Loi de Rankine

Loi de Rankine

Résumé :

Ce document présente la méthode de résolution de la loi de Rankine.

Manuel de référence Fascicule r7.01: Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux

Table des Matières

1 Introduction... 4

2 Intégration locale de la loi de Rankine...5

2.1 Cas où un seul mécanisme est actif...5

2.2 Cas où deux mécanismes sont actifs...6

2.3 Cas de la projection au sommet du cône...7

2.4 Variables internes du modèle... 8

3 Expression de la matrice tangente dans la base principale...9

3.1 Cas où un seul mécanisme est actif...9

3.2 Cas où deux mécanismes sont actifs...9

3.3 Cas de la projection au sommet du cône...10

4 Expression de la matrice tangente dans la base globale...11

4.1 Remarque liminaire... 11

4.2 Application au cas de Rankine...11

4.3 Schéma de résolution de la loi de comportement...12

5 Annexe : q uelques résultats sur les tenseurs symétriques isotropes d'ordre deux...13

5.1 Définition d'un tenseur symétrique isotrope...13

5.2 Dérivée d'une fonction tensorielle isotrope d'ordre deux...13

5.2.1 Cas bidimensionnel de type contraintes planes (C_PLAN)...13

5.2.2 Cas bidimensionnel de type déformations planes (D_PLAN) et axisymétrique (AXIS)...14

5.2.3 Cas tridimensionnel... 15

6 Annexe : convention sur les notations tensorielles...18

7 Bibliographie... 20

Notations

₁≥₂≥₃ Contraintes principales (dans cet ordre)

E

Module d'Young



Coefficient de Poisson

K = E 3  1− 2 

Module de compressibilité élastique

G= E 2  1 

Module de cisaillement élastique

σ

_t Limite de traction du matériau

p= I

₁

3 = trace

⁽

σ

⁾

3

Contrainte moyenne

p0

Convention de signe pour la contrainte en

compression

σ

^e Tenseur de prédiction élastique des contraintes

ε=ε

^e

+ε

^p Tenseurs des déformations totale, élastique et

incrément de déformation plastique

ε

_v^p

=trace (ε

^p

)

Incrément de la déformation plastique volumique

~ ε

^p

=ε

^p

− ε

_v^p

3 1

Incrément de la déformation plastique déviatorique

ε

^p

=‖~ ε

^p

‖= √ ^{3 2 ~ ε}

^p

^{: ~ ε}

^p Norme de l'incrément de déformation plastique déviatorique, ou incrément de déformation équivalente

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La loi de Rankine est formulée en termes de contraintes principales. Cette formulation suppose l'isotropie du matériau (voir [1] et [2] ) En effet, cette condition est nécessaire pour garantir que la méthode de retour radial préserve les directions principales. Son intérêt réside dans le fait qu’elle simplifie l’écriture des équations et autorise de ce fait des méthodes de résolution très performantes (car quasi-analytiques).

Le comportement élastique est purement linéaire.

La surface de charge est caractérisée par trois plans dans l'espace des contraintes principales

σ

₁

≥σ

₂

≥σ

₃. Chacun de ces plans est caractérisé par une équation du type :

R

_i=1,2,3

(σ

⁺

)=σ

_i⁺

−σ

_t

= 0

⁽¹⁾

Où

σ

_t est l'unique donnée du matériau et caractérise la limite en traction du matériau. La loi est associée.

2 Intégration locale de la loi de Rankine

Le taux de déformation plastique est donné à l'aide de la formule de Koiter :

d ε

^p

= ∑

j=1 m

d μ

_j

∂ R

_j

∂ σ = ∑

j=1 m

d μ

_j

n

_j (2)

Où

d μ

_i

≥ 0

sont les multiplicateurs plastiques associés aux mécanismes

i

, et :

∂ R

_i

∂σ

_j

=n

_ij

=δ

_ij (3)

Et où

m

caractérise le nombre de mécanismes actifs, égal à un, deux ou trois suivant les situations suivantes :

• la contrainte finale se situe à l'intérieur de la surface de charge, le point est régulier et

m=1

;

• la contrainte finale se situe sur une arête du cône, le point est singulier et

m=2

;

