Généralités
Types de non linéarités
- Comportements non linéaires
- Grandes transformations
- Contact unilatéral et frottement
- Conditions limites et chargements
De plus, l'absence de la contribution géométrique dans la matrice tangente peut parfois rendre la convergence difficile (voir [R5.03.21 pour plus de détails). Elle est incrémentalement objective sans restriction sur le niveau de transformations utilisées et permet de traiter des cas de comportement anisotrope (voir [R5.03.24]).
Position du problème quasi-statique non linéaire
Problème général
En plus de ces variables, pour les relations de comportement incrémentales, nous avons besoin de connaître en ti−1 le domaine de contraintes i−1 et le domaine de variables internes i−1 (voir [R5.03.02] pour un exemple).
Conditions limites de Dirichlet
La matrice F' x dans les bases choisies pour les espaces vectoriels respectifs est appelée matrice de Jacobi F au point x. Pour cette raison, à la place de la matrice tangente, on peut utiliser d'autres matrices : matrice élastique, matrice tangente obtenue précédemment, matrice tangente symétrique.
Adaptation de la méthode de Newton au problème posé
La matrice Kin est la matrice de rigidité tangente en uin, et le vecteur Liint,n représente les efforts internes sur. La matrice Kin est la matrice de l'application linéaire tangente de la fonction Rin, elle est donc valide.
Phase de prédiction d’Euler
- Linéarisation
- Matrice tangente de prédiction
- Variantes de la prédiction
- Vecteur second membre des variables de commande
- Vecteur second membre du chargement mécanique
- Système linéaire
A la place de la matrice tangente à la vitesse Ki−1, on peut utiliser la matrice élastique de Kélas, soit l'option PREDICTION='ELASTIQUE' (option RIGI_MECA). Au lieu de la matrice tangente à la vitesse Ki−1, on peut utiliser la matrice sécante Xécante, soit l'option PREDICTION='SECANTE' (option RIGI_MECA_ELAS. Pour l'instant, on ne prend pas en compte la dépendance explicite des contraintes vis-à-vis de temps, donc le premier terme 38 vaut zéro.
L'incrément de chargement des variables de contrôle Livarc, issu de la dérivée des efforts internes par rapport aux variables de contrôle, est une estimation de l'effet d'une variation des variables de contrôle.
Phase de correction de Newton
Linéarisation
Système linéaire
Différence des matrices en prédiction et correction
En revanche, la matrice issue de FULL_MECA est issue d'une linéarisation des équations d'équilibre par rapport au déplacement autour de uin, c'est-à-dire qu'on peut interpréter les différences entre RIGI_MECA_TANG et FULL_MECA en d'autres termes. On peut donc montrer que la matrice issue de RIGI_MECA_TANG correspond à l'opérateur tangent du problème continu en temps, aussi appelé problème de vitesse (et relie la vitesse de contrainte à la vitesse de déformation), tandis que la matrice issue de FULL_MECA correspond à la tangente opérateur du problème discrétisé en temps.
Calculer les contraintes in et les variables internes in à partir de l'état initial i−1,i−1 et l'incrément de déformation uin−1 provoqué par l'incrément de déplacement depuis le début du processus itératif ( y compris la phase de prédiction).
Critères de convergence
Plus précisément, la force nodale de référence Frefj est compilée à partir des données d'une amplitude de référence Aref qui peut être. On définit ensuite pour chaque nœud de chaque élément la force au nœud R ie (le but est de donner une idée de l'importance d'une composante en un point gaussien de la contrainte sur la force au nœud). Pour les résidus RESI_GLOB_RELA et RESI_GLOB_MAXI, toutes les composantes du champ de déplacement sont utilisées dans l'évaluation de la norme ∥.∥∞, sauf dans deux cas où un traitement spécifique est fait au niveau de la sélection des composantes.
