Les difficultés résident plutôt dans le calcul numérique de celui-ci en raison, d'une part, de la nécessité d'approximer correctement la surface de la coque (en particulier sa courbure), et d'autre part, de l'ordre élevé des équations aux dérivées partielles pour être résolu (4ème ordre). Les premiers modèles négligent le fil parallèle à la surface moyenne pour ne conserver que les transferts thermiques dans l'épaisseur de la coque, cette approche est complètement opposée à celle des structures minces, où la faible épaisseur de la structure conduit au contraire à une simplification de hypothèses sur la variation de l'épaisseur des champs de grandeurs physiques. Le respect de la loi tridimensionnelle conduit à des choix qui sont interprétés comme une hypothèse de répartition linéaire de la température dans l'épaisseur.
D'un point de vue pratique, la limite obtenue pour les équations thermiques stationnaires semble trop "mauvaise" pour présenter un réel intérêt (nous en donnerons une illustration dans [§2.2.2]). C'est pourquoi, dans cette note, nous proposons de conserver la forme de la solution limite (distribution parabolique dans l'épaisseur), mais de la faire comme hypothèse a priori.
Position du problème thermique dans les coques
Description de la géométrie
Nous cherchons à étudier la dépendance de la solution T du problème thermique [eq 2.1.3-1] vis-à-vis de l'épaisseur de la plaque 2 h. Nous allons injecter cette représentation de température T x, x3 directement dans le problème thermique [éq 2.1.3-1] présenté en =×I. Dans le cas où l'on néglige l'interférence de courbure dans la métrique, on supprime les termes dans
Le problème étant indépendant de la variable x, il devient unidimensionnel dans le cadre du modèle de coque. Dans une version standard, la courbure de la surface moyenne de la coque n'intervient pas directement.
Equation de la chaleur
Thermique pour une structure mince
Les équations thermiques stationnaires dans la coque peuvent s'écrire sous la forme d'un problème de minimisation. On suppose en particulier que les conditions aux limites aux bords ∂×I de la coque sont du même type dans toute l'épaisseur I. L'objet d'un modèle de coque thermique est donc de réduire de trois à deux variables d l'espace de dépendance de le champ de température T dans l'expression de l'opérateur différentiel correspondant à [eq 2.1.2-2] ou [eq 2.1.3-1], sous réserve du choix et de la justification d'hypothèses adaptées.
Rappel des résultats issus du développement asymptotique
Le modèle limite obtenu
Dans un langage plus vivant et sans ambiguïté, les résultats précédents peuvent être interprétés en disant que pour une plaque mince, la température moyenne est régie par le flux moyen reçu et la conductivité dans le plan de la plaque. La répartition des épaisseurs n'est fonction, en un point donné, des courants localisés en ce point sur les faces supérieure et inférieure ; n'est pas affecté par la présence de points voisins.
Une application
La discontinuité de la condition aux limites de NEUMANN en ± est donc directement liée au champ de température : en haut la température T est la suivante. Cette discontinuité apparaît également indépendante de l'épaisseur h dans ce modèle limite, une fois le débit fourni normalisé par h. Cette limitation du modèle limite obtenu par développement asymptotique est inhérente à la détermination purement locale du terme complémentaire parabolique x, x3.
Nous sommes ainsi amenés à formuler différemment le modèle thermique de la coque, tout en conservant les résultats de cette évolution asymptotique.
Formulation du modèle de thermique stationnaire de coque
- Equations du modèle
- Cas d'une plaque homogène
- Lien avec le modèle asymptotique
- Généralisation aux problèmes d'évolution thermique
- Equations du modèle avec des variables usuelles
- Cas d'une plaque homogène
- Relation entre les variables des deux représentations
- Synthèse
La dépendance de A sur x provient de la dépendance de k et de la courbure moyenne. Si l'on examine la formulation [éq 2.3.1-2] obtenue pour les thermiques de coque, on remarque que l'opérateur différentiel reste d'ordre 2, contrairement à la mécanique, où il passe à 4. En thermiques, la courbure de la surface moyenne n'affecte que le changement de la métrique, et non directement dans les opérateurs comme le serait l'hétérogénéité de conductivité dans l'épaisseur.
Dans le cas où l'on considère une plaque, ou si l'on néglige l'écart métrique d'épaisseur de la coque (1≫ h H1) et en supposant que le matériau est homogène en épaisseur pour plus de simplicité, on peut proposer le choix d'une base 1 . , w2,w3de polynômes de degré 2 (polynômes de Legendre), de sorte que les tenseurs de conductance A et B soient diagonalisés en indices i, j (en Uj, Vj). Ainsi, les équations [éq 2.3.2-2] sont valables pour des plaques et coques minces pour lesquelles on néglige les termes de courbure dans la métrique 1≫ hH1, et pour un matériau homogène en épaisseur. En effet, l'épaisseur h interfère ici explicitement avec les coefficients de l'opérateur différentiel dans les équations locales [éq 2.3.2-2], qui sont résolues sur la surface moyenne.
Après un développement asymptotique formel de la solution (Ti) en fonction de l'épaisseur dans ces équations, nous vérifions cela. Le modèle [éq 2.3.1-1] à trois champs scalaires T1,T2,T3, paraboliques en épaisseur, semble en quelque sorte le modèle optimal en ce qui concerne le comportement asymptotique des équations thermiques stationnaires dans les structures minces. Nous avons vu l'importance du terme supplémentaire pour décrire les évolutions de température dans l'épaisseur x3 (tandis que T 1x est constant sur l'épaisseur).