• la contrainte finale ne se situe ni à l'intérieur de la surface de charge ni sur une arête. Elle est alors projetée au sommet du cône, le point est singulier et m=3 ;

La contrainte finale σ⁺ est calculée à partir d'une prédiction élastique notée

σ

^e et d'une correction

Δ σ

_C

=C .Δ ε

^p de sorte que :

σ

⁺

=σ

^e

−Δ σ

_C

=σ

^e

− ∑

j=1 m

Δ μ

_j

C . n

_j (4)

Les multiplicateurs plastiques

d μ

_j sont calculés en injectant l'équation (4) dans l'équation (1), ce qui donne :

∑

j=1 m

d μ

_j

( ^{C . n}

j

)

_i

^=σ

i

e

−σ

_t (5)

Dans ce qui suit, on détaille les expressions correspondant aux différentes situations mentionnées plus haut.

Les déformations plastiques volumique et équivalente s’écrivent :

{ ^{~ ε ε}

^vpp

^{=ε =‖~}

¹

^{ε +ε}

^p

^‖=

²

^+ε _√

³

² 3 ~ ε

^p

: ~ ε

^{p (6)}

Avec

~ ε

^p

=ε

^p

− ε

_v^p

3 1

.

2.1 Cas où un seul mécanisme est actif

Le mécanisme

R

₁ est actif. D’où :

d μ ( ^{K + 4} 3 G ) ^{= R}

¹

^(σ

^e

^)=σ

^1e

^−σ

^{t (7)}

Avec

σ

_t la limite de traction du matériau. D'où :

d μ= ⟨ R

₁

( σ

^e

)⟩

₊

K + 4

3 G

⁽⁸⁾

Où l’opérateur ⟨ ⟩₊ désigne la partie positive de la grandeur associée.

La déformation plastique s’écrit :

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δ ε

^p

=δμ

¹

∂σ =δμ ( ⁰ 0 )

⁽⁹⁾

Et la correction

Δ σ

_C s’écrit :

Δ σ

_C

=C . δ ε

^p

=δμ C . ( ^{1 0} 0 ) ^=δμ ( ^{K K K − − + 4 3 2 3 2 3 G G G} )

⁽¹⁰⁾

Les déformations plastiques volumique et équivalente s’écrivent :

{ ^{δε δ~ ε}

^vpp

^{=δμ =} _√ ^{2 3 . 1 9 ( −δμ −δμ 2 δμ ) . ( −δμ −δμ 2 δμ ) = 2 3 δμ}

⁽¹¹⁾

2.2 Cas où deux mécanismes sont actifs

Les mécanismes R₁et

R

₂ sont actifs. D’où :

{ ^{d d μ μ}

¹¹

^{( ( ⏟ K K + −}

^A

^{4 3 2 3 G G ) ) +d + d μ μ}

²²

^{( ⏟ ( K K − +}

^B

^{4 3 2 3 G G ) ) = = R R}

¹²

^{(σ (σ}

^ee

^{)=σ )=σ}

^1e2e

^{−σ −σ}

^{tt (12)}

En posant

det

le déterminant du système, on a :

det= A

²

−B

²

=4 G ( ^{K + G} 3 ) ^{> 0}

⁽¹³⁾

Le déterminant étant toujours strictement nul, il existe toujours une solution qui s’écrit :

{ ^{d d μ μ}

¹²

^{= = ⟨ ⟨ AR AR}

¹²

^{(σ (σ}

^ee

^{)− )− det} det ^{BR BR}

²¹

^{(σ (σ}

^ee

^{)⟩ )⟩}

⁺⁺

(14)

La déformation plastique s’écrit :

δ ε

^P

=δ μ

₁

∂ R

₁

∂σ + δμ

₂

∂ R

₂

∂ σ =δ μ

₁

( ^{1 0} 0 ) ^{+ δμ}

²

( ^{0 1} 0 )

⁽¹⁵⁾

Et la correction

Δ σ

_C s’écrit :

