Usando el programa COMSOL  para el cálculo de la resistencia del conductor y

5.4.1 Dimensión del modelo

La simulación se realizará en un ambiente 2D, por lo tanto los parámetros se obtienen en por unidad, es decir por cada metro ya que la interfaz de este caso considera una profundidad de un metro para la simulación [10].

5.4.2 Selección de la física

Se selecciona la opción de magnetic and electric fields (mef) ,véase Figura 4.7 , ya que se utilizarán corrientes.

5.4.3 Tipo de análisis

Como se pretende hacer un barrido de frecuencia, véase Figura 4.8 para apreciar el efecto piel se selecciona un estudio de frequency domain.

5.4.4 Árbol del modelo y parámetros globales

Se colocan los valores mostrados a continuación, ver Figura 5.4:

Figura 5.4 Parámetros para definir el modelo de la línea monofásica

5.4.5 Geometría:

Para crear distintas figuras con las herramientas de dibujo en Geometry seleccionar la geometría básica deseada. Donde los siguientes parámetros expuestos en la tabla de la Figura 5.4 definen la geometría de la Figura 5.5.

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o _{El conductor es definido por r_c y sus coordenadas por x_f2 y hl_2.}

o _{El dominio de simulación, es el circulo mayor está definido por r_big y las} coordenadas 0,0.

o _{Para definir los dominios infinitos se usó un circulo con radio r_big-} 0.1*r_big y centrada en el origen.

o _{Para definir el plano de tierra y dividir el elemento correspondiente a la} tierra se emplearon dos Bézier Polygon paralelos entre sí.

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5.4.6 Materiales

Para el dominio correspondiente al elemento conductor se seleccionó granite, cooper y air, ver Tabla 5.2 y Figura 5.6. Con las siguientes características

Tabla 5.2 Definición de materiales

Parámetro constitutivo del material Granite Cooper Air

Resistividad [ ] 100

∞

Permitividad relativa 1 1 1

Permeabilidad relativa 1 1 1

Figura 5.6 Subrama de materiales, línea monofásica

5.4.7 Indicando condiciones iniciales y de frontera

De la subrama magnetic an electric fields agregar magnetic field se asigna el valor de cero para todas sus coordenadas, con el fin de aproximar la forma del campo que se extiende de manera infinita. Además se agregan en la rama de Definitions dos nodos para elementos infinitos tipo cilíndrico centrado en el origen llamados infinite element domain, uno para el dominio de tierra y otro para el dominio de aire.

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5.4.8 Mallado

Se añade a la subrama Mesh una subrama Free Triangular, ver Figura 5.8, posteriormente otras subramas para asignar las dimensiones de los elementos triangulares a cada dominio. Para el dominio del aire se le asigna un mallado Finer, para el domino conductor un valor máximo de 1e-5 m, para el caso de la tierra se dividió para aumentar la eficiencia computacional el dominio cercano al plano de tierra tiene un tamaño máximo de elemento de 0.8 m y el otro dominio de 2 m.

Figura 5.7 Mallado de todos los dominios de simulación

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5.4.9 Simulación

Se agregan a la rama de magnetic and electric fields dos nodos de corriente externa uno para la corriente en el conductor y la otra para la corriente de retorno igual a la del conductor pero de sentido contrario ver Figura 5.9 y Figura 5.10.

Figura 5.9 Corrientes de excitación

La corriente de conductor se coloca como se muestra en la Figura 5.9, la corriente de retorno por tierra se define con )

)) para su componente en z.

Figura 5.10 Densidad de corrientes de excitación sin escala real

101

Se realiza un barrido de frecuencia ver Tabla 5.3 de 60 a 1e6 Hz. Se compara con formulaciones analíticas propuestas por Gary [25], y se compara la diferencia relativa tomando como referencia las formulaciones analíticas.

Se calcula la impedancia serie que incluye la inductancia del conductor y debida al retorno por tierra, así como la resistencias del conductor y de tierra. En la rama de component, subrama variables en el nodo variables crear una llamada en el cuadro de expression colocar V_app/(i_c*(2*pi*r_c)). Para calcular la resistencia en el conductor se usa el método de la energía, se integra la potencia asociada a las pérdidas por efecto Joule colocando un Domain probe del tipo integral seleccionado el dominio que corresponde únicamente al conductor en expression colocar abs(mef.Jz)^2/(2*sigma_c). Una vez con la potencia en variables se introduce una variable R_c y en expression (2*P_c/(abs(i_c))^2) para obtener la resistencia del conductor en la rama de resultados extrayéndose como derived values.

Tabla 5.3. Resistencia en el conductor aplicando el método de la energía P.

Parámetro [kHz] MEF P Fórmula Analítica [25] Diferencia relativa [%] Resistencia [ ] 0.06 5.70E-05 5.77E-05 1.31 1 1.46E-04 1.37E-04 6.50 10 4.29E-04 4.17E-04 2.94 100 1.33E-03 1.31E-03 1.01 500 2.95E-03 2.94E-03 0.46 1000 4.17E-03 4.15E-03 0.33

6 Conclusiones

CAPÍTULO 6

CONCLUSIONES

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6.1 Introducción

El contar con herramientas computacionales para el cálculo de campos electromagnéticos permite calcular y analizar diferentes problemas en ingeniería eléctrica. Con programas basados en el método de elemento finito se pueden resolver diferentes tipos de problemas en ingeniería eléctrica, como por ejemplo:

1. Dimensionamiento de aisladores y conductores 2. Diseño de equipo

3. Cálculo de parámetros

El cálculo de parámetros, que es la aplicación abordada en este trabajo, es de gran utilidad en ingeniería y en la ciencia en general. En muchos problemas, al trabajar con modelos matemáticos que describen sistemas reales, tales como equipos eléctricos y líneas de transmisión entre otros, resulta de gran utilidad el uso de circuitos equivalentes. Los circuitos equivalentes permiten reducir la complejidad y facilitan el análisis.

Cuando se trabaja con circuitos equivalentes de un sistema, una etapa crucial, es la correcta definición de los parámetros. Hay dos opciones para la determinación de parámetros, medirlos experimentalmente o calcularlos a través de un modelo. Para resolver los modelos aplicados a un problema particular se tiene que resolver un sistema de ecuaciones, ya sea de manera analítica o de manera numérica a través métodos como el del elemento finito.

En este trabajo se describe el procedimiento para el cálculo de parámetros eléctricos utilizando un paquete comercial basado en el método del elemento finito. Para el caso de la inductancia y capacitancia se presentan las ecuaciones básicas para su cálculo en base a dos métodos para cada una. En el caso de la inductancia, ésta se calcula por medio del método de la energía y por el método de los enlaces de flujo, mientras que para el caso de la capacitancia se utiliza el método de la energía y el de la carga.

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A continuación se dan algunos puntos que pudieran ayudar a seleccionar el método para calcular cualquiera de los tres parámetros calculados en este trabajo.

6.2 Capacitancia

La capacitancia es independiente de la tensión y de la frecuencia, con los métodos de la energía y de la carga se obtienen casi los mismos valores. En el COMSOL es posible utilizar una herramienta llamada terminal los cuales permiten calcular la capacitancia propia y mutua muy fácilmente, ya que asigna diferentes condiciones de frontera para determinar la capacitancia entre una frontera y otras de manera combinatoria, esta opción calcula la capacitancia por el método de la carga y es bastante útil para el cálculo de la matriz de capacitancia, por ejemplo, cuando se calculan inductancias propias y mutuas entre espiras de transformadores.

6.3 Inductancia

La inductancia es dependiente de la frecuencia, cuando se trata un problema que involucra frecuencias altas, el método a usar es el método de la energía. Resulta ser más adecuado, ya que en algunos casos para el método de los enlaces de flujo el potencial vectorial gradiente suele ser no uniforme dentro de la región de solución especialmente a alta frecuencia debido al efecto piel, lo cual puede llegar a ocasionar problemas al momento de calcular el flujo, pues puede causar confusión al momento de realizar la integral de área (si se integra la densidad de campo magnético) o de contorno (cuando se utiliza el potencial vectorial magnético).

6.4 Pérdidas

Debido al efecto piel en corriente alterna, la resistencia no se calcula como en el caso de corriente directa, se tiene que establecer una dependencia con la frecuencia y las dimensiones de la sección transversal, se recomienda la utilización combinada del método de la energía y el método de la impedancia compleja para casos con geometrías con dimensiones muy diferentes, como en el ejemplo mostrado en el capítulo 5. Para casos donde las dimensiones del conductor estudiado sean

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pequeñas y perfectamente acotadas como el de un cable se puede utilizar el método de la energía integrando la densidad de corriente con muy buena precisión. Si la geometría es muy grande, como en el caso de retorno por tierra, donde teóricamente el dominio es no acotado o semi-infinito, esta misma integral presenta errores asociados al mallado y a las aproximaciones hechas en las fronteras infinitas.

El efecto de proximidad es una consecuencia de la inducción electromagnética, cuando un conductor tiene una corriente alterna, induce un campo eléctrico variable en los conductores circunvecinos, este fenómeno influye en la distribución de la corriente en el retorno por tierra y en el conductor aéreo del caso monofásico mostrado.

Las pérdidas debidas al efecto piel son directamente proporcionales a la frecuencia, por lo tanto a mayor frecuencia mayor la pérdida. También, con el aumento de la frecuencia se reduce el área de conducción [12].

Al realizar simulaciones con el MEF, es conveniente utilizar elementos de mallado en las cercanías la frontera de los conductores, con una dimensión 5 veces menor que la profundidad de penetración de la frecuencia estudiada.