Pitágoras para calcular la medida de la hipotenusa con las medidas de los catetos conocidas, uso del recíproco del teorema de Pitágoras para validar las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, cálculo del radical cuadrado de un número natural el cual resulta en un número natural
Posibles estrategias de la estudiante
Es1: Usar el algoritmo de Euclides, la regla graduada y el teorema de Pitágoras: Usan el algoritmo de Euclides o la regla graduada (según el caso), y luego verifican lo obtenido con el teorema de Pitágoras
Es2: Usar el algoritmo de Euclides: Hacen uso de este algoritmo y se quedan con el segmento resultante
Es3: Usar regla graduada: Hacen uso de la regla graduada y se quedan con esta medición sin verificar su veracidad
Posibles dificultades que tendrá la estudiante
D1: No tener un proceso que permita verificar si las medidas entregadas son las correctas: Puede que la estudiante no tenga en mente un medio de verificación de la veracidad de las medidas obtenidas en la parte inicial del trabajo. En estos casos la intervención debe ir en función de observar la información que tiene, tanto de las medidas obtenidas como de las figuras con las que está trabajando, sin mencionar que debe usarse el recíproco del teorema de Pitágoras ni otra palabra o gesto que haga alusión a esta.
64 D2: No comprender la solicitud realizada en los enunciados: Existe la posibilidad de que no vislumbren lo que deben responder en el problema. En estos casos el docente puede aportar dando otra lectura de la problemática presente, siempre y cuando no entregue información relacionada al proceso a seguir para poder encontrar la respuesta
Posibles errores que puede cometer la estudiante
Er1: Emplear de forma incorrecta el teorema de Pitágoras: Al usar el teorema de Pitágoras, puede darse que ingrese de forma equivocada los datos necesarios (escribir la medida de la hipotenusa en el lugar donde debe ir la medida de un cateto, por ejemplo), o que calcule de forma incorrecta el cuadrado de un número (por ejemplo decir que 32 = 6). En estos casos la producción de la estudiante siempre debe incluir un proceso de verificación del trabajo realizado
Er2: Encontrar un segmento que esté contenido una cantidad entera de veces en dos segmentos que son inconmensurables: El error de medida puede provocar que se encuentre un supuesto segmento que satisface las condiciones requeridas y por lo tanto lo entregue como respuesta. Las preguntas apuntan a revelar este error en dichos casos mediante la comprobación de la veracidad de estas medidas
6.2.2.2 Situación 4
Tiempo Estimado: 20 minutos
Objetivo: Adquirir conocimientos relacionados con el número irracional como noción protomatemática
Descripción: En base al trabajo realizado anteriormente, las estudiantes pasan a una situación de formulación donde responderán preguntas que tienen el propósito de exteriorizar los conocimientos implícitos adquiridos con anterioridad los cuales están relacionados con la noción de número irracional
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como número no entero, y tampoco como una medida entregada por la regla convencional graduada en centímetros (o sea no es un número de una cifra decimal).
Respuesta al problema
Documento Respuesta
No se encontró un segmento que cumpla con las condiciones solicitadas
--- No, ya que no cumple con la igualdad establecida en el teorema de Pitágoras
--- La hipotenusa se escribe en forma de radical cuadrado, la cual se obtiene del teorema de Pitágoras. Se usa el triángulo de la izquierda como ejemplo.
Sea x la medida de la hipotenusa, luego:
12+ 12= 𝑥2
2 = 𝑥2
𝑥 = √2
La hipotenusa mide √2𝑐𝑚 Conocimientos Matemáticos Presentes
Teorema de Pitágoras, número irracional, radical cuadrado de un número natural, triángulo rectángulo, algoritmo de Euclides, inconmensurabilidad
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Verificar si las medidas obtenidas tanto en el uso del algoritmo de Euclides como las entregadas por una regla de medir son las verdaderas mediante el uso del teorema de Pitágoras, hacer uso del teorema de Pitágoras para determinar la medida de la hipotenusa con las medidas de los catetos conocidas, reconocer si el radical cuadrado de un número natural es un número entero
Posibles estrategias de la estudiante
Es1: Responder en base a sus experiencias previas: La estudiante recopila los trabajos realizados con anterioridad y con ello da respuesta a las interrogantes presentadas en esta situación
Es2: Responder desde otras experiencias: La estudiante hace caso omiso al trabajo realizado en la situación 3 y responde desde otras experiencias, como por ejemplo de las mediciones que ha realizado con regla en contextos ajenos a los realizados en esta propuesta didáctica.
