révision 7

Des expériences aléatoires aux probabilités

Pour chacune des situations suivantes, calculez l’espérance mathématique.

a) b)

c) d)

Pour chacun des cas suivants :

a) La probabilité de tirer une bille jaune d’un sac qui contient 3 billes bleues, 3 billes rouges et 2 billes jaunes.

1) 2)

b) La probabilité qu’il fasse beau demain.

1) 2)

c) La probabilité qu’un joueur de hockey marque un but pendant une partie.

1)

Résultat Probabilité

⫺22 0,07

⫺15 0,11

3 0,35

17 0,27

31 0,20

1) indiquez si la probabilité est théorique, fréquentielle ou subjective ;

2) si possible, calculez cette probabilité. Sinon expliquez comment on peut la calculer.

Résultat Probabilité

⫺5 0,18

⫺2 0,33

0 0,24

8 0,25

2 1

Résultat Probabilité (%)

1 30

2 45

3 25

Résultat Probabilité (%)

⫺4 12

2 25

5 8

7 36

10 19

Un nouveau billet à gratter est mis sur le marché. Ce billet comporte 40 cases.

On doit gratter seulement 3 cases et obtenir 3 fois le même montant pour gagner ce lot. Sur chaque billet, il y a 3 cases de 50 $, 4 cases de 10 $ et 5 cases de 2 $.

a) Quelle est la probabilité de gagner 50 $?

b) Quelle est la probabilité de gagner 10 $?

c) Quelle est la probabilité de gagner 2 $?

d) Calculez l’espérance de gain offert par ce billet à gratter.

Dans chaque cas, calculez la probabilité en vous servant des renseignements fournis dans le diagramme de Venn suivant.

a) P(A傼B) b) P(A傼C)

c) P(B 傽C) d) P(A傽C)

e) P

(

)

(

)

(

) (

)

A B

C

0,25 0,04

0,03

0,22

0,18

0,08 0,05

0,15 0,15

4 3

Une famille se compose de 2 enfants d’âges différents. On considère les événements suivants.

a) Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles, sachant qu’au moins un des deux enfants est une fille ?

b) Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles, sachant que le plus vieux des deux enfants est une fille ?

Le public ciblé par la publicité d’un constructeur d’automobiles correspond à 60 % de la population canadienne. On estime que 40 % du public ciblé et que 10 % du public non ciblé achètent une voiture de ce constructeur d’automobiles.

Quelle est la probabilité qu’un Canadien ou une Canadienne achète une voiture de ce constructeur d’automobiles ?

Un sac contient 2 piles défectueuses et 3 piles en bon état. On tire successivement, sans remise, toutes les piles du sac.

a) Quelle est la probabilité de tirer deux piles en bon état au moment des deux premiers tirages ?

b) Quelle est la probabilité de tirer deux piles en bon état au moment des trois premiers tirages ?

A : Les deux enfants sont des filles.

B : Au moins un des deux enfants est une fille.

C : Le plus vieux des deux enfants est une fille.

7 6 5

Soit 3 urnes qui contiennent chacune des boules rouges et des boules blanches.

L’urne A contient 3 boules rouges et 5 boules blanches, l’urne B contient 2 boules rouges et 1 boule blanche, et l’urne C contient 2 boules rouges et 3 boules blanches.

On prend une urne au hasard et on tire ensuite une boule de cette urne.

a) Construisez l’arbre de probabilités représentant cette situation.

b) Quelle est la probabilité de tirer :

1) une boule rouge de l’urne A ?

2) une boule blanche de l’urne C ?

3) une boule rouge de l’urne B ?

La distribution de la variable aléatoire xest la suivante.

Quelle est l’espérance mathématique de x? 9

8

Valeur de x Probabilité

10 20 40 70

4 10 3

10 2

10 1

10

En 1733, le comte de Buffon a présenté le problème suivant à l’Académie des sciences de Paris : « Sur une planche de jeu sillonnée de lignes parallèles distantes entre elles d’une longueur constante d,on lance une aiguille qui est aussi de longueur d.

Quelle est la probabilité que l’aiguille lancée touche une des lignes parallèles ? » Voici quelques pistes de solution proposées :

1) En 1901, le mathématicien Lazzerini a tenté l’expérience 34 080 fois et a obtenu 21 169 succès, ce qui représente un taux de réussite d’environ 64 %.

2) Je crois que la probabilité recherchée est environ de 50 %.

3) Ce problème a été résolu pour la première fois en 1777, et la probabilité recherchée est égale à .

a) Déterminez, dans chaque cas, si la piste de solution proposée représente une probabilité théorique, une probabilité subjective ou une probabilité fréquentielle.

1) 2) 3)

b) La simulation du mathématicien Lazzerini est-elle concluante ? Expliquez votre réponse.

Vous lancez deux pièces de monnaie et on vous remet 10 $ pour chaque pièce qui, en tombant, présente le côté face comme côté supérieur, en plus de vous remettre votre mise initiale. Le prix d’un billet de participation à ce jeu est de 10 $.

a) Ce jeu est-il équitable ? Expliquez votre réponse.

b) Quelle modification pourriez-vous y apporter afin qu’il devienne équitable ?

