VII - Derivatives of Trigonometric Functions - mrsk.ca

MATHEMATICS 201-103-RE Differential Calculus

Martin Huard Fall 2013

VII –Derivatives of Trigonometric Functions

1. Convert from degrees to radians.

a) 135 b) 900 c) 315

2. Convert from radians to degrees.

a) ⁸₃^ b) ^₁₂^7 c) 3

3. Evaluate exactly (without the use of a calculator).

a) sin

 

²3^ b) tan

 

^4^ c) cos

 

⁵6^ d) sin

 

⁵2^

e) sec

 

⁷4^ f) cot g) csc

 

⁷6^ h) cot

 

³4^

4. Use identities to evaluate exactly.

a) ^{sin 75}

 

b) cos

 

12^ c) ^{cos 165}

 

5. Find the limit.

a) 0

sin 4 lim^x 2

x

 x b)

0

sin 3 lim^x sin 7 x

 x c)

 

0

sin cos lim^ cos







d) ₂

0

sin cos sin lim

x

x x x

 x

 e)

0

tan 2 lim^t 3

t

 t f)

0

lim cot csc 2

x

x

 x

g)

 

0

lim sin 3 csc12

x x x

 h)

0

2 sin limx

x x

 x

 i)

 

1

sin 1

lim^x 2 2 x

 x



 6. Differentiate the function.

a) ^{f x}

 

^{2cosx5sinx} b) ^{f x}

 

^sinx

 x c) ^{f x}

 

^{secx5 tanx}

d) ^{f x}

 

^{sec tanx x} e) ^{f t}

 

^{t3csct t cott} f)

 

^cot

1 cot f x x

 x

 g)

 

^csc

tan f x x

 x h)

 

^{2 1}

cos 1 f x x

x

 

 i)

 

^{1 sin}

1 2sin f x x

x

 

 j) ^{f x}

 

^{xsinx cosx}

x

  k)

 

^3cos

2 cos sin

f  

 

  l)

 

^tan

1 tan f x x

x x

 

Math 103 VII – Derivatives of Trig Functions

Fall 2013 Martin Huard 2

7. Find the equation for the tangent and normal lines to the graph of each function at the given point.

a) ^{f x}

 

^{2sinx at}

 

^6,1 . b) ^{f x}

 

^{3tanx at}



³4^, 3



. c) ^{f x}

 

^{ x cosx at}



 ^, ¹



. d) ^{f x}

 

^{secxcscx at}



^{4, 2 2}



^.

e) ^{f x}

 

^{2cotx at}



^{6, 2 3}



^.

8. For what values of x does the graph of ^{f x}

 

^{ x 2cosx} have a horizontal tangent?

ANSWERS

1. a) ³₄^ b)5 c) ^7₄^ 2. a) 480 b) 105 c) ⁵⁴⁰_ 

3. a) ₂³ b) –1 c) ^₂³ d) 1 e) 2 f) g) –2 h) –1 4. a) ^6₄ ² b) ⁶₄^{ 2} c)^{ 6}₄^{ 2}

5. a) 2 b) ³₇ c)sin1 d) 0 e)²₃ f) 2 g)¹₄ h) 3 i) ¹₂ 6. a) ^f

 

^{x  2sinx5cosx b) f}

 

^{x  xcos}_x^x2sinx

c) ^f

 

^{x sec tanx x5sec2 x d) f}

 

^{x sec tanx 2xsec3x}

e) ^f

 

^{t 3 csct2 t t 3csc cott tcotttcsc2t}

f) ^f

 

^{x } _{1 cot}^_^csc2_x^x_²

g)

 

2 ²

csc csc sec tan

x x x

f x  ^{ } x h)

 

_ ²_2

2 cos 2 sin sin cos 1

x x x x x x

f x  ^{ }x_ ^

i) ^f

 

^{x }_{1 2sin}^_^3cos_x^x_^{2 j)}

 

3

2

sin cos

2 2

x cos x

x x

f x    x x

k)

 

_{ }2

3 2cos sin

f   _{ } l)

 

_{ }2

1 1 xtanx

f x  _

7. a) ₆³

3 3

3 18

3 1

1

T N

y x

y x





  

   

b) ⁹₂

1

6 8

6 3

3

T N

y x

y x



 

  

  

c) 1

1

T N

y x

y x 

 

     d)

4 T 2 2

N

y

x ^





e) ⁴₃

1

8 48

8 2 3

2 3

T N

y x

y x





   

  

8. x ^₆ 2n, ⁵₆^ 2n n