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1. Fenómenos magnéticos. Magnetismo e imanes. - Tema 3 Campo magnético A

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Fig. 1. Los polos opuestos se atraen (izquierda), mientas que los polos iguales se repelen (derecha)

Tema 3. Campo magnético

1. Fenómenos magnéticos. Magnetismo e imanes.

Los antiguos griegos tenían conocimiento del magnetismo desde el año 800 a.C. Descubrieron que la magnetita (Fe2O3) tenía la propiedad de atraer pequeños trozos de hierro. A estos cuerpos se les da el nombre de imanes naturales y la propiedad que tienen recibe el nombre de magnetismo. Además de los imanes naturales, existen otras sustancias, como el hierro, el cobalto y el níquel, que pueden adquirir el magnetismo. A estos cuerpos se les da el nombre de imanes artificiales.

En 1269, Pierre de Maricourt descubrió que los imanes tenían dos polos magnéticos, que corresponden a los extremos del mismo y, es donde se presenta la atracción magnética; entre los polos existe una zona neutra en donde el imán no ejerce atracción. También descubrió que los polos análogos se repelen y los opuestos se atraen, y que los polos de un imán no se pueden separar, ya que al dividirlo se vuelven a tener dos polos norte y sur.

Los polos de un imán se denominan norte y sur, porque un imán se orienta según los polos geográficos de la Tierra, que es un imán natural.

1.1. Imanes y magnetismo.

(2)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 2 de 38 Fig. 2. Magnetismo terrestre.

1.2. Comportamiento de la materia frente a los imanes.

Dependiendo de cómo se comporten las sustancias frente al magnetismo, se pueden clasificar en:

Ferromagnéticas: se imantan fácilmente y mantienen sus propiedades magnéticas durante bastante tiempo. Son fuertemente atraídas por los imanes. Son hierro, cobalto, níquel y sus aleaciones.

Paramagnéticas: son atraídas por un imán, si bien su magnetización no es duradera, es decir, se orientan muy poco algunos de sus imanes internos. Son oxígeno, aluminio o paladio.

Diamagnéticas: son sustancias repelidas levemente por un imán. Ello es debido a que sus imanes internos se orientan en sentido contrario. Son plomo, plata o agua. 1.3. El magnetismo terrestre. Fuerzas atractivas y repulsivas entre los polos

magnéticos

En 1600, William Gilbert descubrió que la Tierra es un imán natural con polos magnéticos próximos a los polos geográficos norte y sur. (Como el polo norte de la aguja de una brújula apunta al norte geográfico, a lo que llamamos polo norte es realmente un polo sur, como se ilustra en la figura 2.)

(3)

1.4. Relación entre electricidad y magnetismo.

La relación entre electricidad y magnetismo fue descubierta en 1819 cuando Hans Christian Oersted encontró que una corriente eléctrica desviaba la aguja de una brújula. Poco después, André Ampère formuló leyes cuantitativas para calcular la fuerza magnética ejercida por u conductor sobre otro conductor eléctrico que porta corriente.

En los primeros años de la década de 1830, Michael Faraday y Joseph Henry demostraron mediante experimentos independientes que un campo magnético variable produce un campo eléctrico. Hacia 1860, James Clerk Maxwell, demostró que un campo eléctrico variable genera un campo magnético.

2. Campo magnético.

Un campo magnético es la región del espacio que rodea a una carga eléctrica móvil o que rodea a cualquier sustancia magnética en la que se ponen de manifiesto fuerzas magnéticas.

Una carga eléctrica en reposo crea un campo eléctrico, pero si la carga se mueve crea, además, un campo magnético.

La intensidad del campo magnético en un punto se mide por medio de una magnitud vectorial denominada campo magnético o inducción magnética B.

2.1. Líneas de campo magnético.

El campo magnético se representa mediante líneas de campo magnético o líneas de inducción magnéticas. Estas líneas se trazan de forma que:

 Son tangentes en cada punto al vector campo magnético y tienen el mismo sentido que él.

 La densidad de las líneas de campo en un punto es proporcional al módulo del vector campo magnético.

A diferencia de lo que sucede con los campos gravitatorio y eléctrico, las líneas de campo magnético siempre son cerradas, salen del polo norte y entran por el polo sur, y no indican la dirección de la fuerza que es perpendicular al campo magnético (Fig. 3 izquierda).

(4)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 4 de 38 Fig. 3. Líneas de campo creado por una barra imantada (izquierda). Líneas de

campo magnético producido por una corriente rectilínea (derecha).

2.2. Efecto de un campo magnético sobre una carga móvil.

Experimentalmente se demuestra que una carga q que se mueve con velocidad v dentro de un campo magnético B sufre una fuerza F que cumple:

1. La fuerza es proporcional a la carga q.

2. La fuerza es proporcional a la velocidad v de la partícula. 3. La fuerza es perpendicular a v y B.

4. La fuerza es proporcional al senθ, donde θ es el ángulo que forman la velocidad v y el campo magnético B. Si v es paralela con B, la fuerza es nula.

Estas observaciones pueden resumirse escribiendo la fuerza magnética en la forma:

Fqv B

(5)

Fig. 4. Regla de la mano derecha para determinar la dirección de la fuerza magnética que actúa sobre una partícula con carga moviéndose a velocidad ven un campo magnético B. La fuerza magnética es perpendicular tanto a v como a B, su sentido es el de un tornillo que gira desde v hasta Bpor el camino más corto y el pulgar señala la dirección de F. Si la carga es positiva, la fuerza magnética está hacia arriba, paralela a la dirección en la cual apunta el pulgar. Si la carga es negativa, la fuerza magnética está hacia abajo, antiparalela a la dirección en la cual apunta el pulgar.