2

␲

11 10

On tire 4 billes d’un sac qui contient 10 billes numérotées de 0 à 9.

a) Combien y a-t-il de possibilités si l’on tire les billes sans remise ?

b) Combien y a-t-il de possibilités si l’on tire les billes avec remise ?

c) On considère les événements ci-dessous lors du tirage sans remise.

Calculez les probabilités suivantes.

1) P(A) 2) P(B) 3) P(C)

4) P(A傽B) 5) P(A傽C) 6) P(B傽C)

7) P(A傼B) 8) P(A傼C) 9) P(B傼C)

On évalue à 60 % la probabilité que Julie remporte une partie d’échecs contre Isabelle.

Quelles sont les chances pour une victoire de Julie ? A : Tirer 4 nombres pairs.

B : Tirer 4 nombres impairs.

C : Obtenir une somme inférieure ou égale à 7.

13 12

Un jeu permet de gagner différentes sommes d’argent. Les gains possibles ainsi que les probabilités associées à chaque gain sont fournis ci-dessous.

a) Quelle est l’espérance de gain à ce jeu ?

b) Quelle devrait être la mise initiale afin que ce jeu soit équitable ?

On dispose des trois couleurs suivantes pour repeindre une maison : bleu, beige et vert. La maison compte 3 étages, soit le sous-sol, le rez-de-chaussée et l’étage.

On veut utiliser une couleur par étage. On considère les événements aléatoires suivants.

a) Quelle est la probabilité que le sous-sol soit peint en vert ?

b) Quelle est la probabilité que le sous-sol soit peint en vert étant donné que le rez-de-chaussée est peint en beige ?

c) Quelle est la probabilité que l’étage soit peint en bleu étant donné que le sous-sol Gain Probabilité

($) (%)

⫺10 40

10 40

100 15

1000 5

A : Le rez-de-chaussée sera peint en beige.

B : L’étage sera peint en bleu.

C : Le sous-sol sera peint en vert.

15 14

Lors de la finale de hockey régionale, les Lions affrontent les Tigres. Les chances d’une victoire des Tigres sont de 3 : 4.

a) Quelles sont les chances d’une victoire des Lions ?

b) Quelle est la probabilité que les Tigres remportent la victoire ?

c) Vous décidez de miser 10 $ sur les Tigres. Quelle somme pouvez-vous gagner si ce jeu est équitable ?

On vous propose de participer au jeu d’adresse illustré ci-contre, où l’on peut gagner les sommes indiquées.

a) Quelle est l’espérance mathématique à ce jeu ?

b) On vous demande une mise initiale de 10 $. Devriez-vous jouer à ce jeu ?

15 $

25 $ 15 $

5 $

10 $ 5 $

La probabilité d’obtenir 15 $ est de 15 %.

La probabilité de gagner 25 $ est de 5 %.

La probabilité d’obtenir 5 $ est de 35 %.

La probabilité de gagner 10 $ est de 10 %.

La probabilité de ne pas atteindre la cible est de 35 %.

17 16

Selon une spécialiste en politique, les chances du prochain gouvernement fédéral d’être minoritaire sont de 5 contre 4. Au regard de cette évaluation, les mises suivantes sont déposées.

a) Christian parie 200 $ que le prochain gouvernement fédéral sera minoritaire.

1) Quel peut être son gain net ? 2) Quelle peut être sa perte nette ?

b) Lucie parie 200 $ que le prochain gouvernement fédéral sera majoritaire.

1) Quel peut être son gain net ? 2) Quelle peut être sa perte nette ?

Le tableau ci-dessous présente les lots d’une loterie et les probabilités de gagner lorsqu’on y participe. Le prix d’un billet de participation est de 10 $.

a) Quelle est l’espérance de gain net de l’acheteur d’un billet de participation ?

b) Quel profit, en moyenne, l’organisateur de cette loterie fera-t-il par billet vendu ?

c) Quel devrait être le prix d’un billet de participation pour que cette loterie soit 18

19

Lot Probabilité

($) de gagner

5000 100 10

1 100

1 10

1 1000

Lors des demi-finales de soccer cadet de la Montérégie, l’équipe de Boucherville et l’équipe de Saint-Hyacinthe ont remporté la victoire. Ces deux équipes

s’affronteront en finale. Les chances pour l’équipe de Saint-Hyacinthe sont de 3 : 4.

a) Laquelle des deux équipes a le plus de chances de gagner la finale ?

b) Combien devriez-vous gager si vous espérez faire un gain de 20 $ en misant sur l’équipe de Saint-Hyacinthe ?

c) Combien devriez-vous gager si vous espérez faire un gain de 30 $ en misant sur l’équipe de Boucherville ?

Pendant les olympiades de votre école, vous atteignez la finale du 100 m à la course à pied. Vous devrez vous mesurer à Mathias. Vos chances sont évaluées à 6 : 5.

a) Quelle est la probabilité que vous gagniez cette course ?

b) Nadia décide de gager 5 $ sur votre victoire. Quelle somme Nadia peut-elle gagner si ce jeu est équitable ?

c) Geneviève pense que c’est plutôt Mathias qui gagnera la course, et elle décide de gager 10 $ sur sa victoire. Quelle somme Geneviève peut-elle gagner si ce jeu 21

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