Δ σ

_C

=C . δ ε

^P

=δ μ

₁

C . ( ^{1 0} 0 ) ^{+ δμ}

²

^{C .} ( ^{0 1} 0 ) ^{=δ μ}

¹

( ^{K K K − − + 4 3 3} 3 ^{2 2 G G} G ) ^{+ δμ}

²

( ^{K K K − − + 4 3 2 3 2} 3 ^{G G} G )

⁽¹⁶⁾

Les déformations plastiques volumique et équivalente s’écrivent :

{ ^{δε δ~ ε}

^vPp

^{=δ μ =} _√ ^{2 3}

¹

^{+δ μ . 1 9 ( −δμ 2 2}

²

^{δμ δμ}

¹²¹

^{−δμ −δμ −δμ}

²¹²

^{) . ( −δμ 2 2 δμ δμ}

¹²¹

^{−δ μ −δ μ −δ μ}

²¹²

^{) = 2 3 √ δμ}

¹²

^+δμ

²²

^{−δ μ}

¹

^δμ

^{2 (17)}

2.3 Cas de la projection au sommet du cône

Dans ce cas, on a directement :

{ σ ^p

⁺⁺

⁼ = ^p p

^e+

⁻ 1 ^{K Δε}

^vp

^=σ

^{t (18)}

On obtient directement la déformation plastique volumique :

Δ ε

_v^p

= p

^e

−σ

_t

K

⁽¹⁹⁾

Les mécanismes

R

₁,

R

₂et

R

₃ sont actifs. D’où :

{ ^{d d d μ μ μ}

¹²³

^{A A+ A+ + ( ( ( d d d μ μ μ}

²¹¹

^{+d +d +d μ μ μ}

³³²

^{) ) ) B B B =R =R =R}

¹²³

^{(σ (σ (σ}

^eee

^{)=σ )=σ )=σ}

^1e2e3e

^{−σ −σ −σ}

^{ttt (20)}

On montre qu’après quelques manipulations algébriques, on obtient :

{ ^{d d d μ μ μ}

¹²³

^{= = = ( ( ( A+ A+ A+ B B B ) ) ) R R R 6 6 6}

¹²³

^{−B −B −B KG KG KG ( ( ( R R R}

²¹¹

^{+ + + R R R}

³³²

^{) ) )}

⁽²¹⁾

La déformation plastique équivalente s’écrit alors :

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δ~ ε

^p

= √ ^{2 3 . 1 9 ( 2 2 δμ δμ}

¹²³

^{−δ μ −δ μ}

²¹¹

^{−δμ −δμ}

³³²

^{) . ( 2 2 δμ δμ}

¹²³

^{−δ μ −δ μ}

²¹¹

^{−δμ −δμ}

³³²

⁾

δ~ ε

^p

= 2

3 √ ^{δ μ}

¹²

^{+ δ μ}

²²

^{+ δ μ}

³²

^{− δ μ}

¹

^{δ μ}

²

^{−δ μ}

¹

^{δ μ}

³

^{−δ μ}

²

^{δ μ}

³

(22)

2.4 Variables internes du modèle

Les variables internes du modèle sont au nombre de neuf :

• V1 est la déformation plastique volumique ε_v^{p ;}

• V2 est la déformation plastique équivalente (déviatorique)

~ ε

^p

=‖~ ε

^p

‖

^;

• V3 est l'indicateur de plasticité ;

• V4 à V9 sont les six composantes du tenseur des déformations plastiques

ε

^{p .}

3 Expression de la matrice tangente dans la base principale

3.1 Cas où un seul mécanisme est actif

On a :

d σ

⁺

=C . δ ε− δ σ

₁

K + 4

3 G ( ^{K K K − − + 4 3 2 3 2} 3 ^{G G} G )

⁽²³⁾

En posant

{ ^{B= A= K− K +}

⁴³²3

^G G

_{, on a :}

δσ

₁

A ( ^{A B} B ) ^{= A 1} ( ^{A B} B ) ^{( 1 0 0 ) .C . δ ε= A 1} ( ^{A B} B ) ^{( A B B ) .δ ε=} [ ^{A B B B B B A A}

²²

^{B B B A A}

²²

] ^{. δε}

⁽²⁴⁾

Soit l’expression suivante de la matrice tangente

T

(voir 57 pour la matrice d'élasticité

C

) :