Fig. 5. a) v y B paralelos. b) v y Bformando un ángulo ∅. c) v y B perpendiculares.

Como F es perpendicular a ambos v y B, resulta perpendicular al plano definido por estos dos vectores. La dirección de F viene dada por la regla de la mano derecha (Fig. 4).

La magnitud de la fuerza magnética sobre una partícula cargada que se mueve en un campo magnético es:

Fq vBsen

(6)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 6 de 38 Fig. 6. Cuando una carga penetra en un campo magnético formado un ángulo de 0º o 180º, la fuerza es nula sobre la partícula.

Si además existe un campo eléctrico E en esa misma zona la fuerza sería:

FqEqv B

Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eléctrica y magnética:

 La fuerza eléctrica está en la dirección del campo eléctrico, mientras que la magnética es perpendicular al campo magnético.

 La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada independientemente de la velocidad de la partícula, mientras que la fuerza magnética sólo actúa sobre la partícula cargada cuando esta está en movimiento.

 La fuerza eléctrica efectúa trabajo al desplazar la partícula cargada, mientras que la fuerza magnética asociada a un campo magnético estable no.

A partir de la fuerza de Lorentz se ve que la unidad del campo magnético en el SI es el newton por colombio-metro por segundo, el cual se llama tesla (T): 1T = N

C m/ s Puesto que un culombio por segundo se define como un amperio: 1T = 1 N

A m

Un tesla es cuando una carga de un culombio que se mueve con una velocidad de 1 m/s perpendicular al campo magnético experimenta una fuerza de 1 N.

También se utiliza otra unidad llamada gauss (G): 1 T = 104 gauss.

2.3. Movimiento de partículas cargadas en el interior de campos magnéticos.

La fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada en movimiento es siempre perpendicular a la velocidad. Por tanto, la fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula y no modifica su energía cinética. La fuerza magnética sólo modifica la dirección de la velocidad pero no su módulo.

a) Si una carga penetra en un campo formando un ángulo de 0º o 180º no estará sometida al efecto de la fuerza magnética:

0

(7)

Fig. 7. Trayectoria de una carga q que se mueve en el interior de un campo magnético B con una velocidad

vperpendiculares entre sí.

b) Si una carga penetra en un campo formando un ángulo de 90º describirá un movimiento circular (Fig.7). (en esta figura y en las siguientes, seguiremos el convenio de que ⊗ representa un vector B dirigido hacia dentro del papel, mientras que ⊙ nos representa un vector B dirigido hacia fuera del papel). La fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular.

Igualando ambas fuerzas:

2

m c

v

F F qvB m

r

  

El radio de curvatura será:

2

mv mv

r r

qvB qB

  

El periodo del movimiento circular es el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa alrededor del círculo:

2

2 2

mv qB

r m

T

v v qB

 

 

 

 

  

La frecuencia del movimiento circular es la inversa del periodo: 1

2 qB f

Tm

 

(8)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 8 de 38 Fig. 8. Cuando una partícula cargada posee un componente de velocidad paralelo a un campo magnético y otro perpendicular al mimo, se mueve en una trayectoria helicoidal alrededor de las líneas del campo.

Fig. 9. Selector de velocidades.

c) Si una carga penetra oblicuamente en un campo magnético uniforme describirá un movimiento helicoidal (Fig. 8). La velocidad puede descomponerse en dos componentes, v ∥ paralela a B(contribuye al avance de la partícula) y v ⊥ perpendicular a B(contribuye a la descripción de un círculo).

Selector de velocidades El selector de velocidades es un aparato que proporciona un haz de partículas que se mueven con la misma velocidad.

Para lograr esto, establecemos entre dos placas paralelas una diferencia de potencial que nos suministra un campo eléctrico uniforme, y perpendicularmente a

él un campo magnético también uniforme. Una disposición de campos perpendiculares como ésta se denomina campos cruzados. Si q es positiva, la fuerza eléctrica de magnitud qE está dirigida hacia abajo y la fuerza magnética de magnitud qvB está dirigida hacia arriba (Fig. 9). Si la carga es negativa, está invertidas ambas fuerzas. Las dos fuerzas se equilibraran si qE = qvB, o sea si:

E v

(9)

Fig. 10. Espectrómetro de masas.

Espectrómetro de masas

El espectrómetro de masas es un aparato que separa iones atómicos y moleculares (partículas cargadas) cuya razón

masa/carga sea diferente midiendo el radio de sus órbitas circulares en un campo magnético conocido. Las partículas cargadas se envían primer a través de un selector de velocidad y luego a una región dónde el campo magnético causa que las partículas se muevan en una trayectoria semicircular y golpean un placa fotográfica en un punto. Si los iones están con carga positiva, el haz se desvía hacia arriba como se muestra

en la figura 10. Si los iones están con carga negativa, el haz se desviaría hacia abajo. De acuerdo con la fuerza de Lorentz:

m B r

q v

 

en donde B es el campo magnético, r el radio de la órbita circular y v la velocidad de la partícula.

Es muy útil en la separación de iones de isótopos. Ciclotrón

El ciclotrón es un aparato destinado a proporcionar una gran velocidad a partículas electrizadas (Fig. 11).

El funcionamiento del ciclotrón se basa en el hecho de que el periodo de movimiento de las partículas cargadas en el interior de un campo magnético uniforme es independiente de la velocidad de la partícula y del radio de la trayectoria circular:

B q

m T

  2

2

2

2

v q B r r m

m q v B v

r m v q B

r m

T

v q B

        

 

 

 

(10)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 10 de 38 Fig. 11. Dibujo esquemático de un ciclotrón. Se ha omitido la cara del polo superior del imán.

Fig. 12. Segmento de conductor rectilíneo.