Pour les charges de type AFFE_CHAR_CINE, le degré de liberté pertinent est ignoré dans l'évaluation de la norme résiduelle, car la procédure d'élimination des inconnues ne permet pas d'accéder aux réactions d'appui.
Utilisation d’une matrice évolutive tangente-sécante
Le choix que nous présentons consiste à construire la matrice tangente comme une combinaison linéaire entre la matrice tangente cohérente et la matrice sécante, toutes deux déterminées par des lois de comportement. Si nous disposons de cette information, nous pouvons estimer qu'à partir d'un certain seuil (par exemple S0=3 alternances) l'algorithme de Newton ne pourra plus converger pour l'incrément de temps courant et qu'il faudra changer la matrice tangente. Pour modifier la matrice, on s'appuie directement sur la manière dont est construite la matrice tangente cohérente dans ENDO_ISOT_BETON (voir [R7.01.04]).
L'objectif de l'utilisation de P est de permettre de revenir à la matrice tangente cohérente lorsqu'un point de Gauss reste défectueux sur plusieurs itérations, puisque la matrice tangente cohérente fait convergence quadratique, à condition d'être proche de la solution.
Méthode de Newton-Krylov
Principe général
Le choix sur l'évolution de la valeur de n1 est essentiel pour la performance de l'algorithme. On choisit une augmentation de n1 de G=1.0, n1n1G pour chaque nouvelle alternance entre un état élastique et un état endommageant, puis une diminution de n1 de P. du taux de diminution P par rapport au taux d'augmentation G, est crucial pour le comportement de l'algorithme évolutif.
Toute l'idée consiste à augmenter n1 quand on est loin de la solution pour avoir un opérateur plus proche de la sécante que de la tangente cohérente, puis quand on est "proche" de la solution pour passer à la matrice tangente cohérente (qui est le meilleur au sens de Newton). Le rapport P/G (mot-clé TAUX_RETOUR - par défaut 0,05) représente le troisième paramètre de l'algorithme, en plus du mot-clé A. AMPLITUDE) et S0 (mot-clé PRAG).
Mise en œuvre
Lorsque les conditions aux limites sont traitées par élimination, elles sont prises en compte en interne au moment de la résolution du système linéaire, et donc les équations déjà décrites ne sont pas modifiées. Ainsi, lorsque la structure se déforme avec l’évolution de la charge, la charge, exprimée en référence absolue, se transforme. Ce sont des conditions aux limites qui dépendent de la géométrie car elles sont non linéaires.
Les charges qui ne dépendent pas de la géométrie de la structure sont appelées charges mortes ou fixes (par exemple la gravité).
Chargements suiveurs
Dans les paragraphes suivants, nous décrirons toutes les charges possibles sur l'opérateur et leur classification. Les charges de Dirichlet (conditions aux limites) s'appliquent aux inconnues nodales au sens le plus large : il peut s'agir d'un déplacement, d'une température ou d'une pression (pour le THM). Ce sont des conditions en efforts, en général, définies dans des mailles (sauf chargement FORCE_NODALE).
Une distinction doit encore être faite entre les charges suiveuses et non suiveuses.
Conditions limites dualisées – Cas linéaire
Phase de prédiction d’Euler
Tout d'abord, on mentionne que la linéarisation des réactions du support BT.i est immédiate, car on prend en compte les conditions aux limites linéaires et donc la matrice B est constante (elle ne dépend ni des déplacements ni du temps). BT.i=BT. i0BT.i−1 (81) Supposons que la charge mécanique ne dépend pas du temps (les charges ultérieures sont exclues) et que les conditions aux limites de Dirichlet sont également linéaires, c'est-à-dire . Le vecteur des multiplicateurs de Lagrange i peut donc être trouvé lors de la phase de prédiction en modifiant l'équation de condition aux limites avec l'expression 97 .