T = δ σ

⁺

δε = C− [ ^{B B A B B B A A}

²²

^{B B B A A}

²²

] ⁼ [ ^{0 0 0 B A (}

²

^{A −B 0 A A − B}

²

^{) B A ( A−}

²

^{− A A 0 B B)}

²

]

⁽²⁵⁾

3.2 Cas où deux mécanismes sont actifs

On a :

d σ

⁺

=C . δ ε− _⏟ ( ^{A δ σ}

¹

^{det −B δ σ}

²

^{( A B B ) + A δ σ}

²

^{det − B δ σ}

¹

^{( B A B )} )

δ Δ σC

(26)

On obtient :

δ Δ σ

_C

=δ σ

₁

( A+ ^{B 1 0} B ) ^{+δ σ}

²

( A ^{B 0 1} +B ) ⁼ [ ^{( A B 1 0 +B ) ( A B B ) + ( A B 0 1 +B ) ( B A B )} ] ^{. δ ε}

⁽²⁷⁾

Soit :

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δ Δ σ

_C

= [ ^{[ A AB 0 + B A B 0 +}

²

^{B A+ B 0}

²

^{B ] + [ A B B +}

²

^{B A AB A +B A B B +}

²

^{B ]} ] ^{. δε}

δ Δ σ

_C

= [ ^{A B B A B B A 2 B B + B B}

²

] ^{. δ ε}

(28)

Soit l’expression suivante de la matrice tangente

T

:

T= δ σ

⁺

δε = C − [ ^{B A B B A B A+ 2 B B B B}

²

] ⁼ [ ^{0 0 0 0 0 0 A ( A+ A B 0 0 + )−2 B B}

²

] ⁼ [ ^{0 0 0 0 0 0 K 3 KG + 0 0 G 3} ]

⁽²⁹⁾

3.3 Cas de la projection au sommet du cône

On montre que l'on a trivialement

T = 0

.

4 Expression de la matrice tangente dans la base globale

Le paragraphe §3 permet de construire la matrice tangente consistante dans la base principale, notée

T

^{. Il}

convient désormais de ramener cette matrice dans la base globale (cartésienne), que l'on notera

T ̄

^.

4.1 Remarque liminaire

Il est à noter que la construction de cette matrice tangente consistante est une étape cruciale à la fois pour la robustesse et la performance de l'algorithme :

• Premièrement, il est parfaitement connu qu'une telle matrice permet un taux de convergence quadratique pour le processus de Newton ;

• Deuxièmement, cette matrice rend compte de la rotation des directions principales au cours d'un incrément. Sans elle, la formulation de la loi de Rankine en termes de contraintes principales décrite au paragraphe §1 ne serait pas complète, puisque les contraintes principales, maintenues fixes au cours de l'intégration locale de la loi (§2), ne pourraient pas tourner au niveau global de la structure.

Dans ce paragraphe, on décrit en détail la méthode permettant de construire

T 

à partir de

T

. En annexe (§5), on trouvera les éléments de théorie nécessaire à la transformation des quantités tensorielles d'une base à l'autre.

4.2 Application au cas de Rankine

La transposition des formules de l'annexe §5 à la mise en œuvre numérique mérite quelques précisions. On a tout d'abord les correspondances suivantes :

•

X =^ε

^{pred et}

x

α

=ε

_α^{pred ;}

•

Y = ^σ

^{+ et}

y

α

=σ

α + ;

• E_α= ^d_α^pred⊗ ^d_α^{pred ;}

•

( T )

_{α β}

= ∂ y

_α

∂ x

_β est la matrice tangente consistante dans la base principale calculée au paragraphe §3 ; La notation ^pred indique que l'on travaille avec des grandeurs « prédites » données en entrée par le processus de Newton, la notation ⁺ avec des grandeurs issues de la résolution locale de la loi de comportement, et la notation ^ avec la base de Voigt. On notera que les directions principales prédites

d ^

α

pred

sont figées au cours de la résolution locale, ce qui est cohérent avec l'hypothèse d'isotropie adoptée (voir les explications du paragraphe §5).

