Aprendizajes esperados:

Formula, justifica y usa el teorema de Pitágoras.

Semana 28 (5 sesiones) 50 min. por sesión

pp. 175-182

Cuaderno, juego de geometría.

Inicio

Puede iniciar con comentarios libres del grupo acerca del teorema de Pitágoras, lo cual servirá para dar una buena entrada a la sección Para arrancar, en la que tendrán que representar algebraicamente las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos y sobre la hipotenusa, y además, cada lado a partir de las áreas. Se espera que no haya mucho problema para resolver el ejercicio, y que el grupo comente que para encontrar el valor de a, dado a2, se usará la raíz cuadrada y así para b y para c. Permita que al final de la actividad, expongan sus dudas, procedimientos y sugerencias.

En el Reto se trabaja en equipos y la intención es que cada equipo use sus conocimientos sobre el teorema de Pitágoras para saber si se necesita o no la ayuda de una de las piedras y cuál elegir y llegar al castillo. Pida a los equipos que antes de resolver el problema hagan una estimación y la anoten para que una vez resuelto vean qué tan cerca estuvieron. La sección Pistas les puede ayudar para cumplir con la solución del reto. Pida que observen la representación que se hace del problema y pregunte si se les ocurre otra forma de representarlo y que justifiquen su respuesta.

Es importante comentar que el trabajo en equipo es para conjuntar ideas y estrategias, por lo que, en el caso de que alguno de los integrantes no pueda o tenga dificultades para identificar los elementos del problema, los demás integrantes lo pueden orientar y ayudar.

Pida que anoten en su cuaderno las conclusiones al ejercicio, sin importar que no sean correctas o que no estén completas. Cuando se estudie la sección Formalización podrán corregir, completar o verificar sus anotaciones.

Permita en todo momento la exposición de dudas y su aclaración siempre que sea posible por el grupo, enfatice que en el trabajo en equipo todas las observaciones y aportaciones son valiosas.

Trimestre 3

Secuencia 19. Usa el teorema de Pitágoras.

Lección 19. Más sobre Pitágoras

Desarrollo

En Un nuevo reto se presenta un problema que si se analiza bien puede ser resuelto rápidamente. Permita que los equipos trabajen, pida que comprueben sus resultados y que expongan sus dudas y estrategias; pueden surgir diferentes estrategias, pero la que hayan elegido será válida si se llega a las repuestas correctas. Pida que se comente y resuelvan en forma grupal. Haga ver que bastará con saber una de las dimensiones de uno de los triángulos pequeños para saber la medida de los otros, ya que los cuatro triángulos son congruentes. Permita el intercambio de opiniones.

En la sección de Formalización se debe leer cada párrafo y analizar su contenido. Se muestra que en algunos casos, también con la aplicación de criterios de semejanza de triángulos se pueden resolver problemas en los que se aplica el teorema de Pitágoras. Es importante que prueben y comprueben que los resultados con ambos métodos son equivalentes y que no se dé por terminado el estudio de esta sección hasta que todo el grupo disipe sus dudas. Si es necesario expongan en el pizarrón ejemplos que den claridad a la forma de plantear y resolver problemas usando semejanza o el teorema de Pitágoras.

Cierre

En esta lección, la sección ¡A Practicar! se resuelve individualmente. Es deseable que den solución a cada cada ejercicio sin problemas, pero si surgiera alguna duda, es buen momento para exponerla y resolverla.

En el ejercicio b) se presenta un triángulo en el plano cartesiano. Puede suceder que no tomen en cuenta que el triángulo no está sobre el eje XX’ y fallen en los resultados; en caso de que esto ocurra, permita que se continúe el trabajo y al final en exposición grupal de dudas, comentarios y estrategias pida que alguien explique cuánto miden realmente los lados del triángulo, insista que comprueben sus resultados y en caso necesario que se haga una exposición grupal en el pizarrón con ejemplos diferentes a los del texto.

Para trabajar en las secciones Para terminar y TIC formen parejas. En la sección Para terminar se plantean ejercicios breves que resumen lo estudiado en la lección, permita que las dudas que surjan se expongan frente al grupo. En la sección TIC se usa GeoGebra para representar el teorema de Pitágoras, pero en esta ocasión formando triángulos equiláteros sobre cada lado. Es importante que todos los equipos logren hacer los trazos y, en caso contrario, pida a otros equipos que los orienten para que lo logren. Generalmente les parece interesante a los equipos que el teorema de Pitágoras funcione con otro polígono que no sea el cuadrado. Pida a los equipos que anoten en sus cuadernos las conclusiones al ejercicio y a la lección.

La lectura en la sección Para leer sobre el teorema de Pitágoras tiene otra forma de representar el Teorema pero ahora usando hexágonos. Cuestione al grupo si este teorema funcionará para cualquier polígono regular sobre los lados del triángulo y en otra sesión hagan la prueba con Geogebra.

Unos minutos para pensar

Pitágoras

Pitágoras nació alrededor del año 572 a. de n. e. en la isla de Samos

en Grecia. Continuó el trabajo de sistematización de la geometría

sobre bases deductivas iniciado por Tales 50 años antes. Se cree que

Pitágoras viajó extensamente por Egipto y los países del antiguo

Oriente antes de emigrar a la ciudad griega de Crotona, debido

a la ocupación Persa de Jonia, en el sur de Italia. Allí fundó una

fraternidad dedicada al estudio de la filosofía, las matemáticas y la

ciencia, pero la escuela tenía también influencia política y religiosa,

lo que provocó su destrucción a principios del siglo V.

Las enseñanzas de los pitagóricos se transmitían por vía oral y todo

se atribuía al venerado fundador de la escuela. Además, la escuela

se fue transformando en una hermandad con ritos y ceremonias

secretas de los cuales se sabe muy poco (por eso hay la duda de qué

descubrieron y quién lo descubrió). Pero se sabe que la filosofía de

los pitagóricos se basaba en los números enteros y su clasificación

en impares, perfectos, amigos, etcétera.

También, se atribuye a la escuela pitagórica la demostración

del teorema de Pitágoras (antes, fue conocido también por los

babilonios) y, como consecuencia, el descubrimiento de los

números irracionales, que contradecían la doctrina básica de la

escuela: habían descubierto que existían números “inexpresables”

como la raíz cuadrada de 2 que no eran enteros ni fraccionarios.

Según la tradición, los pitagóricos trataron de guardar el secreto

de tan grave asunto y un discípulo de la escuela llamado Hipasus

murió al ser arrojado al mar, por divulgarlo.

Para Pitágoras y sus discípulos, “los números gobiernan el Universo”.

En música, estudiaron los distintos tonos producidos por la cuerda

de una lira y descubrieron que el sonido variaba con la longitud de la

cuerda, de ahí que expresaran los intervalos de la escala musical en

términos de razones numéricas correspondientes a las longitudes

de las cuerdas de una lira.

Unos minutos para pensar

El teorema de Pitágoras

Los pitagóricos creían también que el movimiento de los planetas se podía reducir a relaciones numéricas. Conocieron las propiedades de

las paralelas y las utilizaron para probar que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos.

El desarrollo que los pitagóricos dieron a la geometría condujo a que hubiera cadenas cada vez más largas de resultados demostrados a

partir de otros resultados.

LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS ES IGUAL AL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA

a

b

Secuencia 20. Relaciones entre los ángulos y cocientes de los lados de un triángulo rectángulo.

In document Matemáticas 3. Guía del docente. Roberto Villaseñor Spreitzer Víctor Manuel García Montes José Luis Hernández Palomino. prohibida su venta (página 54-58)