Tipos de variables aleatorias - Probabilidad Intermedia Luis Rincon

lo tanto, para cualquier n´umero real x, la probabilidad del evento (X = x) es cero. Finalizamos esta secci´on con un resultado interesante cuya prueba es sorprendentemente simple.

Proposición. Toda función de distribución tiene a lo sumo un número numerable de discontinuidades.

Demostraci´on. Sea D el conjunto de puntos de discontinuidad de una fun-

ción de distribución F (x). Para cada número natural n defina los subcon- juntos Dn={ x ∈ D : 1 n + 1 < F (x)− F (x−) ≤ 1 n}.

Cada conjunto Dn tiene a lo sumo n elementos. Como D = S∞n=1Dn, se

concluye que D es numerable.

2.3. Tipos de variables aleatorias

Las variables aleatorias se clasifican en varios tipos dependiendo de las ca- racter´ısticas de la correspondiente función de distribución. Al menos existen tres tipos: discretas, continuas, y mezclas de las dos anteriores. Veamos su definición.

Definición. (Variable aleatoria discreta). La variable aleatoria X se llama discreta si su correspondiente función de distribución F (x) es una función constante por pedazos. Sean x1, x2, . . . los puntos de

discontinuidad de F (x). En cada uno de estos puntos el tama˜no de la discontinuidad es P (X = xi) = F (xi)− F (xi−) > 0. A la funci´on f(x)

que indica estos incrementos se le llama funci´on de probabilidad de X, y se define como sigue

f (x) = P (X = x) si x = x1, x2, . . .

0 otro caso. (2.2)

La funci´on de distribuci´on se reconstruye de la forma siguiente F (x) =X

u≤x

f (u).

En este caso se dice también que la funci´on de distribución es discreta, además la función de probabilidad f (x) siempre existe, y se le llama también

función de masa de probabilidad. También se acostumbra usar el término

funci´on de densidad, como una analog´ıa con el caso de variables aleatorias

continuas definidas m´as adelante. Cuando sea necesario especificarlo se escribe fX(x) en lugar de f (x). Observe que la funci´on de probabilidad f (x) es

una funci´on no negativa que suma uno en el sentidoP_if (xi) = 1. Rec´ıpro-

camente, toda funci´on de la forma (2.2) que cumpla estas dos propiedades se le llama funci´on de probabilidad, sin que haya necesariamente una variable

aleatoria de por medio. Veamos ahora el caso continuo.

Definición. (Variable aleatoria continua). La variable aleatoria X se llama continua si su correspondiente función de distribución es una función continua.

En tal caso tambi´en se dice que la distribuci´on es continua. Las distribucio- nes continuas se clasifican a su vez en distribuciones absolutamente continuas

76 2.3. Tipos de variables aleatorias

y distribuciones singulares.

Definición. (Variable aleatoria absolutamente continua). La variable aleatoria continua X con función de distribución F (x) se llama absolutamente continua, si existe una función no negativa e integrable f tal que para cualquier valor de x se cumple

F (x) = Z x

−∞

f (u) du. (2.3)

En tal caso a la funci´on f (x) se le llama funci´on de densidad de X.

Aún cuando exista una función no negativa e integrable f que cumpla (2.3), ésta puede no ser única, pues basta modificarla en un punto para que sea ligeramente distinta pero aún as´ı seguir cumpliendo (2.3). A pesar de ello, nos referiremos a la función de densidad como si ésta fuera única, y ello se justifica por el hecho de que las probabilidades son las mismas, ya sea usando una función de densidad o modificaciones de ella que cumplan (2.3). Es claro que la función de densidad de una variable aleatoria absolutamente continua es no negativa y su integral sobre toda la recta real es uno. Rec´ıprocamente, toda función f (x) no negativa que integre uno en R se llama función de densidad. Si X es absolutamente continua con función de

distribución F (x) y función de densidad continua f (x), entonces el teore- ma fundamental del cálculo establece que, a partir de (2.3), F′(x) = f (x). Además, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo (a, b) es el área bajo la función de densidad sobre dicho intervalo. Esto se ilustra en la Figura 2.6, la probabilidad es la misma si se incluyen o excluyen los extremos del intervalo.

Pueden construirse ejemplos de variables aleatorias continuas que no tienen función de densidad, es decir, que no existe una función f no negativa e integrable que cumpla (2.3) para cualquier número real x. En tales situaciones se dice que la distribuci´on es singular.

a _b P (X _{∈ (a, b)) =} Z b a f (x) dx x f (x)

Figura 2.6:La probabilidad como el ´area bajo la funci´on de densidad.

Definición. (Variable aleatoria singular). La variable aleatoria continua X, o su correspondiente función de distribución F (x), se llama singular si F′(x) = 0 casi seguramente.

