© 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 5■ Ressources supplémentaires • Savoirs TS • Vol. 2
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5.3
Manuel de l’élève, volume 2, p. 43
PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS
Le produit scalaireest une opération qui fait intervenir deux vecteurs et dont le résultat est un scalaire. Le produit scalaire des vecteurs u et vse note u√•v√et se lit «u√produit scalaire v√».
Constructions géométriques
Le nombre qui correspond au produit scalaire de deux vecteurs uet vest donné par :
u√•v√ u√v√cos, où correspond à la mesure de l’angle formé par u√ et v√.
Manipulations algébriques
Le nombre qui correspond au produit scalaire d’un vecteur udont les composantes sont (a, b) et d’un vecteur vdont les composantes sont (c, d) est donné par : u√• v√acbd Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul.
Ex. : 1) u√ 5 et v√6,5
u√ •v√u√ v√cos 30°
5 6,5cos 30°
28,15
2) u√2 et v√5
u√ •v√ u√ v√cos 140°
2 5cos 140°
–7,66
u√ 140° v√
u√ v√
30°
Ex. : 1) u√(5, 1) et v√(–2, 7) 2) u√ •v√(–1, 2) • (4, 2)
u√ •v√5 –2 1 7 –1 4 2 2
–3 0
Puisque u√ •v√0, alors u√et v√sont orthogonaux.
PROPRIÉTÉS DU PRODUIT SCALAIRE
Le produit scalaire de deux vecteurs possède les propriétés suivantes.
0 2 4
2 4
-2 -4
y
x u√ (-1, 2) v√ (4, 2)
u√
v√
Propriété Énoncé
Commutativité u√•v√v√•u√
Associativité des scalaires k1u√•k2v√k1k2u√•v√
Distributivité sur une somme vectorielle u√• v√w√u√• v√ u√• w√ 5375G_TS5_Vol2_Savoirs_EP2.qx:Layout 1 09/08/10 08:37 Page 9
