Teorema de Cauchy

En esta secci´on se probar´a de manera formal una versi´on muy general del teorema de Cauchy que se aplica a curvas cerradas de clase _C1 _{por tramos,}

simples o no, y no se usar´a el teorema de Green. Se prueba primero una versi´on local que es pieza clave en la prueba del caso general.

R R1 R3

R2

Teorema 2.3.1 (Lema de Goursat) Sean A una regi´on en_C, f:A_→C

anal´ıtica y R = [a, b]_×[c, d]_⊂A, entonces

Z

∂R

f = 0.

Demostraci´on. Para cada rect´angulo P denotaremos por I(P) a R_∂P f. Bisectando el rect´angulo R al dividir la base y la altura en partes iguales, se obtienen cuatro subrect´angulos que denotamos por R1, R2, R3 y R4.

Como las fronteras comunes de estos subrect´angulos Ri, i= 1,2,3,4, se

cancelan I(R) = 4 X i= 1 I(Ri) y |I(R)| ≤ 4 X i= 1 |I(Ri)|,

por lo que alguno de los Ri satisface

|I(Ri)| ≥

1

4|I(R)|.

Denotamos a dicho subrect´angulo R1_{. Iterando este proceso (v´ease la}

Figura 2.8), se obtiene una sucesi´on de rect´angulos R, R1_{, . . . , R}k_{, . . . que}

cumplen

(i) R _⊃R1 _⊃R2. . ., (ii) _|I(R)_{| ≤} 4k _I(Rk_),

(iii) Rk _{tiene di´ametro D/2}k_{, donde D es el di´ametro de R.}

Se afirma que el conjunto

∞

\

k= 1

Rk

consiste exactamente en un punto. Es claro que no puede contener m´as de un punto, ya que di´am (Rk) _→ 0. Para probar que no es vac´ıo se puede tomar un punto zk en cada subrect´angulo Rk, y se tiene que la sucesi´on

zk, k ∈N, es de Cauchy, ya que si l ≥k

|zk−zl| ≤

D

Por lo tanto, _∃z0 ∈C, tal que zk→z0, cuando k → ∞, y como todos los

rect´angulos Rk _{son cerrados, z}

0 est´a en la intersecci´on de todos ellos.

Ahora, como _Z ∂Rk z dz = 0 = Z ∂Rk dz, se sigue que I(Rk) = Z ∂Rk (f(z)₋f(z0)−(z−z0)f0(z0) dz.

Tambi´en, como f es anal´ıtica en z0, dado >0 existe δ >0, tal que

|f(z)₋f(z0)−(z−z0)f0(z0)| < |z−z0|,

si _|z₋z0|< δ.

Finalmente, si k es suficientemente grande se tiene que di´am (Rk_{)< δ,}

por lo que en virtud del Teorema 2.1.5 se tiene

I(Rk) _≤ D 2k `(∂R) 2k , y usando (ii) |I(R)<sub>| ≤</sub> 4k I(Rk) <sub>≤</sub> 4k D `(∂R) 4k = D `(∂R), lo cual implica I(R) = 0.

Usaremos para la prueba del caso global, la siguiente generalizaci´on del lema de Goursat.

z0

R

Corolario 2.3.2 Sean A una regi´on en _C, y f:A _{→ C} una funci´on con- tinua, sup´ongase tambi´en que esta funci´on es holomorfa en A₋z0, donde

z0 ∈R⊂A, y R es el interior de un rect´angulo. Entonces Z

∂R

f = 0,

Demostraci´on.Suponemos primero que z0 ∈∂R. Se subdivide R como se

describe en la Figura 2.9. En dicha partici´on se denota por R1, R2, R3, R4

y R5 a los subrect´angulos que no contienen a z0, y por R∗ al que s´ı lo

contiene (si z0 es un v´ertice son cuatro los subrect´angulos, sin embargo el

procedimiento es el mismo). Se tiene por el lema de Goursat que

Z ∂R f = 5 X i= 1 Z ∂Ri f + Z ∂R∗ f = Z ∂R∗ f.