Las Des se mantienen a una diferencia de potencial ∆V que es alterna en el tiempo con periodo T, escogido de modo que sea igual al periodo del ciclotrón dado por la ecuación anterior.

En cada semirrevolución, la partícula gana una energía cinética q·V y se mueve en una órbita semicircular de radio cada vez mayor hasta que abandona el campo magnético. En un ciclotrón típico, una partícula puede realizar de 50 a 100 revoluciones.

La energía cinética de una partícula que emerge de un ciclotrón es:

2 2 2 2

1

2 2

c

q B r

E mv

m

 

2.4. Efecto de un campo magnético sobre un conductor rectilíneo.

Si un hilo conductor por el que circula una corriente se sitúa en el interior de un campo magnético (Fig. 12), existe una fuerza que se ejerce sobre el conductor que es la suma de las fuerzas que sufre cada una de las partículas cargadas.

 

d F dq v B

dq d L

I dq I dt d F I dt B I d L B

dt dt

d L v

dt

  

 

          

 

 

 

Si el campo magnético es uniforme: B

AB A

FI d L B I LB

Para un conductor rectilíneo y campo magnético uniforme:

FI L B

(11)

Fig. 13. Efecto de un campo magnético sobre una espira.

Fig. 14. La figura anterior vista desde arriba.

L es un vector cuyo módulo coincide con la longitud del hilo de corriente, y su dirección y sentido coinciden, con el de la corriente.

F es perpendicular al conductor (L) y al campo (B). Su sentido coindice con el de un tornillo que gira desde la corriente (apuntando en su sentido, L) hasta B por el camino más corto. Su módulo es F   I L B sen, donde θ es el ángulo que forman L y B.

2.5. Efecto de un campo magnético sobre una espira cuadrada.

Si en lugar de un conductor rectilíneo colocamos una espira rectangular dentro del campo magnético, se produce un par de fuerzas que tiende a producir una rotación en la espira (Fig. 13 y Fig. 14).

Cada par de fuerzas vale:

F = −F = I ∙ l ∙ B

siendo l = PR

El momento de torsión de este par de fuerzas es:

S B I d B l I d F

M        

siendo d = PP´ y S = l ∙ d la superficie de la espira.

Si el vector S forma un ángulo con el campo magnético B:

M   F d sen

por lo que queda:

M    I B S sen

El momento del par de fuerzas que hace girar una espira que está en un campo magnético es:

MI S B

(12)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 12 de 38 Fig. 15. Campo magnético de una carga móvil.

Si llamamos momento magnético de una espira a: mI SM  m B

Una aplicación son los amperímetros y voltímetros.

Los galvanómetros son instrumentos de medida de corrientes que se emplean para medir la intensidad de una corriente eléctrica a partir de la fuerza ejercida por un campo magnético externo sobre dicha corriente.

Los amperímetros se utilizan para medir intensidades de corriente mucho mayores. Los voltímetros son instrumentos para medir la diferencia de potencial entre dos puntos.

3. Campo magnético producido por distintas distribuciones de corriente.

En un campo magnético, la intensidad del mismo en cada punto depende del elemento que cree el campo.

3.1. Campo magnético creado por una carga puntual móvil.

Cuando una carga puntual q se mueve con velocidad v, se produce un campo magnético B en el espacio dado por la expresión:

0 2

4

qv r B

r

 

 

en donde rur es un vector unitario que apunta desde la carga al punto del campo P (Fig. 15) y 0 es una constante de proporcionalidad llamada permeabilidad magnética del vacío, de valor:

7 7 2

0 4 10 T× m/ A 4 10 N/ A

En otro medio que no sea el vacio, se obtiene μ, multiplicando la permeabilidad del vacío por un número abstracto (igual para todos los sistemas) llamado, permeabilidad relativa al vacío (μ´):

0 ´

(13)

Fig. 16. Campo magnético creado un elemento de corriente.

Fig. 17. El campo magnético dB

debido a un elemento de corriente dl

en el centro de la espira circular, es perpendicular al plano del dibujo y hacia afuera del papel

Según la ecuación 0 2

4

qv r B

r

 

 , el campo magnético creado por una carga móvil tiene las siguientes características:

1. La magnitud de B es proporcional a la carga q y a la velocidad v y varía inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la carga al punto del campo.

2. El campo magnético es cero a lo largo de la línea de movimiento de la carga. En otros puntos del espacio es proporcional a senθ, siendo θ el ángulo formado por el vector velocidad v y el vector r desde la carga al punto del campo.

3. La dirección de B es perpendicular a ambos, la velocidad v y el vector r. Posee el sentido dado por la regla de la mano derecha cuando v gira hacia r.

3.2. Campo magnético creado por corrientes eléctricas. Ley de Biot-Savart. El campo magnético d B producido por un

elemento de corriente Idl, se obtiene remplazando qv por Id l. Así resulta:

0 2

4

Idl r d B

r

 

 

lo cual se conoce como ley de Biot-Savart. El campo magnético es perpendicular, tanto al plano determinado por el elemento de corriente y el punto y de sentido el de giro de un sacacorchos que avanza con la corriente.

3.2.1.Campo magnético creado en el centro de una espira circular. El vector inducción en el campo magnético

creado en el centro de una espira circular, es perpendicular al plano de la espira, de sentido el de avance de un sacacorchos que gira con la corriente y cuyo módulo es directamente proporcional a la intensidad de la corriente e inversamente proporcional al radio de la espira.

0

2 I d B

R  

(14)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 14 de 38 Fig. 17. Campo magnético creado por una corriente rectilínea.