Posibles dificultades que tendrá la estudiante
D1: No comprender las preguntas realizadas: La alumna no logra discernir lo que entrega el enunciado, esto se puede deber a la falta de dominio de alguna palabra en específico o a la no comprensión de las frases. En primera instancia se debe sugerir que vuelva a leer marcando los puntos importantes sin hacer mención de cuáles son, y en caso de que continúe esta dificultad el docente puede entregar significados a aquellas palabras que no domina la estudiante sin hacer mención del proceso que la lleva a dar con la respuesta.
D2: No establecer relaciones entre los procesos realizados con anterioridad: La estudiante no da solución a los problemas presentados debido a que no establece una relación con el trabajo realizado en la situación 3. En estos casos el docente puede mencionar que lea la pregunta y busque los puntos
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importantes, sin hacer mención que observen específicamente la parte en que nombran el trabajo anterior, para que ellas vuelvan a sus producciones previas y las estudien y lleguen a establecer las conexiones que permitirán dar respuesta a las interrogantes presentadas
Posibles errores que puede cometer la estudiante
Er1: Cálculos en el uso del teorema de Pitágoras: Los cálculos realizados en el teorema de Pitágoras pueden presentar errores que lleven a conclusiones equivocadas, por ejemplo en el triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1cm cada uno, puede que escriban 12 = 2, lo cual llevaría a que la medida de la hipotenusa es igual a 2cm dado que √4 = 2. En cada caso la estudiante debe por sí misma comprobar sus cálculos, por lo tanto hay que generar esa instancia sin hacer mención de que su producción presenta errores
Er2: La construcción del teorema de Pitágoras: Al escribir la igualdad del teorema de Pitágoras, es posible que registren la medida de la hipotenusa en la ubicación de uno de los catetos (por ejemplo, si x representa la medida de la hipotenusa entonces 12 + 𝑥2 = 12, llevando a que la medida de la hipotenusa es 0cm), o que no escriban todos los elementos presentes en el teorema (por ejemplo escribir 5 + 5 = x, olvidando los exponente para cada término)
Er3: Conclusiones entregadas: Las conclusiones entregadas por la estudiante presentan errores, tales como decir que si encontraron la medida común y que no presentó problemas en el teorema de Pitágoras o que las medidas entregadas por la regla convencional de medir son las verdaderas para la hipotenusa. Hay que provocar la necesidad en la estudiante de que compruebe los cálculos y procedimientos anteriores sin que se haga una mención directa o que ella misma no concluya que existen errores en sus procedimientos
68 6.2.2.3 Situación 5
Tiempo Estimado: 20 minutos
Objetivo: Adquirir conocimientos relacionados con el número irracional como noción protomatemática
Descripción: Se solicita a la estudiante que seleccione una de las siguientes opciones: número entero o número entregado por una regla graduada, para representar la medida de la hipotenusa en el triángulo rectángulo dado al inicio de la sesión. Se busca que la estudiante descarte ambas formas ya que ninguna cumple con el teorema de Pitágoras. Luego se consulta sobre la forma en que ella escribiría la medida para que represente al número en cuestión. Es importante destacar que la primera parte no hace mención sobre la posibilidad de descartar ambas, lo que entrega una instancia de debate sobre esta respuesta. Esta situación es de validación y pretende que la estudiante acepte la escritura en forma de radical como una representación de la medida de la hipotenusa, a diferencia de los entregado por una regla graduada o el algoritmo de Euclides, y con ello adquiera un primer conocimiento sobre el número irracional como noción protomatemática la cual tiene relación con que estos números no son enteros ni expresiones decimales cuyo desarrollo decimal tiene un dígito. Es importante mencionar que primero se entrega el documento con la pregunta sobre cuál escritura (entera o decimal finita) permite representar de forma exacta la hipotenusa.
