Pour représenter ce type de structures, jusqu'à présent avec Code_Aster nous utilisions des éléments de plaque à facettes planes qui provoquaient des courbures et spires parasites trop contraignantes pour le type de structure [R3.07.02]. Pour résoudre des problèmes thermomécaniques chaînés, il faut d'abord utiliser les éléments finis de la coque thermique à 7 et 9 nœuds, décrits dans [R3.11.01].
Géométrie de la coque
Description géométrique de la surface moyenne
La base locale tk servira à définir le référentiel intrinsèque d'un élément de coque en choisissant pour point P le premier sommet de l'élément et pour vecteur a1 un vecteur qui coïncide avec la projection du premier côté sur le plan tangent au premier sommet. .
Description de la géométrie de la coque
Ce sont aussi les composantes de la matrice de transition de Tk à ej puisque la matrice de transition est orthogonale. Donc, si Tk=Tkjej on a aussi ek= TkjTj. Nous définissons le tenseur métrique G associé à Q par ses composantes dérivées des produits scalaires des vecteurs de base orthonormés locaux.
Remarque
Théorie des plaques et des coques
Cinématique
- Champ de déplacement
- Expression des déformations tridimensionnelles
Les composantes kl du tenseur peuvent également être exprimées en fonction des composantes dans le référentiel global ∂ Up. Dans la littérature (voir par exemple [bib3]) la modélisation des coques par l'approche basée sur les composantes uk curvilignes du déplacement révèle explicitement les grandeurs de courbure au niveau de l'expression du tenseur de déformation [bib5] .
Loi de comportement
Nous ne décrivons pas l'évolution de l'épaisseur ni celle de la déformation transversale 33, qui peut cependant être calculée à l'aide de l'hypothèse précédente de contraintes planes. De plus, aucune restriction n'est imposée sur le type de comportement dans les contraintes de plan qui peuvent être représentées.
Travail de déformation
Énergie interne élastique de coque
Expression des efforts résultants
Travail des forces et couples extérieurs
Fv. eidz Fs.ei où ei sont les vecteurs de la base cartésienne globale. c1, c2, c3 : paires de surfaces agissant autour des axes du référentiel global. 2 Fs. ei où ei sont les vecteurs de la base cartésienne globale.. et où sont présents sur le contour de la coque. 1,2,3 : couples linéaires agissant autour des axes du référentiel global. zFc. eidz où ei sont les vecteurs de la base cartésienne globale.
On note également et les distributions linéaires de force et de moment appliquées au contour de l'élément fini.
Travail des forces d’inertie
Principe du travail virtuel
Introduction
Des risques de blocage ou de fermeture ou de déchirure de la membrane apparaissent lorsque l'épaisseur de la coque devient faible par rapport à son rayon de courbure et que les fonctions d'interpolation sont trop faibles. Pour certains types de conditions aux limites (embedding) avec l'élément Sérendip, la fermeture persiste malgré une intégration sélective. De plus, pour l'élément de Lagrange, ce type d'intégration conduit à des singularités dans la matrice de rigidité.
L'élément d'hétérosis Q9H à intégration sélective ne rencontre pas les problèmes mentionnés ci-dessus et semble être le plus efficace pour modéliser des coques très fines (voir p. 224 [bib8]). Il est à noter que cet élément présente un mode de déformation sans énergie associée lorsqu'il est utilisé seul. Pour les éléments triangulaires, l'élément Heterosis T7H est indispensable pour les mêmes raisons, mais s'est révélé nettement moins efficace (voir paragraphe 5 pour validation).
Discrétisation des termes géométriques
Discrétisation du champ de déplacement
Élément Hétérosis Q9H
Élément triangle T7H
Remarque
Discrétisation du champ de déformation
On appelle partie flexion de la déformation la projection sur la partie membrane-flexion du champ de déformation local du gradient symétrique des rotations dans le référentiel global. Nous appelons déformation transversale la projection sur la partie cisaillement du champ de déformation local du gradient symétrique du déplacement global.