Fig. 18. Campo magnético dB creado por un elemento dl.

para valor de la inducción producida por cada uno de los elementos de una espira circular, en su centro (Fig. 17):

0 2 4 Idl d B R   

Todos estos campos se suman aritméticamente, ya que tienen la misma dirección (perpendicular al plano del circuito) y el mismo sentido (hacia el exterior), con lo que:

0 0 0 0

2 2 2 2

4 4 4 2

I I

Idl I

B dl R

R R R R

  

  

 

3.2.2.Campo magnético creado por una corriente rectilínea indefinida. El vector inducción en un punto del campo

magnético creado por una corriente rectilínea indefinida es perpendicular al plano formado por la corriente y el punto; de sentido el de giro de un sacacorchos que avanza con la corriente, y su módulo es directamente proporcional a la intensidad de la corriente e inversamente proporcional a la mínima distancia del punto considerado hasta el conductor (Fig. 17).

0 2 I B a   

El valor del campo elemental dB creado en el punto P por un elemento del hilo conductor dl (Fig. 18) vendrá dado por la expresión:

0 2 4 Idlsen dB r    

y de la figura 18, obtenemos:

2

; cos ;

cos 2

cos a

r sen l atag

a dl d                

sustituyendo en la anterior:

(15)

Fig. 19. Fuerzas entre corrientes paralelas.

Fig. 20. Fuerzas entre corrientes antiparalelas.

e integrando para los límites θ = −π/2 y θ = π/2, abarcamos todo el conductor rectilíneo indefinido, obteniéndose:

/ 2

/ 2

0 0 0 0

/ 2 / 2

cos 2

4 4 4 2

I I I I

B d sen

a a a a

               

  

3.2.3.Acciones entre corrientes. Definición de amperio.

Consideramos dos corrientes, de longitud L, paralelas I1 e I2 en el mismo sentido y

separadas por una distancia d (Fig. 19). La corriente I1crea a su alrededor, a una

distancia d, a la que se encuentra I2, un

campo B1 que viene dado por:

0 1 1 2 I B d   

La fuerza magnética que sufre el conductor 2 es:

12 2 1 12 2 1

F   I L BF   I L B

. Por tanto:

0 1 12 2

2 I F I L

d

 

  

siendo su dirección y sentido los indicados en la figura.

Del mismo modo se hallaría la fuerza F21 que ejerce el segundo conductor sobre un

segmento de longitud L del primero, que es igual en magnitud y opuesta en dirección a

12 F : 0 2 21 1 2 I F I L

d

 

  

(16)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 16 de 38 Fig. 21. Circulación de campo magnético producido por una corriente rectilínea e indefinida a lo largo de una curva cerrada. Sobre una circunferencia que rodea al conductor, el campo magnético es constante y tangente a la misma.

La fuerza por unidad de longitud es igual para los dos casos:

0 1 2 12 21

2 I I

F F

L L d

 

 

La fuerza entre dos conductores paralelos se usa para definir el amperio de la forma siguiente:

El amperio es la intensidad de una corriente que circulando por dos conductores rectilíneos de longitud infinita y paralelos, situados en el vacío, a la distancia de 1 metro, produce en cada metro de uno de ellos una fuerza de 2 ∙ 10-7 newtons.

Se puede comprobar que el valor numérico de 2 ∙ 10-7 N se obtiene para

7

0 4 10 T× m/ A

, I1 = I2= 1 A y d = 1 m.

3.3. Ley de Ampère. Aplicaciones.

Existe una ecuación análoga de la ley de Gauss para el campo magnético, llamada ley de Ampère, la cual puede enunciarse de la siguiente forma:

La circulación del vector campo magnético a lo largo de una curva cerrada que rodea a un conductor por el que circula una corriente de intensidad I, es igual al producto de la constante μ0 por la intensidad que penetra en el área limitada por la curva (Fig. 21).

En forma matemática es:

0

0 0

2 , cualquier curva cerrada

2 =

C

C C

I

B dl B dl r I B dl I C

r

     

A diferencia del campo eléctrico y del campo gravitatorio, el campo magnético no es conservativo.

Para el campo eléctrico:

E dl 0 Para el campo gravitatorio:

g dl 0

(17)

Fig. 22. Las líneas del campo magnético creado por una corriente rectilínea son circunferencias.

Fig. 23. Solenoide.

Fig. 24. Líneas de campo para un solenoide.

Fig. 25. Campo magnético en el interior de un solenoide con N espiras por unidad de longitud.

3.3.1.Campo magnético creado por un conductor rectilíneo e indefinido portador de una corriente.

La figura 22 muestra una curva circular alrededor de un punto sobre un conductor largo en el centro del mismo. El campo magnético es tangente al círculo y posee la misma magnitud en cualquier punto del círculo. Según esto:

0 0

2

2 I

B dl B r I B

r

 

    

3.3.2.Campo magnético creado por un solenoide. Un solenoide es un alambre enrollado en forma de hélice (Fig. 23) que puede considerarse como una serie de espiras de corrientes circulares situadas paralelamente que transportan la misma corriente.

En su interior se produce un campo magnético uniforme.

Un solenoide se comporta como un imán, ya que posee una cara N en uno de sus extremos y una

cara S en el otro; las líneas de campo tienen la forma y sentido indicado en la figura 24. La ley de Ampère puede utilizarse para determinar la expresión del campo magnético dentro de un solenoide formado por N espiras, suponiendo que el campo es uniforme dentro del solenoide y nulo en el exterior. Para ello escogemos el rectángulo abcd indicado en la figura 25 para nuestra curva

cerrada. La integral sobre la trayectoria rectangular cerrada es:

b c d a

a b c d

B dl  B dl  B dl  B dl  B dl

(18)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 18 de 38 Fig. 26. Campo magnético en el interior de un toroide.

pero: 0

d

c

B dl 

puesto que B= 0 en el exterior. Además: 0

c a

b d

B dl  B dl 

porque B y d l en los tramos bc y da son siempre perpendiculares, luego el producto escalar será nulo. Por tanto el valor de:

b b b

a a a

B dl  B dl  Bdl B dl Bl 

La ley de Ampère aplicada a esta trayectoria produce:

0 0 0

= N

B dl Bl NI B I nI

l

  

    

donde n = N/l es el número de espiras por unidad de longitud. 3.3.3. Campo magnético creado por un toroide.