Disposant de toutes ces informations à l'issue de la résolution locale de la loi de comportement, on en déduit la matrice tangente consistante

T  =  D

exprimée dans la base de projection

 b

définie au paragraphe §6 :

• L'équation (40) dans le cas bidimensionnel en contraintes planes (C_PLAN) ;

• L'équation (44) dans le cas bidimensionnel en déformation plane (D_PLAN) ou axisymétrique (AXIS) ;

• L'équation (52) dans le cas tridimensionnel (3D) ;

La seconde information importante concerne la convention d'écriture des différents tenseurs. En effet, par souci de généralité, la notation utilisée pour les tenseurs dans tout le paragraphe §4 est la notation classique, faisant apparaître des tenseurs jusqu'à l'ordre quatre. Cette écriture est impropre à la résolution numérique, où l'on préfère utiliser des notations condensées rendues possibles par le fait que l'on travaille avec des tenseurs symétriques d'ordre deux (contraintes et déformations le sont toujours). On distingue deux formes de notations condensées correspondant à deux bases de projection (voir §6) :

• La base orthonormée

 b

des tenseurs symétriques d'ordre deux. C'est dans cette base que sont données les contraintes et les déformations à l'entrée et à la sortie de la résolution locale du comportement ;

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comportement car elle évite d'avoir à manipuler des coefficients en

√ ²

lors des opérations matricielles ;

4.3 Schéma de résolution de la loi de comportement

Entrées :

• Contraintes exprimées dans la base globale

σ ¯

^{− ;}

• Incrément de déformation exprimé dans la base globale

Δ ¯ε

; Calculs :

• On évalue les contraintes élastiques

σ ^

^e et les déformations élastiques

^ε

^e dans la base de Voigt ;

• On les transforme dans la base principale, on obtient

σ

^{e et}

ε

^{e ;}

• On intègre la loi de comportement et on obtient l'incrément de déformation plastique

Δ ε

^{p et les}

contraintes dans la base de Voigt

σ ^

^{+ ;}

• Calcul de la matrice tangente dans la base principale :

◦

( σ ^

⁺

,^ε

^e

) → ^ E

_α ^puis

T

_αβ

= ∂σ

_α

∂ ε

_β

• Transfert de la matrice tangente dans la base de Voigt :

◦

( σ ^

⁺

, ^ε

^e

, E ^

_α

, T ) → ^ T

_ij

= ∂σ

_i

∂ε

_j

• Transfert de la matrice tangente dans la base de globale :

◦

T ^ → ¯ T

5 Annexe : q uelques résultats sur les tenseurs symétriques isotropes d'ordre deux

5.1 Définition d'un tenseur symétrique isotrope

On définit par

S

³ l'espace des tenseurs symétriques d'ordre deux dans l'espace vectoriel de dimension

n =3

, et les tenseurs

Y ∈ S

^{3 et}

X ∈S

³ tels que :

Y ( X ) : S

³

→ S

^{3 (30)}

La fonction tensorielle

Y ( X )

est dite isotrope si :

R . Y ( X ) . R

^t

=Y ( R . X . R

^t

)

⁽³¹⁾

Quelle que soit la rotation

R

. L'hypothèse d'isotropie implique que

Y

et

X

sont coaxiaux, c'est-à-dire qu'ils possèdent les mêmes directions principales d_{=1,2 ,3}. On note :

X = ∑

α=1 3

x

α

(d

α

⊗ d

α

)= ∑

α=1 3

x

α

E

α

Y ( X )= ∑

α=1 3

y

_α

(d

_α

⊗d

_α

)= ∑

α=1 3

y

_α

E

_α

(32)

Où y_α=y_α

(

^x1, x₂, x₃

)

^et

x

_α représentent les valeurs propres de

Y

et

X

, respectivement.