Ahora, por compacidad f est´a acotada en R por un real positivo M,

∴ Z ∂R f ≤ M `(∂R∗).

Como evidentemente `(∂R∗) se puede hacer tan peque¯na como se quiera, se

sigue que _Z

∂R

f = 0.

Si z0 ∈Int R, el argumento anterior claramente se puede aplicar, en este

caso se obtienen nueve subrect´angulos.

N´otese que el corolario anterior se generaliza a cualquier funci´on que sea continua en toda la regi´on, y holomorfa salvo quiz´a en un n´umero finito de puntos. Para probar este hecho, basta subdividir el rect´angulo en su- brect´angulos que solamente contengan un punto donde la funci´on podr´ıa no ser holomorfa. El siguiente teorema es otro ingrediente b´asico para la prueba del Teorema de la deformaci´on (2.3.12).

Teorema 2.3.3 (Local de la primitiva) Sean f:A _{→ C} anal´ıtica, don- de A es una regi´on en _C. Sup´ongase tambi´en que R = [a, b]_×[c, d] _⊂ A, entonces existe g:U _→C anal´ıtica tal que g0 =f en U, donde U _⊂A es una vecindad abierta de R.

R λz z0 ψz z _z+h P τh

Figura 2.10: Prueba del teorema local de la primitiva

Demostraci´on. Usando el Lema 2.3.11 se puede suponer que existe otro rect´angulo P, tal que R _⊂Int P _⊂A, y tal que los lados de P son paralelos a los de ∂R. Sea z0 el v´ertice inferior izquierdo de P, para cada z ∈Int P

se definen λz y ψz como las poligonales descritas en la Figura 2.10, que

unen z0 con z. Expl´ıcitamente, si z =x+i y y z0 =x0+i y0,

λz(t) = ( x0+i y0+t(y−y0) si t_∈[0, 1], x0+ (t−1)(x−x0) +i y si t∈[1, 2].

De manera an´aloga se parametriza ψz.

La funci´on primitiva, es decir, aquella cuya derivada es f, se va obtener al definir

g(z) =

Z

λz

f.

Para probar que g es holomorfa en Int P y que g0(z) = f(z) para toda

z _∈Int P, notamos primero que se sigue del lema de Goursat que

Z λz f = Z ψz f.

Ahora, si h_∈R es suficientemente peque˜na

g(x+h, y)₋g(x, y) =

Z

τh

donde τh es el segmento horizontal que une (x, y) con (x+h, y), y como

la variaci´on vertical de τh es nula, se obtiene

g(x+h, y)₋g(x, y) =

Z x+h x

f(t, y)dt,

al tomar x como par´ametro para τh. N´otese que esto se cumple tambi´en si

h <0, ya que en este caso

g(x+h, y)₋g(x, y) = ₋ Z x x+h f(t, y)dt. Por consiguiente g(x+h, y)₋g(x, y) h = 1 h Z x+h x f(t, y)dt. (2.4) Se afirma que l´ım h→0 1 h Z x+h x f(t, y)dt = f(x, y). (2.5)

Esto se demuestra en forma similar al teorema fundamental del c´alculo. Por continuidad, dada > 0 existe δ > 0, tal que _|f(t, y)₋f(x, y)_| < , si

|t₋x_|< δ. Por lo cual, si 0< h < δ 1 h Z x+h x f(t, y)dt₋f(x, y) = 1 h Z x+h x f(t, y)₋f(x, y)dt ≤ 1 |h_| Z x+h x |f(t, y)₋f(x, y)_|dt _≤ h h = .

La primera igualdad es cierta ya que R_xx+hf(x, y)dt=hf(x, y), y la pen´ulti- ma desigualdad se sigue de la prueba del Teorema 2.1.5.