Un toroide está formado por un conjunto de espiras enrolladas alrededor de una figura en forma de neumático (Fig. 26).

La ley de Ampère puede utilizarse para determinar la expresión del campo magnético dentro de un toroide formado por N espiras a una distancia r del centro. Por simetría, la magnitud del campo es constante en este círculo y tangente a él, por lo que B dl Bdl.La ley de Ampère aplicada al círculo produce:

0 0

2

2

= NI

B dl B r NI B

r

  

   

(19)

Fig. 27. El flujo magnético a través de un elemento de área dA es:

cos

BdA

 

Fig. 28. a) Campo magnético paralelo al plano. b) Campo magnético perpendicular al plano.

4. Flujo magnético.

El flujo magnético es el número de líneas de campo que atraviesan una superficie.

El flujo magnético a través de un elemento de área dA (Fig. 27) es:

cos

B d A BdA

   

donde d A es un vector normal a la superficie. El flujo total que atraviesa la superficie es:

A

B d A



Si B es uniforme y la superficie plana, el flujo a través del plano es:

cos

B A BA

   

Si el campo magnético es paralelo al plano (Fig. 28a) entonces θ = 90ºy el flujo es cero.

Si el campo es perpendicular al plano (Fig. 28b) entonces θ = 0ºy el flujo es BA (el valor máximo).

La unidad de flujo es el weber (Wb); 1 Wb = 1 T ∙ m2.

Si se trata de una bobina de N espiras, el flujo total a través al producto de N por el flujo que atraviesa una sola espira:

cos NBA

 

Si B no es constante en todo el área, el flujo es:

A A

N B d A NBdA

(20)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 20 de 38

5. Ley de Gauss del magnetismo.

La ley de Gauss del magnetismo establece que el flujo magnético neto a través de cualquier superficie cerrada es siempre cero:

0 B d A



 

Este enunciado se basa en que no existen los polos magnéticos asilados (monopolos), es decir, las líneas de campo son siempre cerradas (todas las líneas que salen vuelven a entrar y las que salen vuelven a salir) (Fig. 24).

6. Ley de Ampère-Maxwell.

La ley de Ampère sólo es válida si el campo eléctrico es constante con el tiempo. Maxwell modificó la ley de Ampère para incluir campos eléctricos que varían con el tiempo.

La ley de Ampère-Maxwell establece que la circulación del vector campo magnético a lo largo de una curva cerrada C es igual a μ0 veces la corriente que atraviesa una

superficie limitada por la citada curva más el producto de μ0 0 por la variación respecto

al tiempo del flujo eléctrico que atraviesa la superficie:

0 0 0

C S

d

B dl I E d S

dt

 

   

Maxwell introdujo este término adicional en la ley de Ampère para recoger la evidencia experimental de la generación de un campo magnético cuando varía con el flujo del campo eléctrico.

7. Inducción electromagnética.

La inducción electromagnética es la producción de corriente eléctrica por la acción de campos magnéticos.

(21)

Fig. 29. Cuando un imán se mueve hacia, o alejándose de una espira, en ésta se produce una corriente eléctrica en los sentidos indicados para cada caso.

Fig. 30. El galvanómetro detecta corriente eléctrica cuando se abre o se cierra el circuito de la derecha, y cuando se modifica la resistencia R.

Fig. 31. El experimento de Faraday.

7.1. Diversos experimentos por los que se ponen de manifiesto las corrientes inducidas. El experimento de Faraday

Si una espira que tiene un galvanómetro intercalado G (Fig. 29) se le acerca o se le aleja un imán se observa que el galvanómetro acusa un paso de corriente. En el circuito ha aparecido una fem inducida capaz de hacer circular tal intensidad.

Además, observando el galvanómetro vemos que si se acerca o se aleja el imán y según se acerque un polo u otro, la corriente circula en los sentidos indicados en la Figura 28, es decir:

Al acercar un polo N se origina en el circuito una cara N que lo repele.

Al acercar un polo S se origina en el circuito una cara S que lo repele.

Al alejar un polo N se origina en el circuito una cara S que lo atrae.

Al alejar un polo S se origina en el circuito una cara N que lo atrae.

Al parar el imán, el galvanómetro vuelve a cero.

Realizó las mismas experiencias pero sustituyendo el imán por otra espira conectada a una pila y a una resistencia variable (Fig. 30), al variar el valor de la resistencia, la intensidad que circula por la otra espira varía.

El experimento realizado por Faraday se ilustra en la figura 31. La bobina se enrolla alrededor de un núcleo de hierro para intensificar el campo magnético producido por la corriente que circula por ella. En el instante que se cierra el interruptor en el circuito primario, el galvanómetro del circuito secundario se desvía en una dirección y después vuelve a cero. Lo

(22)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 22 de 38

Como resultado de estas experiencias Faraday concluyó que una corriente eléctrica puede inducirse en un circuito (el circuito secundario en la configuración) mediante un campo magnético variable. Es usual afirmar que el campo magnético variable generado por la corriente del circuito primario induce una fem en el circuito secundario.

La fem (ε) es el trabajo realizado por unidad de carga a lo largo del circuito:

cEdl

 

Su unidad en el SI es el voltio (V). 7.2. Ley de Faraday.