Matrice de rigidité
Décomposition des matrices élémentaires
Assemblage des matrices élémentaires
- Degrés de liberté
- Rotations fictives
Matrice de masse
Discrétisation du déplacement pour la matrice de masse
Les degrés de liberté sont les mêmes et on retrouve le traitement spécifique pour les rotations perpendiculaires à la surface de la coque. Bien que la matrice de masse cohérente soit construite dans le repère global, elle reste singulière par rapport à la rotation de la normale en chaque nœud. Nous ne traitons que le cas où les propriétés thermoélastiques E, , dépendent uniquement de la température moyenne T dans l'épaisseur.
Elle peut être beaucoup plus riche et contenir un nombre quelconque de points de discrétisation dans l'épaisseur de la coque. La valeur CTOR correspond à un coefficient qui peut être introduit par l'utilisateur pour gérer la rigidité et la masse après une rotation normale à la surface de la coque. Ce sont des éléments dont les déformations et contraintes dans le plan de l'élément évoluent linéairement avec l'épaisseur de la coque.
Dans ce cas, la flèche u 3 donne l'interprétation du déplacement transversal moyen dans l'épaisseur de la coque et non du déplacement de la surface moyenne de la coque.
Matrice de masse élémentaire
Assemblage des matrices de masse élémentaires
La composition des matrices de masse suit la même logique que celle des matrices de rigidité. Il faut donc noter que pour ce faire, il a fallu ramener la contribution des rotations initialement exprimées dans le repère global de l'élément dans le repère local de l'élément en changeant de référence. Pour les calculs modaux impliquant à la fois le calcul de la matrice de rigidité et celui de la matrice de masse, il faut prendre une masse au degré de rotation perpendiculaire à la surface de la coque à la valeur de C fois le plus petit terme diagonal de la masse. matrice pour les termes de rotation dans le cadre local, où C est compris entre 10–6 et 10–3.
Nous choisissons de confondre les valeurs de ce coefficient avec celles de COEF_RIGI_DRZ pour l'opération équivalente sur la matrice de rigidité. Ceci permet de supprimer lors d'une analyse modale les modes qui peuvent survenir dans le degré supplémentaire de liberté de rotation autour de la normale à la surface de la coque.
Intégration numérique pour l’élasticité
Les fonctions de forme choisies pour faire cette extrapolation sont les fonctions de forme bilinéaires classiques du quadrilatère à 4 nœuds pour Q9H et linéaires du triangle à 3 nœuds pour T7H à la valeur 1 aux points d'intégration réduits. Pour plus de détails sur le principe d'intégration réduite ou sélective, on peut se référer à [bib6]. Formules d'intégration numérique réduite sur le triangle T7H (Hammer) Pour les éléments du quadrilatère, une intégration gaussienne 2×2 est utilisée.
Le principe d'intégration surfacique reste le même qu'en élasticité, mais l'épaisseur d'origine est divisée en N couches d'épaisseurs identiques. Les points d'intégration sont situés dans la couche supérieure de peau, au milieu de la couche et dans la couche inférieure de peau. Nous recommandons d'utiliser 3 à 5 couches d'épaisseur pour un nombre de points d'intégration d'une valeur respectivement de 7, 9 et 11.
Pour chaque couche, on calcule l'état des contraintes et toutes les variables internes, au milieu de la couche et dans les couches supérieure et inférieure, à partir du comportement plastique local et du champ de déformation local. Ce calcul est précis car non extrapolé aux couches inférieure et inférieure. peau de couche supérieure, où nous savons que les contraintes sont susceptibles d'être maximales.
