Les transformations géométriques et les figures équivalentes
Dans chacune des situations, tracez l’image associée à la figure initiale par la transformation donnée.
a) h(O, 2): (x, y) 哫(2x,2y) b) t(3, ⫺6): (x, y) 哫(x⫹3, y⫺6)
c) r(O, 270°): (x, y) 哫(y,⫺x) d) sx: (x, y) 哫(x,⫺y)
e) (x, y) 哫
冢
x, y冣
f ) r(O, 90°): (x, y) 哫(⫺y, x)C
B
A 1 x
y
1 C 0
B
1 x y
1 0
C
B
A 1 x
y
1 0
1 2 C
B
A x
1 y
1 0
C
B
A 1 x y
1 0 C
B
A 1 x y
1 0
1
Repérez les paires de figures équivalentes.
Dans chacune des listes de polygones équivalents suivantes, quel polygone a le plus petit périmètre ?
a) Carré, octogone, pentagone, losange, heptagone.
b) Triangle scalène, triangle équilatéral, triangle rectangle, triangle isocèle.
c) Losange, trapèze, rectangle, carré, parallélogramme.
22 cm Triangle
7,71 cm 21,1 cm
7 cm Carré
10 cm
4 cm Rectangle
F
16 cm
5 cm Losange E
14,4 cm 6,806 cm
Triangle D
7,24 cm
6 cm Octogone régulier C
B A
3 2
Trouvez la mesure manquante dans chaque situation, sachant qu’il s’agit de figures équivalentes ou de solides équivalents.
a)
b)
c)
d)
12 cm
36 cm
? Carré
Losange
6 mm
?
2,4 mm Prisme régulier
à base triangulaire
Cube surmonté d’une pyramide régulière
2,8 mm 3,56 cm
5 cm
?
9 cm 2,95 cm
Trapèze Octogone régulier
4 cm
? Cylindre circulaire droit
6 cm
Cône circulaire droit
12 cm
4
Établissez la règle de transformation qui permet d’associer, à la figure de droite, une figure image qui est équivalente à la figure de gauche.
a) Transformation géométrique appliquée à la figure de droite : une homothétie.
b) Transformation géométrique appliquée à la figure de droite : un changement d’échelle horizontal, uniquement.
c) Transformation géométrique appliquée à la figure de droite : un changement d’échelle vertical, uniquement.
A
C B D
0 1 1 y
x
A
C B D 0 1 1 y
x A
C D
B
0 1 1 y
x A
C D
B
0 1 1 y
x
C A
B
0 1 1 y
x A
D C
B
0 1 1 y
x
5
Dans chacune des situations, indiquez le solide qui a le plus grand volume.
a) Cube, pyramide, cylindre, cône et boule ayant tous la même aire totale.
b)
Dans chaque cas, établissez la règle de transformation permettant d’associer les deux points selon la transformation géométrique.
a) A(2, 4) et A'(4, 8) par une homothétie.
b) B(⫺5, 3) et B'(3, 5) par une rotation.
c) C(9, 16) et C'(9, 4) par une contraction verticale.
d) D(6, 7) et D'(14, ⫺9) par une translation.
e) E(⫺12, 25) et E'(⫺12, ⫺25) par une réflexion.
Sachant qu’il s’agit, dans chaque cas, de figures équivalentes, déterminez celle qui a le plus petit périmètre. Expliquez votre réponse.
a)
b)
8 cm Prisme rectangulaire
12 cm
16,8 cm Cube
12 cm
A B C D E
B C D E
A
8 7
18 cm Prisme rectangulaire
12 cm 7,2 cm
6
A B C
Relativement à chacune des transformations suivantes :
a) A(6, 14) 哫A'(⫺14, 6) B(8, 19) 哫B'(⫺19, 8) C(⫺3, ⫺2) 哫C'(2, ⫺3)
1) D(5, 4) 哫D'( , ) E(13, 16) 哫E'( , )
2) 3)
b) A(8, 16) 哫A'(12, 24) B(⫺4, 6) 哫B'(⫺6, 9) C(7, ⫺10) 哫C'
冢
, ⫺15冣
1) D(2, 14) 哫D'( , ) E(⫺8, 9) 哫E'( , )
2) 3)
c) A(17, 11) 哫A'(⫺17, 11) B(9, ⫺3) 哫B'(⫺9, ⫺3) C(⫺7, 8) 哫C'(7, 8)
1) D(15, ⫺2) 哫D'( , ) E(⫺19, ⫺17) 哫E'( , )
2) 3)
d) A(8, 8) 哫A'(12, 5) B(⫺7, 4) 哫B'(⫺3, 1) C(17, ⫺2) 哫C'(21, ⫺5)
1) D(2, ⫺5) 哫D'( , ) E(⫺27, ⫺6) 哫E'( , )
2) 3)
e) A(21, 7) 哫A'(21, 14) B(⫺17, ⫺8) 哫B'(⫺17, ⫺16) C(⫺7, 9) 哫C'(⫺7, 18)
1) D(9, 6) 哫D'( , ) E(⫺11, ⫺12) 哫E'( , )
2) 3)
f ) A(⫺1, 12) 哫A'(1, ⫺12) B(2, 3) 哫 B'(⫺2, ⫺3) C(5, ⫺11) 哫C'(⫺5, 11)
1) D(21, ⫺13) 哫D'( , ) E(⫺34, 43) 哫E'( , )
2)
1) déterminez les coordonnées des points D' et E' ;
2) décrivez en mots la transformation géométrique ;
3) établissez la règle de transformation.