Los experimentos mostrados tienen una cosa en común: en cada caso se induce una fem en el circuito cuando el flujo magnético a través del circuito cambia con el tiempo. En general:

La fem inducida en un circuito es directamente proporcional a la rapidez de cambio en el tiempo del flujo magnético a través del circuito.

Este enunciado, conocido como ley de Faraday, puede escribirse como: d

dt

   

donde 

B d A es el flujo magnético a través del circuito. El signo negativo de la ley de Faraday está relacionado con la dirección de la fem inducida, lo cual discutiremos más adelante.

Si el circuito es una bobina que consta de N espiras idénticas, la fem originadas en cada una de ellas se superponen y la fem total inducida en la bobina está dada por la expresión:

d N

dt

   

Si consideramos una espira plana, la fem puede expresarse como:

( )

d

BAcos dt

(23)

Fig. 32. Movimiento de un imán acercándose (a) o alejándose (b) a una espira.

A partir de esta expresión se ve que puede inducirse una fem en el circuito de varias maneras:

 La magnitud de B puede variar con el tiempo.

 El área encerrada por la espira puede cambiar con el tiempo.

 El ángulo θ entre B y la normal a la espira puede cambiar con el tiempo.

 Puede ocurrir cualquier combinación de las anteriores. 7.3. Ley de Lenz.

La dirección y sentido de la fem y de la corriente inducidas pueden determinarse mediante la ley de Lenz:

La fem y la corriente inducidas en un conductor, poseen una dirección y sentido tal que tiende a oponerse a la causa que las produce, es decir, a la variación de flujo magnético.

La figura 32 muestra un imán que se mueve acercándose o alejándose a una espira. Al acercar el polo norte del imán al circuito se genera una corriente que induce un campo magnético que repele al imán (Fig. 31a). Al alejar el polo norte del imán al circuito se genera una corriente que induce un campo magnético que atrae al imán (Fig. 31b).

7.4. Fem de movimiento.

La fem de movimiento es la fem inducida en un conductor que se mueve a través de un campo magnético constante.

(24)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 24 de 38 Fig. 33. En las condiciones de este esquema, en la barra se induce una fem de movimiento de valor: Blv Supongamos un conductor recto de longitud l

que se mueve en una dirección perpendicular al campo magnético uniforme dirigido hacia dentro del papel con velocidad constante (Fig. 33). Los electrones en el conductor experimentan una fuerza Fqv B que está dirigida hacia abajo. Influenciados por esta fuerza, los electrones se moverán al extremo inferior del conductor y se acumularán ahí, dejando una carga positiva neta en el extremo superior. Como resultado de esta separación de carga, se produce un campo eléctrico dentro del conductor que ejerce una fuerza sobre los electrones en sentido opuesto al campo (por ser las cargas negativas), y en

sentido opuesto a FB. Las cargas se acumulan en ambos extremos hasta que la fuerza magnética qvB se equilibra con la fuerza eléctrica hacia arriba qE. La condición de equilibrio requiere que:

B E

FFqvBqE E vB

El campo eléctrico producido en el conductor (una vez que los electrones dejan de moverse y E es constante) se relaciona con la diferencia de potencial a través de los extremos del conductor de acuerdo con la relación ∆V = El. De este modo:

V El vBl

  

Esta diferencia de potencial es igual a la magnitud de la fem inducida, es decir, la fem de movimiento:

vBl

 

7.5. Inductancia. 7.5.1.Autoinducción.

La autoinducción de un circuito es la formación de corrientes inducidas en el circuito cuando se producen en él variaciones del propio flujo.

Cuando la corriente en una bobina cambia con el tiempo, en ella se induce una fem de acuerdo con la ley de Faraday. La fem autoinducida es:

dI L

dt

  

(25)

Fig. 34. Dos circuitos adyacentes.

Fig. 35. Vista transversal de dos bobinas adyacentes. Una corriente en la bobina 1 establece un flujo magnético, parte del cual pasa por la bobina 2.

corriente que para por el dispositivo. La inductancia tiene la unidad SI de henrio (H), donde 1 H = 1 V ∙ s/A. El henrio es la autoinducción de un circuito en que se origina la fem de un voltio, cuando la intensidad de corriente varía un amperio por segundo.

La inductancia de cualquier bobina: N B

L I

donde B es el flujo magnético que pasa por la bobina y N es el número total de vueltas. La inductancia de un dispositivo depende de su geometría. Por ejemplo, la inductancia de un solenoide es:

2

0 0 0

B

N

N NA N A

B I BA I L

l l I l

   

      

donde A es el área de la sección transversal y l la longitud del solenoide. El símbolo de una autoinducción (o bobina) en un circuito es . 7.5.2.Inducción mutua.

Se produce el fenómeno de inducción mutua cuando dos circuitos suficientemente próximos son capaces de inducir corriente el uno en el otro.

Cuando dos o más circuitos están próximos el flujo magnético que atraviesa a uno de ellos depende de la corriente propia y de la de los circuitos contiguos (Fig. 34). El campo magnético en el punto P posee un componente debido a la corriente del circuito 1, I1, y otro debido a la

corriente en el circuito 2, I1.

El flujo a través de cualquiera de los circuitos es la suma de dos términos uno proporcional a I1 y el otro a I2:

2 2 2 12 1

m L I M I

   m1L I1 1M I21 2 en donde L2 y L1 es la autoinducción del circuito 2 y

1 y M12 es la inductancia mutua de los dos circuitos.

La inductancia mutua depende de la disposición geométrica entre ambos. Como L, se mide en henrios (H).