Le modèle thermique de coque présenté précédemment est justifié sur la base des résultats du développement asymptotique des équations thermiques stationnaires tridimensionnelles. Pour résoudre les équations [éq 2.3.4-1] sur une coque mince, on peut supposer la représentation [éq 2.3.1-1] du champ de température dans la coque comme stationnaire. Le choix des variables T1,T2,T3 de la représentation [éq 2.3.1-1] correspondait à l'évolution de la température en fonction de l'épaisseur.
Pour les applications cependant, il est plus pratique de les remplacer par les variables : Tm, Ts, Ti : Tm définit la température à la surface moyenne de la coque. La première traite en fait d'un cas unidimensionnel en épaisseur et permet d'évaluer l'effet des termes de courbure, notamment sur le second côté des équations.
Le cylindre infini soumis à un flux intérieur uniforme
Les autres permettent d'évaluer la capacité du modèle à traiter des cas de charges thermiques discontinues, à partir de solutions 3D. Dans le cas où l'on néglige l'action de courbure dans la métrique, on supprime les termes en. Si l'on prend en compte la courbure dans le deuxième membre ainsi que dans les termes d'échange . surfaces d'application de flux réels). La prise en compte de la courbure dans les termes de conductivité dans B s'effectuerait au niveau des termes dans x3/R 2.
La plaque infinie sous un couple de flux antisymétriques
[Figure 3.2-a] permet de comparer les températures dans la peau supérieure x3=h de la plaque sous un flux externe normalisé (=K/h avec k = K =1, h=1), obtenues par un Calcul numérique 3D (Code Aster), le modèle réduit et le modèle limite asymptotique (avec la discontinuité observée au [§2.2]). On note que le modèle est bien capable de décrire la couche limite qui apparaît à proximité d'une discontinuité d'écoulement externe.
La plaque infinie sous un couple de flux symétriques
Si l'on adopte un modèle à 2 champs T1, T2, avec une représentation affine dans l'épaisseur, pour résoudre le problème thermique, on obtient comme solution. Cette dernière équation permet d'évaluer l'effet du terme parabolique sur la distribution de la température moyenne. En effet, c’est cette dernière qui, dans la théorie de la mécanique des coques, génère la déformation de la membrane.
A partir de ces résultats, on constate un bon ajustement entre la solution 3D complète (points 0) et celle obtenue avec le modèle coque 3 champs (points ), alors que le modèle 2 champs (points ) semble insuffisant. Ces observations restent valables pour d'autres choix de k, K, , h, , puisque le problème est linéaire en et il apparaît que la variable spatiale x2 dans les équations peut être normalisée par kh .
Le cylindre infini soumis à une stratification horizontale
En résolvant numériquement une équation du troisième degré (polynôme caractéristique en s.), on écrit alors les conditions de continuité des champs de Tiet de leurs dérivées tangentielles à l'interface, en les exprimant par la combinaison des solutions générales et des solutions spécifiques en chaque solution. des zones. La comparaison avec un calcul éléments finis 2D est donnée dans la [Figure 3.4-b] et la [Figure 3.4-c] : la différence entre les deux solutions est indiscernable. Dans cette section nous nous limitons à quelques observations concernant la résolution numérique des équations du modèle thermique de coque : d'abord sur l'utilisation d'une méthode d'éléments finis puis sur le blocage numérique qui se produit lorsque l'épaisseur est faible de 2 h.
Résolution par éléments finis
Pour ce type de problèmes, nous proposons également un élément fini P2 à 3 nœuds, utilisant la même formulation, en négligeant la correction métrique en épaisseur, pour les coefficients A et B.
Blocage numérique d'un élément fini de coque thermique
Une formulation mixte équivalente de ce problème est obtenue avec les variables q2 et q3, flux thermique dans l'épaisseur (cf. [An 2]) : on écrit = L22. Après que la discrétisation de W ×Q a été effectuée (on note Wd×Qd), le problème tend formellement lorsque tend vers zéro au problème suivant. On voit que le choix de discrétisation de Q n'est pas innocent et détermine fortement le comportement de la solution lorsque tend vers zéro.
Outre les études théoriques brièvement évoquées ci-dessus, une solution pratique au blocage, qui apparaît une fois la discrétisation en Wd choisie si ce choix était malheureux, consiste à sous-intégrer le terme 'blocage' dans la construction de rigidité, c'est-à-dire ici le terme B. Certains choix de sous-intégration dans la formulation originale [éq 4.2-1] sont interprétés comme des choix d'interpolation de Wd et Qd dans la formulation mixte et peuvent ainsi, via la vérification (parfois difficile) de la condition LBB discrète, être justifiés sur la base d'un niveau théorique. En fait, considérons un élément fini triangulaire à 3 nœuds et interpolation P1 pour résoudre le problème [éq 4.2-2].
Choisissons alors pour la discrétisation de Q une interpolation discontinue P0, c'est-à-dire une représentation de [q] constante pour élément. La deuxième équation de [équation 4.2-2] est alors une équation locale, c'est-à-dire doit être résolue pour chaque élément séparément, puisque p est arbitraire sur chaque élément E. Une analyse asymptotique des équations thermiques dans une structure mince, lorsque l'épaisseur tend à zéro aboutit à un modèle aux limites caractérisé par une température moyenne, résolvant un problème aux limites et une expression parabolique complémentaire dans l'épaisseur, définie localement.
Nous avons dérivé une formulation de modèle avec trois champs scalaires définis sur la surface moyenne de la coque, qui donnent une représentation parabolique de la température à travers l'épaisseur. Les cas de tests montrent un bon ajustement de la température obtenue avec les solutions tridimensionnelles complètes. EDF/AMA) Fautes de frappe (liste rex 20336) et ajout de numéros de la version initiale.
Plaque infinie sous un couple de flux symétriques
Les conditions de connexion à x2=0 s'expriment naturellement par les conditions T antisymétriques déjà utilisées ci-dessus.
Formulation mixte du problème stationnaire pour la plaque