Cela consiste, pour des conditions aux limites de type blocage, à forcer B.u=ud, mais B.u−udidi=ud. Dans ce cas, le système à résoudre est en phase de prévision d’une nouvelle augmentation de charge vers l’Est.
Phase de correction de Newton
Un cas particulier concerne l'utilisation d'une excitation de type TYPE_CHARGE= 'DIDI' qui signifie différentielle de Dirichlet, c'est à dire par rapport à l'état initial.
Adaptation des critères de convergence
Conditions limites dualisées – Cas non-linéaire
Problème d'équilibre sous conditions d'égalités non linéaires
Le problème (107) et le problème (109) précédents sont tels que l'on cherche un minimum dans la gamme des solutions admissibles V ⊂ Rn. 3 Si C (.) est non différentiable, le formalisme général ne change pas sauf pour la définition correcte du jacobien généralisé de la fonction non différentiable (voir par exemple [R5.03.52]).
Linéarisation du problème
Comme dans le cas standard, un quasi-Newton peut être réalisé en négligeant la contribution. Un problème qui devient non linéaire en termes de conditions aux limites doit être commuté avec une matrice mise à jour à toutes les itérations de Newton (REAC_ITER=1).
Adaptation du critère de convergence
L'introduction de la recherche linéaire dans l'opérateur STAT_NON_LINE résulte d'un constat : la méthode de Newton à matrice cohérente ne converge pas dans tous les cas, surtout lorsqu'on part trop loin de la solution. Elle consiste à considérer uin, in, non plus comme une augmentation de déplacements et de multiplicateurs de Lagrange, mais comme une direction de recherche dans laquelle on cherchera à minimiser une fonctionnelle (l'énergie de la structure).
Minimisation d'une fonctionnelle
Méthode de minimisation
Il est cependant possible d’améliorer le choix de la direction de descente en utilisant cette méthode de gradient dans une nouvelle métrique. C'est ce qui va permettre de retrouver les équations classiques de la méthode de Newton. Utiliser le sens inverse du gradient de J permet alors d'obtenir la solution en une itération.
Ainsi, l’utilisation de la méthode du gradient dans la nouvelle métrique permet une convergence immédiate.
Application à la minimisation de l'énergie
Dans un cas plus compliqué (fonctionnel convexe mais différent d'une ellipse) la convergence n'est pas instantanée, mais le changement de variables permet de réduire considérablement le nombre d'itérations nécessaires. On retrouve les équations de la méthode de Newton : la matrice K est la Hessienne de la fonctionnelle J. matrice de la dérivée seconde) et le deuxième membre est la différence entre la charge et les efforts internes, aussi appelé résidu d'équilibre. La méthode de Newton peut ainsi être interprétée comme le résultat d'une minimisation de l'énergie de la structure via une méthode de gradient appliquée après un changement de métrique.
Détermination du pas d'avancement
Sur le nombre maximum d'itérations de recherche linéaire spécifié par l'utilisateur sous le mot-clé ITER_LINE_MAXI pour le mot-clé facteur NEWTON (la valeur par défaut 0 inhibe la recherche linéaire, et vaut alors 1). La recherche linéaire est une sorte d'« assurance » pour se protéger contre de graves écarts par rapport à la méthode de Newton. Lorsque la direction de recherche est « mauvaise » (par exemple, si la matrice tangente est trop flexible), l'algorithme de recherche linéaire aboutit à une valeur faible de qui évite de trop s'éloigner de la solution.
Avec la méthode sécante, il n'est pas nécessaire de faire beaucoup d'itérations (deux ou trois suffisent pour éviter les catastrophes), car chacune est assez coûteuse (il faut calculer les efforts internes) et on n'a pas l'ambition de trouver le Newton vraiment optimal valeur à chaque itération.
Calcul du coefficient de recherche linéaire
Méthode sécante (METHODE=’CORDE’)
Méthode mixte (METHODE=’MIXTE’)
Cas particulier : la méthode de Newton-Krylov