El término “casi seguramente” que aparece en esta definición se refiere a que la igualdad se cumple en todos los puntos x excepto en un conjunto cuya medida de Lebesgue es cero. Las distribuciones singulares son un poco más delicadas de estudiar y no haremos mayor énfasis en ellas. La distribución de Cantor es un ejemplo de este tipo de distribuciones y se construye mediante

un proceso l´ımite. Los detalles pueden encontrarse en [13] o [19].

Definici´on. (Variable aleatoria mixta). Una variable aleatoria que no es discreta ni continua se llama variable aleatoria mixta.

No es dif´ıcil encontrar situaciones en donde la variable aleatoria en estudio es mixta, el siguiente ejemplo es una muestra de ello.

Ejemplo (Una variable aleatoria que no es discreta ni continua). Sea X una variable aleatoria con funci´on de distribuci´on

FX(x) =

(

1− e−x _{si x > 0,}

78 2.3. Tipos de variables aleatorias

Como la funci´on FX(x) es continua, entonces la variable aleatoria X es

continua. Sea M > 0 una constante. Las gr´aficas de las funciones de distribuci´on de las variables X y la constante M (vista como variable aleatoria), se muestran en la Figura 2.7. 1 FX(x) x 1 b c b FM(x) x M

Figura 2.7:Funciones de distribuci´on de la variable X y la constante M .

Sea Y = m´ın_{{X, M}. Puede comprobarse que la funci´on de distribuci´on de} Y es FY(y) =      0 si y≤ 0, 1_{− e}−y _{si 0 < y < M,} 1 si y≥ M,

con gráfica como en la Figura 2.8. Es claro que esta función de distribución no es constante por pedazos pues es creciente en el intervalo (0, M ), por lo tanto no es discreta, y tampoco es continua pues tiene una discontinuidad en y = M . Por lo tanto Y es una variable aleatoria que no es discreta ni continua.

Finalmente enunciamos un resultado general cuya demostraci´on puede encontrarse en [7] o [13].

1 b c b FY(y) y M

Figura 2.8:Funci´on de distribuci´on de la variable Y = m´ın_{{X, M}.}

Proposición. Toda función de distribución F (x) se puede escribir como una combinación lineal convexa de una función de distribución discreta Fd(x) y otra continua Fc(x), es decir, admite la siguiente representación

F (x) = αFd(x) + (1_{− α)F}c(x), en donde 0_{≤ α ≤ 1.}

En todos los casos que consideraremos en este texto la distribución continua de esta descomposición será absolutamente continua. En el caso general, esta distribución continua puede a su vez escribirse como otra combinación lineal convexa entre una distribución absolutamente continua y una distri- bución continua singular. Esto lleva al resultado general de que cualquier distribución puede escribirse como una combinación lineal convexa de los tres tipos básicos de distribuciones.

Ejemplo. Considere nuevamente la función de distribución de la variable Y = m´ın_{{X, M} analizada en el ejemplo anterior. Hemos visto que esta} distribución no es discreta ni continua, sin embargo puede descomponerse en la combinación lineal convexa

FY(y) = e−MFd(y) + (1− e−M)Fc(y),

80 2.3. Tipos de variables aleatorias

Fc(y) es la distribuci´on continua

F_Yc(y) =        0 si y≤ 0, 1_{− e}−y 1_{− e}−M si 0 < y < M, 1 si y_{≥ M.}

Igualdad de variables aleatorias

Dos variables aleatorias X y Y son estrictamente iguales si para cada ω se cumple X(ω) = Y (ω). Existen, sin embargo, otras formas más débiles de igualdad que enunciaremos a continuación.

Definici´on. (Igualdad de variables aleatorias). Se dice que dos variables aleatorias X y Y son

a) iguales casi seguramente, y se escribe X = Y c.s., o bien X c.s.= Y , si se cumple que P (X = Y ) = 1. M´as generalmente, un evento ocurre casi seguramente si su probabilidad es uno.

b) iguales en distribuci´on, y se escribe X = Y , si sus correspondientesd funciones de distribuci´on coinciden, es decir, si FX(x) = FY(x)

para cada n´umero real x.

Es interesante observar que la igualdad casi segura es más fuerte que la igualdad en distribución, es decir, si X y Y son iguales casi seguramente, entonces son iguales en distribución. Sin embargo, si X y Y tienen la misma distribución, entonces no necesariamente son iguales casi seguramente. A menos que se indique lo contrario, cuando aparezca una expresión de igualdad entre variables aleatorias, se considera que la igualdad es válida en el sentido fuerte, es decir, casi seguro.

Ejercicio. Sean X y Y dos variables aleatorias. Demuestre que el conjunto (X = Y ) es un evento. En consecuencia tiene sentido calcular la probabili-

dad de tal conjunto.

Ejercicio. Demuestre que si X = Y c.s., entonces X = Y . Por el contrario,d demuestre que si X = Y , entonces no necesariamente X = Y c.s. Considered por ejemplo la variable X tal que P (X =_{−1) = P (X = 1) = 1/2, y defina}

Y =−X.

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