5.2 Dérivée d'une fonction tensorielle isotrope d'ordre deux

On suppose que la fonction tensorielle isotrope

Y ( X )

est différentiable par rapport à

X

, et on définit sa dérivée

D

telle que :

D ( X )≝ d Y ( X )

d X

⁽³³⁾

Appliquée à l'équation (32), on obtient l'expression suivante :

D ( X )= ∑

α=1

3

( ^E

^α

^{⊗ d y} d X

^α

+ y

_α

d E

_α

d X ) ^{= ∑}

_α=1³

( ^y

^α

^d d ^E X

^α

+ ∑

β=1 3

∂ y

_α

∂ x

β

E

_α

⊗ d x

β

d X )

⁽³⁴⁾

5.2.1 Cas bidimensionnel de type contraintes planes ( C_PLAN )

En dimension deux (cas C_PLAN), l'équation caractéristique

det ( X − x

_α

I )=0

donne une équation quadratique des valeurs propres

x

_α=1,2 de

X

du type suivant :

x

_α²

− I

₁

x

_α

+ I

₂

=0

^avec

α=1,2

⁽³⁵⁾

Avec :

{ ^{I I}

¹2

^=trace =det ( X ^{( X} )= ⁾⁼ X ^X

₁₁¹¹

X ⁺

₂₂

^X −

²²

X

₁₂

X

₂₁ ⁽³⁶⁾

La résolution du problème spectral donne aisément les solutions suivantes pour les valeurs propres :

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{ ^{x x}

¹²

^{= = I}

¹

^{− √ √ I 2 2}

¹²

^{−4 I}

^{2 (37)}

Et les vecteurs propres, tenant compte de la multiplicité des valeurs propres :

{ ^{E E}

1^α

= ⁼ I ^{X + 2 ( x x}

^αα

^{− − I I}

¹¹

^{) I si x} si x

¹₁

^≠ = ^x x

²₂

(38)

En particulier, Carlson et Hoger montrent que si

x

₁

≠ x

₂, on a :

d x

_α

d X = E

_α (39)

En utilisant les équations (37), (38) et (39) dans (34), on obtient l'expression de la dérivée

D ( X )

, tenant compte de la multiplicité des valeurs propres :

D ( X )= { ^{( ∂ ∂ x y}

¹¹

^{x y − −}

¹¹

^{x − y}

²²

^{∂ ∂ [ I y x}

^2S1

^{− ) I E}

^S1

^{+ ⊗ ∂ ∂ E x y}

¹²¹

^{− I ⊗ E}

²

^{I ⊗ E}

²

^{] + ∑}

^α=12

^∑

^β=12

^{∂ ∂ x y}

^βα

^E

^α

^{⊗ E}

^β

^{si x si x}

¹¹

^{≠ = x x}

^{22 (40)}

Avec la matrice identité

I

:

 I 

_ijkl

=

_ik



_jl (41)

La matrice de transposition

 ^I

t



_ijkl

^=

il



_jk et la matrice de symétrisation

I

_S, telles que :

( I

_S

)

_ijkl

^{= 1}

2 ( I + I

_t

) ^{= 1}

2 (δ

ik

δ

_jl

+δ

_il

δ

_jk

)

⁽⁴²⁾

Remarque :

On remarque que le terme

y

₁

− y

₂

x

₁

− x

₂

[ ^I

S

− E

₁

⊗ E

₁

−E

₂

⊗ E

₂

]

dans la dérivée

D ( X )

de la première équation de (40) exprime la rotation des directions principales dans le plan.

5.2.2 Cas bidimensionnel de type déformations planes ( D_PLAN ) et axisymétrique (AXIS)

La direction hors-plan

α= 3

étant fixe, l'expression de la dérivée

D ( X )

s'obtient à partir du cas précédant.

En effet, en isolant le terme

α=3

dans l'équation (34), on a l'expression suivante :

D ( X )= ∑

α=1

2

( ^y

^α

^d d ^E X

^α

+ ∑

β=1 2

∂ y

_α

∂ x

β

E

_α

⊗ d x

β

d X )

⏟

D_2D(X)

+ ∑

α=1 2

∂ y

_α

∂ x

₃

E

_α

⊗ d x

₃

d X + ∑

β=1 3

∂ y

₃

∂ x

β

E

₃

⊗ d x

β

d X

⏟

D₃(X)

(43)