La inductancia mutua de un sistema de dos bobinas (Fig. 35) está dada por:

2 12 1 21

12 21

1 2

N N

M M M

I I

 

(26)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 26 de 38

Teniendo en cuanta la ley de Faraday, la fem inducida por la bobina 1 en la bobina 2 es:

12 12 1 1

2 2 2 12

2

d d M I dI

N N M

dt dt N dt

      

 

La fem inducida por la bobina 2 en la bobina 1 es:

21 21 2 2

1 1 1 21

1

d d M I dI

N N M

dt dt N dt

      

 

8. Corriente alterna.

Se llaman corrientes alternas a todas aquellas en que la intensidad cambia de sentido periódicamente con el tiempo (Fig. 36b).

Hacia finales del siglo XIX, se planteó un debate de si debería utilizarse la corriente continua o alterna para suministrar energía eléctrica a los consumidores de los Estados Unidos. Thomas Edison trataba de imponer el empleo de la corriente continua mientras que Nikola Tesla y George Westinghouse apoyaban el empleo de corriente alterna. En 1893, se escogió la corriente alterna para iluminar la Exposición Mundial de Chicago y se les proporcionó un contrato a Westinghouse para alimentar los hogares y las fábricas americanas con corriente alterna generada en las Cataratas del Niágara.

La corriente alterna tiene la gran ventaja de que la energía eléctrica puede transportarse a largas distancias a tensiones elevadas y corrientes bajas para reducir las pérdidas de energía en forma de calor por efecto Joule. Luego puede transformarse con las correspondientes corrientes más altas para su empleo ordinario. Los transformadores que realizan estos cambios de tensión y de corriente, funcionan sobre la base de la inducción magnética.

Más del 99 por ciento de la energía eléctrica utilizada hoy en día se produce mediante generadores eléctricos en forma de corriente alterna. La corriente alterna se genera fácilmente mediante inducción magnética en generadores de ca. Aunque los generadores industriales son mucho más complicados están proyectados para producir una fem alterna.

8.1. Generadores.

(27)

Fig. 36. a) Esquema de un generador de ca. Una fem es inducida sobre una espira que gira en un campo magnético b) Gráfica de la fem inducida alterna en la espira en función del tiempo.

El flujo magnético a través de la espira es: cos NBA

 

Cuando la espira gira mecánicamente, el flujo a su través cambia con el tiempo (Fig. 36b) y según la ley de Faraday, se inducirá en la espira una fem. Si el ángulo inicial es δ, al cabo de cierto tiempo t el ángulo será:

t    

en donde ω es la velocidad angular de rotación. Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior:

cos

NBA t

  

La fem en la bobina será:

cos

d d

NBA t NBA sen t

dt dt

           

Esta ecuación puede también escribirse en la forma:

máxsen t

   

en donde:

máx NBA

  

(28)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 28 de 38 Fig. 37. Transformador con N1 espiras

en el primario y N2 espiras en el

secundario.

8.2. Transformadores.

Un transformador es un dispositivo utilizado para elevar o disminuir el voltaje y la intensidad en un circuito sin pérdida apreciable de potencia.

Básicamente están formados por dos solenoides, denominados primario y secundario, de N1 y N2 espiras arrollados en torno a un núcleo

de hierro, como en la figura 37. Si uno de estos circuitos es alimentado por un generador que produce una f.e.m. ε1 esto producirá un flujo

magnético ϕ que atravesará cada espira del solenoide. En este circuito, si suponemos que no se pierde energía en calor, etc. tendremos que toda su ε1 se está invirtiendo en flujo magnético y,

según la ley de Faraday y como el flujo total que atraviesa el circuito es el de una espira, ϕ por todas las N1 espiras que tiene se obtiene que:

1 1 d N dt    

Veamos que sucede para el circuito 2. El hecho de arrollar ambos circuitos a un núcleo de hierro sirve para que casi todo el flujo (siempre se pierde algo) ϕ que atravesaba cada espira del primer circuito lo haga también en las del segundo. De esta manera vamos a suponer que no hay pérdida alguna y que, también para el segundo circuito cada espira es atravesada por el flujo ϕ. En este caso se inducirá una corriente ε2equivalente a la derivada temporal del flujo total con signo menos, esto es:

2 2 d N dt    

y como el término d dt

es el mismo en ambas expresiones si dividimos miembro a miembro tenemos que:

2 2 1 1 N N   

que nos da la relación entre las tensiones de entrada y salida de un transformador.

Ahora bien, este no es un dispositivo “milagroso" y aunque logra transformar un tenue voltaje en otro más alto debe respetar el principio de conservación de la energía, y por tanto las potencias de entrada y salida deberían ser, si no hay pérdidas iguales. Como la potencia es P = Iε esto nos dice que las intensidades se transforman como:

1 1

1 2 1 1 2 2 2 1 2 1

2 2

N

P P I I I I I I

N

 

(29)

Resumiendo: Si elevamos la tensión de un circuito lo hacemos a costa de disminuir su intensidad. Cuando bajamos la tensión de otro a cambio elevamos la intensidad. La potencia, que es el término energético, se mantiene constante.

9. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas. 9.1. Ecuaciones de Maxwell.

Alrededor de 1860, el físico escocés James Clerk Maxwell dedujo que las leyes experimentales de la electricidad y el magnetismo podían resumirse de forma matemática como las ecuaciones de Maxwell.

Las ecuaciones de Maxwell son:

0

S

q E d A

 

Ley de Gauss

0 SB d A 

Ley de Gauss del magnetismo.

B c

d Edl

dt

 

Ley de Faraday

0 0 0 E

c

d

B dl I

dt

 

  

Ley de Ampère-Maxwell

La primera ecuación denominada ley de Gauss, establece que el flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta dentro de la superficie dividida por la constante dieléctrica en el vacío. Esta ley relaciona el campo eléctrico con la distribución de carga que lo crea.