21 2
9
Une entreprise spécialisée dans la production de biscuits cherche une solution optimale pour l’emballage de gaufrettes. Elle veut offrir au client un maximum de gaufrettes dans un emballage dont l’aire sera minimale. Ces gaufrettes ont la forme d’un prisme rectangulaire et mesurent 1,5 cm de largeur sur 9 cm de longueur sur 1 cm d’épaisseur.
a) De quelle forme devrait être l’emballage ? Expliquez votre réponse.
b) Comment les gaufrettes pourraient-elles être placées dans un emballage de ce type ?
c) Quelle serait l’aire de cet emballage ?
Les propriétaires d’une fraiseraie veulent offrir des pots de confitures de 375 mL.
Un fournisseur offre deux pots de même hauteur dont les bases ont la même aire.
Les pots ont deux formes : le premier est en forme de prisme régulier à base hexagonale et le second est en forme de cylindre circulaire droit. Le prix d’un pot est proportionnel à l’aire du verre utilisé pour le produire.
a) Dans cette situation, quel solide est le moins cher ? Expliquez votre réponse.
b) Afin de vérifier votre réponse en a), calculez l’aire de chacun des deux pots, tels qu’ils sont décrits, si leur hauteur est de 10 cm.
11 10
Un producteur de vaisselle veut tracer une ligne contrastante sur le pourtour des assiettes de son nouvel ensemble de vaisselle. Avant de lancer la production de ce nouvel ensemble, il veut calculer le coût de production de cette ligne contrastante. Il hésite entre une assiette de forme carrée, de forme circulaire et en forme d’hexagone régulier.
a) Quelle est la forme qui engendrera le plus petit coût si toutes les assiettes ont la même aire ? Expliquez votre réponse.
b) Quel est le périmètre des différentes assiettes si leur aire est de 676 cm2?
Une confiserie produit de la gomme à mâcher en forme de boule de 3 cm de diamètre. Elle vend ses gommes dans un cylindre circulaire droit de 3 cm de diamètre sur 31 cm de hauteur et contenant 8 gommes. Plusieurs clients voudraient avoir le même produit, mais dans des contenants en forme de cube. Calculez la longueur d’une arête de ce nouvel emballage et l’écart entre l’aire totale du contenant cylindrique et l’aire du contenant cubique sachant que leurs volumes sont équivalents.
13 12
Une graphiste conçoit un logo pour le gilet des enfants d’un camp de jour. Elle a réalisé un premier dessin, qui apparaît ci-contre.
Pour envoyer le logo à l’impression sérigraphique, elle doit reproduire le logo dans le plan cartésien ci-contre en respectant les critères suivants :
• seules les coordonnées supérieures ou égales à 0 sont acceptées ;
• le logo doit occuper la pleine largeur du quadrillage du plan cartésien.
a) Nommez une série de transformations géométriques qui permettent d’obtenir la figure requise pour la sérigraphie.
b) Établissez les règles de ces transformations.
c) Déterminez les coordonnées des sommets de la figure qui sera acheminée au Service de la sérigraphie.
d) Tracez le logo dans le plan cartésien.
Un fabricant de balles de tennis veut offrir ses balles enveloppées dans une pellicule plastique qui épouse la forme des balles plutôt que dans des cylindres circulaires droits contenant chacun trois balles. Une balle de tennis a un diamètre de 6,5 cm.
Quel est l’écart entre l’aire de la pellicule plastique et l’aire du contenant cylindrique si chacun des contenants renferme trois balles ?
15
1 x y
1 0
14
A(12, 16)
F(54, ⫺19) D(22, ⫺24)
B(⫺18, ⫺29) 0 C(2, ⫺19)
E(29, ⫺14) y
x
Une analyste en recherche commerciale pour un producteur de jeux de société étudie la commercialisation d’un nouveau jeu de dames. Pour prendre une décision finale, l’analyste doit comparer les coûts de production des deux options retenues en ce qui a trait à la forme des jetons : des jetons en forme de pyramide régulière à base carrée ou des jetons en forme de cône circulaire droit. Les deux solides ont la même hauteur et leurs bases ont la même aire.
a) Quel est l’écart, en pourcentage, entre les volumes des deux solides ? Expliquez votre réponse.
b) Peut-on calculer l’écart entre les aires des deux solides ? Expliquez votre réponse.
Une entreprise pharmaceutique produit des comprimés. Pour faciliter l’ingestion de ces comprimés, elle décide de les envelopper dans une pellicule soluble.
Si elle veut minimiser la quantité de pellicule soluble à utiliser, quel comprimé, parmi les deux comprimés de même volume ci-dessous devrait-elle produire ? Expliquez votre réponse.
6 mm 6 mm
Comprimé B Comprimé A
18 mm
17 16