D

₃

( X )= { ^∑

^α=12

^{( ∂ ∂ ∂ ∂ x x y y}

^33α1

^{I E}

^pα

^{⊗ ⊗ E E}

³³

^{+ + ∂ ∂ ∂ ∂ x y x y}

^13α3

^{E E}

³³

^{⊗ ⊗ I E}

^p

⁺

^α

^{) ∂ ∂ + x y ∂ ∂}

³³

^{x y E}

³³³

^{E ⊗}

³

^{⊗ E}

³

^E

³

^{si x si x}

¹¹

^{≠ = x x}

^{22 (44)}

Où

I

_p est la matrice de la projection orthogonale de

I

_S dans le plan



^ex,e_y



^:

I

_p

= { ^{1 2 ( δ}

^ik

^δ

^jl

^+δ

^il

^δ

^jk

⁾ si i , j , k , l ∈{1,2}

0 sinon

(45)

5.2.3 Cas tridimensionnel

En dimension trois, l'équation caractéristique

det ( X − x

_α

I )=0

donne une équation cubique des valeurs propres

x

_{α =1,2 ,3} de

X

du type suivant :

x

α 3

− I

₁

x

α

2

+ I

₂

x

α

− I

₃

=0

^avec

α=1,2 ,3

⁽⁴⁶⁾

Avec :

{ ^{I I I}

¹²3

^{=trace =} =det ^{1 2 [ trace} ( X ^{( X} ) ^{( ) X )}

²

^{− trace ( X}

²

^{) ]}

(47)

La résolution du problème spectral donne aisément les solutions suivantes pour les valeurs propres :

{ ^{x x x}

¹²³

^{=−2 =−2 =−2 √ √ √ Q Q Q cos cos cos ( ( ( θ 3 θ−2 θ+ ) + 3 3 2 I 3 π π}

¹

^{) ) + + I 3 I 3}

^{11 (48)}

Où

Q

^et

θ

sont donnés par :

Q= I

₁²

−3 I

₂

9

^et

θ=cos

⁻¹

( _√ ^R Q

³

)

⁽⁴⁹⁾

Avec :

R= −2 I

₁³

+ 9 I

₁

I

₂

− 27 I

₃

54

⁽⁵⁰⁾

Et les vecteurs propres, en tenant compte de la multiplicité des valeurs propres :

Manuel de référence Fascicule r7.01: Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux

{ ^{E E E}

^β1α

^{= = = I I 2 − x}

^α3

^{E −}

^α

^I

^1α

^x

^α2

^{+ I}

³

^{[ X + ( x}

^α

^{− I}

¹

^{) X + x}

^α

^{I ] si x si x si x}

^1α1

^{≠ = ≠ x x x}

^2β2

^{≠ = x x}

^{33 (51)}

Dans la deuxième équation de (51),

E

_ est calculé à l'aide la première équation. Sans donner les étapes intermédiaires de calcul, la dérivée

D ( X )

, en tenant compte de la multiplicité des valeurs propres, s'écrit finalement :

D ( X )= { ^{− ( ( 2 s ∂ ∂}

¹

^{x x y d d}

^α11

^{− X − X x}

²

^{∂ ∂}

^β

^{−s − x y}

²¹

^x

²

^{) ∑}

^α=1γ

^{I I}

³

⁾

^SS

^{E − + (}

^α

^{x ∂ ∂ s ⊗}

^α3

^{x y − X E}

²¹

^x

^α

^{⊗ I}

^β

^{− ⊗ y )( X}

^α

^{( x x I +}

^α

⁺

^β

^{− − ∑}

^a=1

^s

³⁴

^{x x X}

^γγ

^∑

^b=1

^{) )(}

³

^{⊗ [ E d d I ∂ ∂}

^β

^{+ X ⊗ X y x s}

^2ab

^E

⁵

^{− E I}

^β

^{( −E}

^a

^{⊗ x ⊗}

^β

^{X + E}

^γ

^{− x ⊗}

^bγ

^{s ) E}

⁶

^{I I}

^γS

^{) ⊗ ] I si x si x si x}

^1α1

^{≠ = ≠ x x x}

^22β

^{≠x =x = x}

^{33γ (52)}

Où

(

α,β,γ

)

correspond à une permutation cyclique de

( 1 , 2 , 3)

^.

