Nom :
Groupe : Date :
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Manuel de l’élève, volume 2, p. 32
ADDITION ET SOUSTRACTION DE VECTEURS
Il est possible d’additionner et de soustraire des vecteurs entre eux. Il en résulte un vecteur.
Soustraire un vecteur revient à additionner le vecteur opposé.
La relation de Chasles
La relation de Chasles stipule que si A, B et C sont trois points du plan, alors :
AB
BVBCBVACBV
Constructions géométriques
Lorsque des vecteurs sont représentés dans un plan, il est possible de déterminer géométriquement la somme de ces vecteurs en les plaçant bout à bout. Le vecteur résultant de la somme est alors défini par l’origine du premier vecteur et par l’extrémité du dernier vecteur.
Ex. :
1) On veut représenter u√v√. On reproduit le vecteurv de façon à ce que son origine coïncide avec l’extrémité du vecteur u.
Le vecteur somme est défini par l’origine du vecteur u et l’extrémité du vecteur v.
2) On veut représenter s√t√. On représente le vecteur opposé au vecteur tde façon à ce que son origine coïncide avec l’extrémité du vecteur s.
Le vecteur somme est défini par l’origine du vecteur s et l’extrémité du vecteur–t.
u√ v√
u√ v√
v√ u√
v√
v√ u√ v√
s√
tv s√ tv
-tv
s√ tv -tv
s√ tv
Ex. :
A
B
C 5375G_TS5_Vol2_Savoirs_EP2.qx:Layout 1 19/05/10 13:48 Page 6
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5.2
Manuel de l’élève, volume 2, p. 33
Certaines relations métriques et trigonométriques dans les triangles permettent de déterminer la norme et l’orientation d’un vecteur somme.
Ex. : Dans l’illustration ci-contre, u√6 et v√4.
• Par la loi des cosinus :
u√v√ , soit8,72.
• Par la loi des sinus :
78° arc sin4 sin 120°, soit54,59°.
8,72
62 42 2 6 4 cos 120°
Ex. : Si u√(2, 3) etv√(–1, 5), alors :
• u√v√(2, 3) (–1, 5) (2 –1, 3 5) (1, 8)
• u√v√(2, 3) (–1, 5) (2 –1, 3 5) (3, –2)
Ex. : Décomposition du vecteur udont la norme est 5 :
• v√et w√sont les projections de u√sur les axes.
• u√v√w√
• v√u√cos 53,13° 5 cos 53,13°, soit 3.
• w√u√sin 53,13° 5 sin 53,13°, soit 4.
On en déduit queu√ (3, 4).
Manipulations algébriques
Pouru√(a, b) et v√(c, d), les relations suivantes permettent de calculer les composantes du vecteur résultant de la somme ou de la différence de ces deux vecteurs.
u√v√(a, b) (c, d) (ac, bd) u√v√(a, b) (c, d) (ac, bd)
Décomposition de vecteurs dans le plan cartésien
Un vecteur upeut être décomposé en une somme d’un vecteur horizontal et d’un vecteur vertical. Graphiquement, le vecteur horizontal et le vecteur vertical correspondent aux projections orthogonales du vecteur usur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées.
78°
120°
v√
u√ v√ u√
y
x 53,13°
v√ u√ wV
0
y
x u√
Décomposition du vecteur u
0 Vecteur vertical
Vecteur horizontal 5375G_TS5_Vol2_Savoirs_EP2.qx:Layout 1 09/08/10 08:34 Page 7
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Manuel de l’élève, volume 2, p. 34
MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN SCALAIRE
Additionner un vecteur à lui-même un certain nombre de fois revient à multiplier ce vecteur par un scalaire.
u√u√u√ … u√ku√
kfois On convient que 1u√u√, –1u√–u√, 0u√0vet k0v0v.
Constructions géométriques
Il est possible de représenter géométriquement la multiplication d’un vecteur par un scalaire en additionnant ce vecteur à lui-même autant de fois qu’il est nécessaire.
Ex. : 1) On veut représenter 3u√: 2) On veut représenter –4s√:
u√
u√ u√
u√
3u√
-s√ -s√ -s√ -s√
s√
-4s√
Manipulations algébriques
Multiplier un vecteur par un scalaire revient à multiplier chacune des composantes de ce vecteur par ce scalaire.
Si u√(a, b), alors ku√k(a, b) (ka, kb).
PROPRIÉTÉS DES OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS
L’addition de vecteurs possède les propriétés suivantes.
Ex. : Si u√(2, –4), alors 4u√(4 2, 4 –4) (8, –16).
Propriété Énoncé
Commutativité u√v√v√u√
Associativité u√v√w√u√v√w√
Propriété Énoncé
Associativité (k1k2)u√k1
k2u√Distributivité sur l’addition de vecteurs ku√v√ku√kv√ Distributivité sur l’addition de scalaires (k1k2)u√k1u√k2u√
La multiplication d’un vecteur par un scalaire possède les propriétés suivantes.
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