69 Respuesta al problema
Documento Respuesta
Esta propuesta no entrega medidas que lleguen a satisfacer el teorema de Pitágoras en la recepción
52+ 52 ≠ 72
Documento Respuesta
Esta propuesta no entrega medidas que lleguen a satisfacer el teorema de Pitágoras en la recepción
32+ 32 ≠ 4,22
--- Ninguna dado que ambos casos no cumplen con la igualdad establecida en el teorema de Pitágoras y por lo tanto estas dos propuestas no satisfacen la condición de entregar la medida exacta para la hipotenusa.
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Documento Respuesta
Las medidas se pueden obtener tomando al ∆𝐴𝐵𝐶 el cual es rectángulo y por lo tanto se puede hacer uso del teorema de Pitágoras
32+ 32 = (𝐴𝐶)2
18 = (𝐴𝐶)2
𝐴𝐶 = √18
Y como AC = ED (Lados opuestos en un rectángulo), entonces
𝐸𝐷 = √18
Finalmente las medidas quedarían registradas como 𝐴𝐶 = √18 y
𝐸𝐷 = √18 Conocimientos Matemáticos Presentes
Número irracional, teorema de Pitágoras, algoritmo de Euclides, medida de un segmento, triángulo rectángulo, rectángulo, igualdad de las
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medidas de los lados opuestos en un rectángulo, cuadrado de un número natural, radical cuadrado
Conocimientos de la estudiante
Verificar si las medidas otorgadas a los catetos e hipotenusa en un triángulo rectángulo cumplen con la igualdad del teorema de Pitágoras, usar el teorema de Pitágoras para calcular la medida de la hipotenusa,
Posibles estrategias de la estudiante
Es1: Usar el teorema de Pitágoras: El teorema de Pitágoras cumplir las funciones principales para resolver el problema ya que permite determinar si las medidas entregadas son las verdaderas y además es un medio por el cual se puede obtener la medida de la hipotenusa, por lo tanto es una posible estrategia a usar por parte de la estudiante.
Es2: Usar el algoritmo de Euclides: Dado que se ha trabajado de forma muy recurrente con este algoritmo, la estudiante sería capaz de emplearlo para determinar las medidas de todos los segmentos, a su vez de validar una de las opciones por medio de este método
Posibles dificultades que tendrá la estudiante
D1: No comprender el enunciado: En caso de que la estudiante no comprendiera parte del enunciado, por ejemplo palabras, frases o lo que se solicita responder, el docente puede dar una serie de significados a las partes no comprendidas siempre y cuando no proporcione información relacionada a los conocimientos puestos en juego.
D2: Desconocer una forma de validar o invalidar una de las propuestas: La estudiante no vislumbra una forma de poder dar respuesta a la inquietud planteada. Una opción para poder superar esta dificultad es que observe toda la información entregada e invitarla a pensar en las posibles opciones
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que tiene a la hora de determinar si las medidas entregadas son las que realmente corresponden a los segmentos presentados
Posibles errores que puede cometer la estudiante
Er1: Realizar de forma incorrecta un cálculo: Existe la posibilidad de que la estudiante cometa un error en el cálculo, especialmente en el uso del teorema de Pitágoras donde puede decir que 32 = 6, lo que podría llevar a respuestas incorrectas o a conclusiones no deseadas. La comprobación del proceso usado será la forma de determinar su pertinencia.
Er2: Emplear el teorema de Pitágoras con errores en su escritura: En el uso de este teorema, la estudiante escribe de forma equivocada esta igualdad (por ejemplo: escribir la medida de la hipotenusa en el lugar donde debería ir la medida de uno de los catetos, o que en cada término escriba la medida del segmento en lugar del cuadrado de esta) y por lo tanto puede llegar a conclusiones erradas. Una vez más la comprobación del proceso la advertirá de este error