I

et

I

_S sont donnés par les équations (41) et (42), respectivement. En remarquant que

X

est un tenseur symétrique, il faut prendre garde à appliquer l'opérateur de dérivation symétrique pour l'évaluation de ^d_d^X_X² , ce qui donne la forme suivante :

( ^d d ^X X

²

)

_ijkl

^{= d ( X} d X

^{i m}

^X

_kl ^mj

⁾ = 1

2 (δ

ik

δ

_lm

+δ

_il

δ

_km

) X

_mj

+ X

_{i m}

2 (δ

mk

δ

_jl

+δ

_ml

δ

_kj

)

= 1

2 ( ^δ

ik

X

_lj

+δ

_il

X

_kj

+δ

_jl

X

_ik

+δ

_kj

X

_il

)

(53)

Enfin, les expressions de

s

_i=1,6 sont les suivantes :

s

₁

= y

_α

− y

_γ

( ^x

α

− x

γ

)

²

⁺

1

x

α

− x

γ

( ^{∂ ∂ y x}

β^γ

− ∂ y

_γ

∂ x

γ

)

s

₂

=2 x

_γ

y

_α

− y

_γ

( ^x

α

− x

γ

)

²

⁺

x

_α

+ x

_γ

x

α

− x

γ

( ^{∂ ∂ y x}

β^γ

− ∂ y

_γ

∂ x

γ

)

s

₃

=2 y

_α

− y

_γ

( ^x

α

− x

γ

)

³

⁺

1

( ^x

α

− x

γ

)

²

( ^{∂ ∂ y x}

^αγ

+ ∂ y

_γ

∂ x

α

− ∂ y

_α

∂ x

α

− ∂ y

_γ

∂ x

γ

)

s

₄

=2 x

_γ

y

_α

− y

_γ

( ^x

α

− x

γ

)

³

⁺

1

x

α

−x

γ

( ^{∂ ∂ y x}

^αγ

− ∂ y

_γ

∂ x

β

) ⁺ ₍ x

α

−x ^x

^γ γ

)

²

( ^{∂ ∂ y x}

^αγ

+ ∂ y

_γ

∂ x

α

− ∂ y

_α

∂ x

α

− ∂ y

_γ

∂ x

γ

)

s

₅

=2 x

_γ

y

_α

− y

_γ

( ^x

α

− x

γ

)

³

⁺

1

x

α

− x

γ

( ^{∂ ∂ y x}

^γα

− ∂ y

_γ

∂ x

β

) ⁺ ₍ x

α

− ^x

^γ

x

γ

)

²

( ^{∂ ∂ y x}

^αγ

+ ∂ y

_γ

∂ x

α

− ∂ y

_α

∂ x

α

− ∂ y

_γ

∂ x

γ

)

s

₆

=2 x

_γ²

y

α

− y

γ

( ^{x − x} )

³

⁺

x

α

x

γ

( ^{x − x} )

²

( ^{∂ ∂ x y}

^α

^{+ ∂ ∂ y x}

^γ

) ⁻ ₍ x − ^x

^γ2

x )

²

( ^{∂ ∂ y x}

^α

^{+ ∂ ∂ y x}

^γ

) ^{− x x}

^α

^{− + x x}

^γ

^{∂ ∂ y x}

^γ

(54)

Où

  ,  ,  

correspond à une permutation cyclique de

 1 , 2 , 3 

.

Remarque :

On remarque le terme suivant :

∑

α=1

3

y

_α

( ^x

α

− x

_β

)( ^x

α

−x

_γ

) [ ^d d ^X X

²

− ( ^x

β

+ x

_γ

) ^I

S

− ( ^{2 x}

α

− x

_β

− x

_γ

) ^E

α

⊗ E

_α

− ( ^x

β

−x

_γ

)( ^E

β

⊗ E

_β

−E

_γ

⊗ E

_γ

) ]

(55)

Ce terme apparaît dans la dérivée

D  X 

de la première équation de (52) et exprime la rotation des directions principales dans l'espace tridimensionnel.

Manuel de référence Fascicule r7.01: Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux