Également sur cette page, dans la section « Cours à l'ÉTS » du MAT-265, nous retrouvons plusieurs documents Nspire qui vous seront utiles pour ce sujet. Vous pouvez également retrouver de nombreux documents de référence du cours sur la page du cours Moodle ainsi que des solutions détaillées aux exercices dans les notes de cours (sous la rubrique 'Documents', merci Chantal !).
Motivation et définitions
Nous disons que la transformée de Laplace d’une fonction existe si l’intégrale impropre donnée3 converge. On remarque que la transformée de Laplace n'existe que pour s > α, α variant selon la fonction donnée.
Propriétés supplémentaires et transformées inverses
Si, avec Nspire, on applique la décomposition en fractions partielles et complète le carré, on trouve. La deuxième partie de cette réponse est ce que nous appelons la solution spéciale yp= − 3.
Fonctions spéciales: fonctions échelon-unité et delta de Dirac
Comme nous le voyons sur la figure 5.8, nous avons dû utiliser une description par morceaux de la fonction g(t) pour produire son graphique avec la calculatrice Nspire. Si l'on veut maintenant calculer la transformée de Laplace d'expressions du type g(t)u(t−a) telles que sin(t)u(t−π/2) sans utiliser l'intégrale de la définition, on utilisera la propriété P21 .
La convolution
Le résultat équivalent suivant est plus important pour nous. où l'on utilise la variable d'intégrationτ au lieu de dou). Un cas intéressant à mentionner est celui trouvé avec la propriété P23 du tableau.
Les systèmes d’équations différentielles
Mouvement harmonique simple
Notez que tout au long de cette section sur le mouvement harmonique, nous utiliserons le référentiel de la figure 6.1 où y désigne la position de l'objet, avec la direction positive vers le bas. Notons ici que nous considérons que la force de rappel du ressort est la seule agissant sur l'objet, ce qui n'est pas très réaliste d'un point de vue physique. Nous notons ici que puisque nous laissons tomber l'objet 50 cm en dessous du point d'équilibre et que nous lui donnons une vitesse initiale de descente de 4 m/s, nous nous attendons à ce que l'objet tombe en dessous de la position initiale de 50 cm.
Mouvement harmonique amorti
Nous considérons en outre la force d'amortissement, qui est proportionnelle à la vitesse avec un coefficient d'amortissement (positif) b. Le tableau suivant résume les différentes situations possibles lors de l'analyse d'un mouvement harmonique amorti (sans force externe). Sib2−4k m=0, on a une racine réelle double et on obtient un mouvement où on a un amortissement critique avec une solution de la forme
Mouvement harmonique forcé
De plus, un simple coup d’œil au graphique de la figure précédente nous indique que nous préférons rechercher un minimum absolu. Sachant que l'on recherche une position autour det=1 seconde, on constate que l'écart maximum par rapport au point d'équilibre sera après t=0,9634 seconde. On considérera également une force externe, f(t), qui est composée de deux parties : on applique une force constante (vers le bas) de 2 N pendant les 5 premières secondes et après 8 secondes on donne un coup de marteau, vers le bas, sur notre objet suspendu, que nous représentons par une force, une impulsion de 2δ(t−8) N.
La résonance mécanique
On amène cet objet 10 cm en dessous du point d'équilibre et on le laisse tomber. a) Trouver la vitesse et la position de l'objet en fonction du temps. Lorsque l’objet est au point d’équilibre, il est frappé vers le bas et reçoit une vitesse initiale de 1 m/s. a) Trouver la vitesse et la position de l'objet en fonction du temps. En supposant que la force d'amortissement est égale à 2v (où v est la vitesse dans le temps, exprimée en pieds par seconde), trouvez la position de l'objet en fonction du temps.
Circuits électriques
Vous remarquerez dans ce dernier cas que nous avons travaillé avec (w·t) au lieu de (8t) pour éviter que la commande tExpand nous donne un résultat avec des puissances de sin(t) et cos(t). Comme nous l'avons vu en début de séance (voir chapitre 1, pages 25 à 28), lorsqu'on résout une équation différentielle d'ordre 1 avec une condition initiale donnée, on ne peut s'intéresser qu'au comportement numérique de la solution autour de cette condition initiale valeur. Elle formalise les méthodes d'ordre 1 et d'ordre 2 (Euler et Euler amélioré), qui sont aujourd'hui souvent appelées méthodes Runge-Kutta d'ordre 1 et 2.
Résolution par séries de puissances
Rappel sur les séries
En utilisant la série de Taylor avec les 3 premiers termes non nuls (donc le polynôme de degré 5), on trouve. Ceci nous amène à discuter de la notion de convergence pour une série de Taylor et plus généralement pour une série de puissances. Notons qu'une série de puissances développées autour de x = a prendra la forme générale suivante, où les termes Cn sont les coefficients réels de la série.
Résolution d’équations différentielles
Il faut également prendre en compte le fait que les équations que l’on veut résoudre auront plus de termes que y′′+y=0. La deuxième propriété montre qu'on peut distribuer dans le terme général un terme qui est avant la sommation. L'exemple suivant illustrera le type d'équations que nous cherchons à résoudre à l'aide de la méthode des séries entières.
Existence et convergence des séries solutions
Le rayon du plus grand cercle possible selon cette règle sera le rayon de convergence de la série de solutions de l'équation différentielle. Le rayon de convergence de la série de solutions est la distance entre x=1 et le point singulier le plus proche, qui dans ce cas sera x=4. Le rayon de convergence de l'ensemble de solutions est la distance entre x =1 et le point singulier le plus proche, x=2ioux= −2i.
Exemples détaillés
On obtient ainsi la formule de récurrence qui permet de calculer les coefficients de la série solution. On veut donc une formule a(n)=.., que l'on peut facilement obtenir en remplaçant n par n−2 dans la formule obtenue. On obtient donc la série de solutions suivante, en fonction de la variable v y(v)=4+3v−v2+7. Comme dans la question initiale la variable indépendante isx, on répète le changement de variables v =x−2 dans cette solution pour obtenir la solution finale où l'on affiche les 6 premiers termes non nuls de la série.
Exemple synthèse et compléments
Exemple synthèse
Voici un lien vers une fenêtre interactive sur la page MathTools où vous pouvez faire tous les calculs des méthodes Runge-Kutta (cela inclut la méthode Euler). Runge-Kutta" plutôt que la méthode "Euler", on obtiendra facilement, et avec plus de précision, l'estimation de la valeur de y(1,5). On pourra alors plus facilement explorer la précision en augmentant la valeur de la variable m.
Formules de récurrence avec plus de 2 termes
Il faut savoir le plonger avec une équation différentielle d'ordre 2 dans un système d'équations d'ordre 1 puis utiliser la méthode "Runge-Kutta" dans une fenêtre graphique Nspire. Pour une résolution par séries entières, il faut savoir trouver son intervalle de convergence, la formule du coefficient de récurrence, leurs calculs de préférence avec seqGen() ou une page graphique "Suite" pour ensuite produire des estimations de la solution avec une précision fixe. Résolvez l’équation différentielle dans chacune des 3 questions qui suivent, en vous inspirant de l’exemple 7.16 aux pages 139 et suivantes.
Méthode de Taylor (optionnel)
Nous avons émis l'hypothèse ici que y est une fonction de la variable x qui peut facilement être implémentée avec Nspire en notant la solution y(x) au lieu de simplement y. Le théorème nous permet de choisir un intervalle de longueur 2 plus approprié, étant donné que nous connaissons explicitement la fonction dans l'intervalle 0 En combinant les coefficients trouvés dans la définition de la série de Fourier de la fonction périodique f(x). En pratique, les conditions d'existence de la série de Fourier d'une fonction périodique seront toujours respectées pour les fonctions que l'on rencontre en ingénierie. La proposition 8.3 et le théorème 8.4 pourraient permettre des calculs plus rapides pour déterminer la série de Fourier d'une fonction périodique. En revanche, pour le calcul de la série de Fourier de cette fonction même périodique, on ne peut travailler qu'avec la fonction initiale g(x). En revanche, pour le calcul de la série de Fourier de cette fonction périodique impaire, on ne peut travailler qu'avec la fonction initiale g(x). Si la fonction f(x) satisfait aux conditions du théorème de Fourier (voir page 174), alors la série de Fourier existe. On termine en appliquant la transformée f(x)=g(x)+2 pour obtenir la série de Fourier de la fonction originale. On termine par appliquer la transformée f(x)=3−g(x) pour obtenir la série de Fourier de la fonction originale. Dessinez le graphique de ce développement périodique impair et trouvez la série de Fourier à l’aide du tableau. Table de transformées de Laplace Méthode de décomposition en fractions partielles Combinaison linéaire de sinus et cosinus de même fréquence Table de séries de Fourier Nous avions également une vitesse initiale nulle, que nous remplaçons ici par une vitesse initiale de 4 m/s vers le bas, donc. C'est également ce que nous avons observé dans les cas de mouvement sous-amorti dans la section 6.1.2 à la page 67. Prenez les données de l'exemple 6.9 à la page 84, mais notez que la source est nulle, donc (t)=0. a) Nous avons donc un circuit RLC où la bobine (inductance) L=12 H, la résistance R=6Ω et le condensateur C=501 F sont connectés en série, mais avec une source e(t)=0 volt. Dans une situation où nous avons deux variables (ou fonctions) inconnues, par exemple y1 et y2, selon la variable x, nous avons besoin d'un système de 2 équations différentielles pour déterminer la solution y1ety2. Nous pouvons nous attendre à un problème dans la solution si nous essayons de voir ce qui se passe à x=0 ; en évaluant la valeur dey′′ on aurait une division par 0, ce qui serait problématique. En consultant les séries en 7.16 page 112, on voit que la série de solutions obtenue correspond à la fonction cos(x), solution qui peut être facilement vérifiée à l'aide des techniques du chapitre 4. A partir de x=0, on peut s'éloigner symétriquement de ce point tant qu'on ne rencontre aucun point singulier. On voit dans la figure précédente que l'on stocke, dans la variable c, la liste obtenue. Les définitions suivantes seront utiles dans les calculs futurs pour déterminer la série de Fourier d'une fonction périodique. La procédure précédente permet facilement de tracer le graphique de la fonction périodique fP(x) si la fonction de base initiale f(x) est dans l'intervalle 0Calcul d’une série de Fourier
Prolongements pairs ou impairs
Utilisation de la table de séries de Fourier