El caso h <0 se demuestra en forma similar y queda como ejercicio. Por lo tanto se cumple la igualdad (2.5). Escribiendo

g(z) = g1(z) +i g2(z) y f(z) = u(z) +i v(z),

se sigue entonces de la relaci´on (2.4) que en Int P ∂ g1

∂ x +i ∂ g2

Usando ψz en lugar de λz se obtiene de manera similar

∂ g1

∂ y +i ∂ g2

∂ y = −v+i u.

Esencialmente, esto se sigue ya que al tomar como par´ametro el segmento vertical, aparece en la derivada el valor i; dejamos la verificaci´on de los detalles al lector. Finalmente, como u y v son continuas y las parciales de

g1, g2 existen y est´an relacionadas por las ecuaciones de Cauchy-Riemann,

g es anal´ıtica en Int P, y en dicho conjunto

g0 = f. 0 1 2 1 γ0 γ1 2 γ1

Figura 2.11: Curvas homot´opicas

El siguiente resultado es consecuencia inmediata del teorema fundamental del c´alculo complejo y del de la primitiva local.

Corolario 2.3.4 Bajo las hip´otesis del Teorema 2.3.3, si adem´as γ es una curva cerrada de clase _C1 _{por tramos en R, se tiene}

Z

γ

El siguiente resultado, que se usar´a posteriormente, generaliza el teorema de la primitiva local y se sigue del Corolario 2.3.2, ya que en la prueba del teorema de la primitiva local se us´o la analiticidad de la funci´on f, solamente para aplicar el lema de Goursat. N´otese que como f es continua, las parciales de g1, g2 lo son, lo que asegura la analiticidad de g (junto con la validez de

Cauchy-Riemann).

Corolario 2.3.5 Se puede generalizar el Teorema 2.3.3, debilitando las hip´o- tesis, suponiendo solamente que f es continua en A y anal´ıtica en A_−{z0},

donde z0 es un punto arbitrario en R.

Habiendo probado los resultados locales necesarios para probar el Teore- ma de la deformaci´on (2.3.12), se introducen ahora algunas definiciones y se prueba un caso particular.

Definici´on 25 Sea A una regi´on en _C, se dice que las curvas γ0: [a, b]→A

y γ1: [a, b] → A son homot´opicas (como curvas cerradas) en A, si existe

una funci´on continua H: [a, b]_×[0,1]_→A, que cumple (i) H(s,0) = γ0(s), H(s,1) = γ1(s),

(ii) _∀t _∈[0, 1], se tiene H(a, t) = H(b, t).

Es conveniente pensar a la segunda variable como el tiempo, as´ı, en el tiempo 0 se est´a en la curva γ0 y en el tiempo 1 en γ1. Esta definici´on

exhibe la forma rigurosa de decir que γ0 es deformable a γ1 (v´ease la Fi-

gura 2.11). Obs´ervese que las curvas s _→ H(s, t) se pueden autointersecar, n´otese tambi´en que una curva constante es cerrada. Mostramos ahora un ejemplo: sea A la regi´on _{z_∈C|1<_|z₋(7 +i)_|<4_}, entonces los c´ırcu- los _|z₋(7 +i)_|= 2 y _|z₋(7 +i)_|= 3 son homot´opicos en A como curvas cerradas. La homotop´ıa est´a dada por

H(s, t) = 7 +i+ (2 +t)ei s,

donde s_∈[0, 2π], y t_∈[0,1], v´ease la Figura 2.12.

Definici´on 26 Se dice que una regi´on A en _C es simplemente conexa, si cualquier curva continua y cerrada es homot´opica, como curva cerrada, en

•

Figura 2.12: C´ırculos homot´opicos en un anillo

A las curvas descritas en la definici´on anterior que se pueden deformar a un punto, algunas veces se les llama nulhomot´opicas.

Definici´on 27 Se dice que un subconjunto A de _Rn _{es convexo si dados} dos puntos cualesquiera en A, el segmento que los une tambi´en est´a en A. Esto es, _∀x1, x2 ∈A y ∀t∈[0, 1] se tiene

x1+t(x2−x1)∈A.

Al segmento _{x _{∈ R}n_{|x = x}

1+t(x2 −x1), t ∈ [0, 1]} se le llama la

combinaci´on convexa de x1 y x2, tambi´en se escribe como (1−t)x1+t x2.

Algunos ejemplos de regiones convexas son los discos y los semiplanos, por ejemplo, si z1, z2 ∈D(z0, r) ={z

_|z₋z0|< r}, entonces

|tz2+ (1−t)z1−z0| = |t(z2−z0) + (1−t)(z1−z0)| < tr+ (1−t)r = r,

donde t _∈ [0, 1], v´ease la Figura 2.13. N´otese que la intersecci´on de regio- nes convexas es convexa. El siguiente resultado muestra que en las regiones convexas una curva se puede deformar en cualquier otra.

Proposici´on 2.3.6 Sea A una regi´on convexa en _C y γ0, γ1: [a, b] → A

dos curvas continuas y cerradas, entonces γ0 es homot´opica a γ1 en A.

Demostraci´on. Se define una homotop´ıa H: [a, b]×[0, 1]→C como

donde 0 _≤ t _≤ 1. Puesto que γ0 y γ1 son continuas, tambi´en lo es H,

adem´as, para t fija,

H(a, t) = t γ1(a) + (1−t)γ0(a) = t γ1(b) + (1−t)γ0(b) = H(b, t),

por lo que s_→H(s, t) es una curva cerrada. Finalmente,

H(s,1) = γ1(s), H(s,0) = γ0(s),

y como A es convexa, _∀(s, t)_∈[a, b]_×[0, 1], se tiene que H(s, t)_∈A.

z1

z2

z0 tz2+ (1₋t)z1

Figura 2.13: Los discos son convexos

Como consecuencia inmediata de esta proposici´on, se sigue el siguiente resultado al tomar una curva continua y cerrada, y una curva constante.

Corolario 2.3.7 Una regi´on convexa es simplemente conexa.

Definici´on 28 Se dice que una homotop´ıa como la descrita en la Definici´on 25 es de clase _C1 _{por tramos, si las restricciones a segmentos horizontales}

0 1 γ0 γ1 a b H Rj

Figura 2.14: Prueba del teorema de la deformaci´on para homotop´ıas de clase

C1 _{por tramos}

Teorema 2.3.8 (De la deformaci´on para homotop´ıas _C1 _{por tramos)}

Sean A_⊂C una regi´on, f:A_→C una funci´on anal´ıtica, γ0: [a, b]→A y

γ1: [a, b] → A curvas cerradas de clase C1 por tramos, sup´ongase tambi´en

que existe una homotop´ıa H: [a, b]_×[0, 1] _→ A de clase _C1 _{por tramos}

entre ellas. Entonces _Z γ0

f =

Z

γ1

f.

Para probar el teorema se necesita el lema que se enuncia a continuaci´on. La prueba de este resultado se sigue f´acilmente usando t´ecnicas b´asicas de la topolog´ıa de _Rn_{; queda como ejercicio para el lector; alternativamente este}

resultado puede consultarse en [2], p. 89.

Lema 2.3.9 Sea M un subconjunto compacto de _Rn, y sea _{U_j}n_j=1 una cubierta abierta de M. Entonces existe un n´umero δ >0, llamado n´umero de Lebesgue de la cubierta, tal que si W es un subconjunto de M de di´ametro menor a δ, entonces W _⊂Uj para alguna j.

Demostraci´on.[Del Teorema 2.3.8] El conjunto compacto H([a, b]×[0, 1]) puede cubrirse por medio de un conjunto finito de rect´angulos abiertos Rj,

funci´on anal´ıtica en una vecindad de Rj. Esto se sigue por compacidad,

usando el teorema local de la primitiva. Ahora, la colecci´on _{H−1_(R

j)} es una cubierta abierta de [a, b]×[0, 1].

Sea Uj un abierto en R2 tal que Uj∩([a, b]×[0, 1]) =H−1(Rj), y sea δ el

n´umero de Lebesgue de la colecci´on _{Uj}. El siguiente paso es subdividir el

rect´angulo [a, b]_×[0, 1] en una colecci´on de subrect´angulos cerrados _{Wi}

definidos por una ret´ıcula de di´ametro menor a δ, v´ease la Figura 2.14. Obs´ervese que como para cada i, Wi ⊂ H−1(Rj) para alguna j, se

tiene que H(Wi)⊂Rj, y dado que H(∂Wi) es una curva cerrada C1 por

tramos, _Z

H(∂Wi)

f = 0,

ya que en Rj, f es la derivada de una funci´on. Por consiguiente, como se

cancelan todas las integrales definidas por los segmentos verticales y horizon- tales que no forman parte de la frontera de [a, b]_×[0, 1], al ser recorridas en ambos sentidos, se tiene que

0 = X i Z H(∂Wi) f = Z γ0 f₋ Z γ1 f.

N´otese que la funci´on H restringida a _{a_{} ×}[0, 1] define la misma curva que la definida por la restricci´on de H a _{b_{} ×}[0, 1], pero esta ´ultima se recorre en sentido contrario, por lo que estas contribuciones se cancelan. Es did´actico constatar que en la prueba del teorema anterior las curvas

H(∂Wi) no son necesariamente simples y pueden intersecarse unas con otras.

Para probar el teorema de la deformaci´on en su forma general se necesitan dos lemas. El primero, que se enuncia a continuaci´on, establece que toda curva continua se puede aproximar por otra curva de clase _C1 por tramos.

Lema 2.3.10 Sea λ: [a, b] _{→ C} continua y > 0, entonces existe una curva γ: [a, b] _{→ C C}1 _{por tramos, tal que |λ(s)−γ(s)| < para toda}

s _∈[a, b].

Demostraci´on. Sea > 0, por continuidad uniforme existe una partici´on

a =s0 < s1 < . . . < sn=b, tal que para i= 1, 2,. . . , n−1 se tiene

Se define la curva γ como la poligonal que une los puntos λ(sk). M´as

precisamente, _∀k _{∈ {}1,2, . . . , n_} se define

γ [sk−1, sk] = ψk◦φk,

donde φk: [sk−1, sk]→[0, 1] est´a dada por

φk(s) = s₋sk−1 sk−sk−1 , y ψk: [0, 1]→C por ψk(t) = t λ(sk) + (1−t)λ(sk−1).

De esta manera, γ_|[sk−1, sk] describe el segmento que une λ(sk−1) con

λ(sk). Adem´as, es una composici´on de funciones afines, y es, por lo tanto,

de clase _C1_{, es decir, γ es de clase C}1 _{por tramos. V´ease la Figura 2.15.}

Finalmente, si s _∈ (sk−1, sk), por construcci´on se tiene que λ(sk−1) y

λ(sk) pertenecen al disco D(λ(s), ), adem´as γ(s) est´a en el segmento que

une λ(sk−1) con λ(sk). Por consiguiente, como los discos son convexos se

tiene que

|γ(s)₋λ(s)_| < .

Aplicando este razonamiento a cada subintervalo se sigue el resultado.

λ(sk−1)

λ(sk)

λ(s)

λ(sk+1) γ(s)

Figura 2.15: Una curva continua se puede aproximar por una de clase _C1 por tramos

En el contexto del lema anterior se dir´a que λ y γ son curvas -cercanas. A continuaci´on probamos que la distancia entre dos conjuntos ajenos en _Rn,

uno compacto y otro cerrado, se alcanza.

Lema 2.3.11 Sean A, B subconjuntos ajenos de _C, B cerrado y A com- pacto. Entonces existen u _∈ A y v _∈ B, tales que _|u₋v_{| ≤ |}z₋w_|, para cualesquiera z _∈A, w_∈B.

Demostraci´on. Se puede suponer que B tambi´en es compacto, puesto que si z0 ∈B y M = diam(A∪ {z0}), se tiene que D(z0,2M)∩B, que es

compacto, contiene a todos los puntos de B que est´en m´as cerca de A que

z0. Para demostrar esta afirmaci´on t´omese z1 ∈B, tal que

d(z1, A) < d(z0, A).

Como la funci´on distancia es continua y A es compacto, existe w1 ∈A tal

que

d(z1, A) = d(z1, w1),

por lo tanto,

d(z1, z0) ≤ d(z1, w1) + d(w1, z0) < 2M,

v´ease la Figura 2.16.

Finalmente, si B es compacto, A_×B es un subconjunto compacto de R4, ya que si A ⊂ D(0, r1) y B ⊂ D(0, r2), A×B ⊂ D 0,pr2 1 +r22 , y tambi´en si (zn, wn) → (z, w), n ∈N, donde zn ∈ A y wn ∈B, enton-

ces (z, w) _∈ A_×B, por lo que el lema es consecuencia de que la funci´on

(z, w)_{7−→ |}z₋w_| es continua.

A z0

z1 B

w1 D(z0,2M)

Figura 2.16: La distancia entre un compacto y un cerrado se alcanza

Para probar el teorema de la deformaci´on de manera general s´olo nos falta definir la integral de una funci´on sobre una curva continua (cerrada) que no

necesariamente sea de clase _C1 por tramos. Para esto, sea A una regi´on en C, f:A → C una funci´on anal´ıtica, λ: [a, b] → A una curva continua y cerrada, = d(λ([a, b]), Ac_{) y γ}

1, γ2 dos curvas cerradas, de clase C1 por

tramos, -cercanas a λ. N´otese que ambas curvas est´an en A. Definimos una homotop´ıa entre γ1 y γ2 como sigue

H(s, t) = t γ1(s) + (1−t)γ2(s).

Es claro que esta homotop´ıa es de clase _C1 por tramos cuando se restringe a segmentos verticales y horizontales, adem´as H toma valores en A, ya que _∀s, γ1(s) y γ2(s) est´an en el disco D(λ(s), ) que es convexo. Por

consiguiente, se sigue del Teorema 2.3.8 que

Z γ1 f = Z γ2 f.

Definici´on 29 Sean A, f, λ y como arriba, y γ una curva cerrada de clase _C1 por tramos, -cercana a λ, entonces

Z γ f = Z λ f.

Las observaciones anteriores muestran que esta integral est´a bien definida. Finalmente, probamos el teorema de la deformaci´on.

Teorema 2.3.12 (Teorema de la deformaci´on) Sea A una regi´on en _C y γ0, γ1 dos curvas cerradas de clase C1 por tramos, que son homot´opicas

como curvas cerradas en A. Sup´ongase tambi´en que f:A_→C es holomorfa,

entonces _Z γ0 f = Z γ1 f.

Demostraci´on. Sea H: [a, b]×[0, 1] → A una homotop´ıa de curvas ce- rradas entre γ0 y γ1, y

= d H([a, b]_×[0,1]), Ac.

Como H es uniformemente continua, existe δ >0 tal que si

entonces

|H(s1, t1)−H(s2, t2)| < /2.

Sean 0 = t0 < t1 < . . . < tn= 1 tales que

|tj−tj+1| < δ ∀j ∈ {0,1, . . . , n−1}.

Denotamos por λtj a H|([a, b]×tj), obs´ervese que

λtj(s)−λtj+1(s)

< /2 _∀j.

Ahora, la curva γ0 es C1 por tramos, mientras que λt1 puede ser s´olo

continua, pero como por construcci´on son /2-cercanas se sigue de la defini-

ci´on que _Z γ0 f = Z λt1 f, ya que d (λt1([a, b]), A c_{) ≥ d (H([a, b]×[0,1]), A}c_{) =.}

El siguiente paso es tomar una curva auxiliar ψ1, C1 por tramos, que

sea /2-cercana a λt1. Esta nueva curva es - cercana a λt2, ya que

|λt2(s)−ψ1(s)| ≤ |λt2(s)−λt1(s)|+|λt1(s)−ψ1(s)| < /2 +/2 = , por lo que _Z γ0 f = Z λt₁ f = Z ψ1 f = Z λt₂ f.

Iterando este proceso se obtiene el resultado deseado. Esto se puede hacer, ya que _∀j si ψ es una curva (_C1 _{por tramos) - cercana a λ}

tj, como

d λtj([a, b]), Ac

≥ d (H([a, b]_×[0,1]), Ac) = ,

se tiene por definici´on que

Z λ_tj f = Z ψ f. Es importante destacar que esta versi´on general se aplica a curvas que se pueden intersecar, o tambi´en a curvas que se autointersecan. A continuaci´on mostramos un ejemplo: sean γ el c´ırculo unitario _|z_|= 1 y

f(z) = 1

1 1 2 −1 2 γ γ1 γ2 ψ 0

Figura 2.17: Homotop´ıa entre el c´ırculo unitario y la curva ψ

Una manera de calcular R_γfes obtener una deformaci´on de γ a una nueva curva ψ formada con los c´ırculos de radio 1/4 con centros en ₋1/2 y 1/2 (que denotamos por γ1 y γ2, respectivamente), junto con el intervalo

[₋1/4, 1/4], recorrido en ambos sentidos, como se muestra en la Figura 2.17. Es claro, a partir de dicha figura, que se puede construir una homotop´ıa de manera expl´ıcita, que no pase por los puntos _±1/2 (ya que en estos puntos la funci´on no es holomorfa). Deben parametrizarse las curvas ψ y γ de tal manera que se pueda llevar a cabo la deformaci´on descrita en la figura. Con el objeto de precisar esta idea, mostramos como debe ser la parametrizaci´on en un primer intervalo que puede tomarse como [0, π/2]. La curva ψ se parametriza de manera natural, esto es, ψ(s) = 1/2 +ei s_{/4, en cambio γ}

se debe parametrizar adapt´andose a ψ, esto se puede obtener escribiendo

γ(s) = 1/2 +k ei s_{, donde el n´umero k debe cumplir}

1₂+k ei s 2 = 1.

Al resolver esta ecuaci´on se obtiene

k =

√

cos2_{s+ 3−coss}

2 (ejercicio).

Es claro que este proceso puede continuarse y as´ı obtener la homotop´ıa, la cual se define como sigue

H(s, t) = t γ(s) + (1₋t)ψ(s), H : [0, 4π+ 1]_×[0,1]_{7−→C− {±}1/2_},

esto es, se toma la combinaci´on convexa correspondiente al momento t entre las dos curvas, el n´umero 4π + 1 acontece al tomar las contribuciones de todos los subintervalos. N´otese que de hecho la homotop´ıa no intersecta los interiores de los discos que rodean γ1 y γ2. Por consiguiente, es posible

aplicar el teorema de la deformaci´on (a pesar de que la curva ψ no es simple), y obtener Z γ f = Z γ1 f + Z γ2 f,

ya que las contribuciones en el intervalo [₋1/4, 1/4] se cancelan. Ahora, 1 z2_−1/4 = 1 z₋1/2 − 1 z+ 1/2, y usando el teorema de Cauchy se sigue que

Z γ1 dz z2_−1/4 = Z γ1 dz z₋1/2 − Z γ1 dz z+ 1/2 = 0−2π i. Un c´alculo an´alogo aplicado ahora a γ2, muestra que

Z γ2 f = 2π i, y por ende Z γ f = 0.

En muchos casos es importante apelar a la intuici´on para encontrar homo- top´ıas. Por otro lado, usando herramientas b´asicas de la topolog´ıa algebraica en muchos casos puede detectarse si dos curvas son homot´opicas o no lo son. La versi´on general del teorema de Cauchy es una consecuencia inmediata del teorema de la deformaci´on.

Teorema 2.3.13 (Cauchy) Sean A una regi´on, f:A _{→ C} anal´ıtica y

γ una curva en A, _C1 _{por tramos, que es homot´opica a un punto en A,}

entonces _Z

γ

f = 0.

En particular, cuando A es simplemente conexo, esto se cumple si γ es cualquier curva cerrada de clase _C1 _{por tramos.}

Demostraci´on.Si γ: [a, b]→A es homot´opica a ψ: [a, b]→A, ψ(t) =z0,

para alg´un z0 ∈A, se sigue del teorema de la deformaci´on y de la definici´on

de integral que _Z γ f = Z ψ f = 0. 1 A -1 -3 γ

Figura 2.18: En las regiones simplemente conexas se aplica de manera inme- diata el teorema de Cauchy

Esta versi´on general del teorema de Cauchy nos permite detectar de mane- ra formal que muchas integrales son nulas, por ejemplo, sea A la regi´on que consiste de intersecar el semiplano _{z_|Im z > Re z_} con el disco D(₋1, 2),

y γ cualquier curva cerrada de clase _C1 por tramos en A. Entonces

Z

γ

z2+z+ 1

z dz = 0,

esto se sigue del teorema de Cauchy, ya que dicha regi´on al ser convexa es simplemente conexa, y la funci´on que se est´a integrando es holomorfa en A,

n´otese que la curva γ puede autointersecarse, por lo que es necesaria esta nueva versi´on del teorema de Cauchy. V´ease la Figura 2.18.

Existe un importante teorema de la topolog´ıa que complementa al teore- ma de Jordan y permite establecer que el interior de cualquier curva simple

cerrada es simplemente conexo. Se dice que dos subconjuntos A, B en _Rn son homeomorfos si existe una biyecci´on f :A _→B, tal que tanto f como

f−1 _{son continuas.}

Teorema 2.3.14 (Shoenflies) Sea γ una curva simple cerrada en _C, en- tonces Int γ es homeomorfo al disco unitario cerrado ∆ =_{z_{| |}z_{| ≤}1_}.

Una prueba de este resultado puede consultarse en [14], pp. 68-69. Este teorema es de gran utilidad en nuestro contexto, pues nos dice que el interior de una curva simple cerrada, por complicada (y tipo fractal) que sea, es una regi´on simplemente conexa. Esto se sigue, ya que si se denota por f el homeomorfismo que va de Int γ en ∆ y se tiene cualquier curva continua

λ : [a, b] _→ Int γ; como ∆ es simplemente conexo, existe una homotop´ıa

H: [a, b]_×[0, 1] _→ ∆, tal que H[a, b]_{× {}0_} = f _◦λ y H[a, b]_{× {}1_} es un punto. Por lo que al tomar f−1_{◦H se tiene la homotop´ıa buscada.}

Estas observaciones permiten detectar, v´ıa el teorema de Cauchy, que muchas integrales son nulas. Por ejemplo, sean A la regi´on determinada por el interior de una curva simple cerrada λ y p(z) un polinomio cuyas ra´ıces no est´an en A, entonces si γ es una curva cerrada _C1 _{por tramos en A, se}

tiene _Z

γ

dz

p(z) = 0.

El teorema de la deformaci´on permite tambi´en probar un teorema global de la primitiva.

Teorema 2.3.15 (De la primitiva) Sea A una regi´on simplemente cone- xa y sea f:A_→C holomorfa, entonces existe g:A_→C holomorfa, tal que en los puntos de A se cumple

g0(z) = f(z).

Adem´as, esta funci´on g, llamada primitiva, es ´unica salvo una constante.

In document Antonio Lascurain Orive 3 de junio de 2013 (página 96-119)