Discrétisation des travaux élémentaires pour les chargements
- Discrétisation élémentaire du travail des forces et couples extérieurs s’exerçant sur la
- Charges données dans le repère global
- Charges données dans le repère local
- Discrétisation élémentaire du travail des forces et couples extérieurs s’exerçant sur le
- Discrétisation du terme de pesanteur
- Discrétisation du terme de pression
- Discrétisation des termes d’inertie centrifuge
- Prise en compte des chargements de dilatation thermique
- Assemblage
Il a déjà été mentionné au [§2.2.2] que la valeur du coefficient de correction en cisaillement transverse pour les éléments de plaque et de coque a été obtenue en identifiant les énergies élastiques complémentaires après résolution de l'équilibre 3D. Dans le cas où l'on se place dans la théorie de Love-Kirchhoff pour une valeur de ce coefficient de 106h/R (h est l'épaisseur de la coque et R son rayon de courbure moyen), les termes de cisaillement transverse deviennent négligeables et l'approche est plus sévère. A l'expression pour le champ d'accélération de la section [§4.6] on ajoute l'expression correspondant aux forces d'accélération centrifuges si le repère global O , ek est en rotation uniforme par rapport à un repère galiléen qui a la même origine O que le référence mondiale.
Ces contraintes thermiques, soustraites aux contraintes mécaniques habituelles, sont calculées aux points d'intégration dans l'épaisseur. Wexte = UTF où U est l'ensemble des degrés de liberté de la structure discrétisée et F provient de l'ensemble des vecteurs forces élémentaires. Nous utilisons ensuite une matrice de transition du référentiel utilisateur vers le référentiel local de l'élément pour exprimer ces efforts dans le référentiel local de l'élément et dériver le vecteur de force élémentaire local correspondant.
Pour juger de l'importance de la formulation à coque épaisse, les exemples d'application suivants traitent à la fois de la statique linéaire et du calcul des modes propres.
Cas test en statique linéaire
Cas test statique n° 1
Trois nouveaux cas de tests liés aux deux éléments finis décrits dans les parties précédentes ont été intégrés dans Code_Aster. Ils enrichissent les métriques des éléments de plaque déjà présents dans l'environnement Code_Aster. Les trois nouveaux cas-tests, deux en statique plus un en dynamique, sont des exemples classiques de validation tirés de [bib3].
Pour plus d’informations sur ces benchmarks, veuillez vous référer à la documentation de validation indiquée dans la référence.
Cas test statique n° 2
Cas test en dynamique
Description
Cas-test
Description
Utilisation et développements introduits
Calcul en élasticité linéaire
Calcul en plasticité
La cinématique choisie est une coque de type Hencky-Mindlin-Naghdi, qui permet la prise en compte de l'énergie de cisaillement transverse. La correction de la variable k du coefficient de cisaillement transverse offre la souplesse d'utilisation, permettant de passer de la théorie HENCKY-MINDLIN-NAGHDI pour k = 1 à REISSNER pour k = 5/6 et à LOVE_KIRCHHOFF (pour les structures très minces) si l'on choisissez une valeur de k égale à 106 × h/L, où h est l'épaisseur et L est la distance caractéristique (rayon de courbure moyen, zone d'application de la charge, etc.). Comme dans ce dernier cas on utilise la méthode de pénalisation pour rendre petits les termes de cisaillement transverse, on peut, en prenant une valeur de k trop grande, rendre le système numérique singulier.
Lorsque la déformation transversale est non nulle, les éléments de coque ne satisfont pas aux conditions d'équilibre 3D et aux conditions aux limites nulles des contraintes de cisaillement transversales sur les surfaces supérieure et inférieure de la coque, compatibles avec une déformation transversale constante dans l'épaisseur de la coque. Pour les structures minces, afin d'éviter les phénomènes de blocage, une sous-intégration réduite est utilisée pour la membrane et les parties en cisaillement de la matrice de rigidité. Considérer rigoureusement un cisaillement transversal constant non nul sur l'épaisseur et déterminer la correction de rigidité en cisaillement associée par rapport à un modèle satisfaisant les conditions d'équilibre et les conditions aux limites n'est en effet pas possible et nécessite donc l'utilisation de ces éléments, lorsque le le cisaillement transversal n'est pas nul, sont strictement impossibles en plasticité.
Au sens strict, pour les comportements non linéaires, ces éléments doivent donc être utilisés dans le cadre de la théorie de Love-Kirchhoff.
Extension aux matériaux anisotropes non programmée
Fonctions de forme pour l’élément Q9H
Fonctions de forme pour l’élément T7H