La segunda ecuación denominada ley de Gauss del campo magnético, establece que el flujo magnético neto a través de cualquier superficie cerrada es siempre cero. Esto implica que el número de líneas de campo magnético que entra a un volumen cerrada debe ser igual al número que sale de ese volumen. Esto implica que no existen monopolos magnéticos aislados.

La tercera ecuación denominada ley de Faraday, establece que la fem, que es la integral del campo eléctrico a lo largo de cualquier curva cerrada C, es igual a la variación por unidad de tiempo (con signo negativo) del flujo magnético que atraviesa cualquier superficie S limitada por la curva. Una consecuencia de la ley de Faraday es la corriente inducida en una espira conductora situada en un campo magnético que cambia con el tiempo.

La cuarta ecuación denominada ley de Ampère-Maxwell, establece que la integral o circulación del vector campo magnético a lo largo de una curva cerrada C es igual a μ0

(30)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 30 de 38

superficie. Describe la creación de un campo magnético por campos y corrientes eléctricas.

9.2. Ondas electromagnéticas.

Hemos estudiado cómo un campo eléctrico variable produce un campo magnético que es perpendicular al campo eléctrico y un campo magnético variable produce un campo eléctrico perpendicular al campo magnético. Imaginemos que tenemos un campo eléctrico que varía con el tiempo, éste generará otro magnético perpendicular al eléctrico, éste a su vez otro eléctrico perpendicular a el mismo y paralelo al inicial, y así sucesivamente. Así lo que obtendremos será una onda que se irá propagando.

Maxwell demostró que esta perturbación se propagaba con velocidad c, que en el vacío vale:

0 0

1 c

  

Tomando 0 = 4π ∙ 10-7 T ∙ m/A, y 0 = 8,854 ∙ 10-12 C2/N ∙ m2, se encuentra que c = 2.99792 ∙ 108 m/s. El hecho de que esta velocidad sea igual a la velocidad sea igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell a suponer que la luz es una onda electromagnética.

Estas ondas fueron producidas por primera vez en el laboratorio por Heinrich Hertz en 1887.

La ecuación de onda para un caso en el que el campo eléctrico varía en la dirección x y el magnético en la dirección y, y por lo tanto la onda se propaga en la dirección z (Fig. 38), para una frecuencia y una longitud de onda λ¸ viene dada por:

0

z

EE sen kxwt

0

y

BB sen kxwt

donde E0 y B0 son los valores máximo de los campos. En número de onda es la constante k = 2π/λ. La frecuencia angular es ω = 2πν. La relación ω/k es igual a la velocidad c.

2

2 / c

k

  

 

(31)

Fig. 38. Vectores de los campos eléctricos y magnéticos en una onda electromagnética plana .Son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación.

Las ondas electromagnéticas son ondas no materiales, es decir no necesitan de ningún medio para propagarse. Son ondas transversales, es decir, la variación del campo eléctrico y magnético es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Las ondas electromagnéticas transportan energía y cantidad de movimiento.

El espectro electromagnético incluye ondas que cubren un amplio intervalo de longitudes de onda, desde las largas ondas de radio a más de 104 m hasta los rayos gamma a menos de 10-14 m.

(32)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 32 de 38

10. Comparación entre el campo magnético y el campo eléctrico.

 El campo eléctrico es conservativo, pero el campo magnético no lo es.

 En el campo eléctrico existen cargas positivas y negativas, mientras que en el campo magnético no existen monopolos aislados.

 Las cargas eléctricas en reposo originan campos eléctricos, mientras que las cargas en movimiento originan campos eléctricos y magnéticos.

 Ambos son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, pero mientras el campo eléctrico es radial, el campo magnético es perpendicular a la vez a la dirección radial y al movimiento de la carga, tal y como se deduce de las expresiones:

2 r q

E K u

r

0 2

4

qv r B

r

 

(33)

Actividades.

1. Un electrón en un cinescopio de televisión se mueve hacia el frente del tubo con una velocidad de 8,0 ∙ 106

m/s a lo largo del eje x. Rodeando el cuello del tubo existen bobinas de alambre que crean un campo magnético de 0,0025 T de magnitud, dirigido a un ángulo de 60º con el eje x y que se encuentra en el plano xy. Calcule la

fuerza magnética sobre el electrón y la aceleración del mismo. Datos: qe =1,6 ∙ 10−19 C; me =9,11 ∙ 10−31 kg.

2. Una carga q = −3,64 10−9 C se mueve con una velocidad de 2,75 ⋅ 10−6 m/s i. ¿Qué fuerza actúa sobre ella si el campo magnético es de 0,38 T j?

3. Un electrón penetra normalmente en un campo magnético uniforme de 15 ⋅ 10−4 T. La velocidad es de 2 ⋅ 106 m/s. Calcular:

a) La fuerza que actúa sobre el electrón. b) El radio de la órbita que describe.

c) El tiempo que tarda en recorrer esa órbita. Datos: qe =1,6 ∙ 10−19 C; me =9,11 ∙ 10−31 kg.

4. Un protón de masa m = 1,67 ⋅ 10−27 kg, y carga q = e = 1,6 ⋅ 10−19 C se mueve en un círculo de radio 21 cm, perpendicularmente a un campo magnético B = 0,4 T. Determinar:

a) El periodo del movimiento. b) La velocidad del protón.

5. Sobre un protón que posee una energía cinética de 4,5 MeV actúa en dirección normal a su trayectoria un campo magnético uniforme de 8 T. Determinar:

a) Valor de la fuerza que actúa sobre él. b) El radio de la órbita descrita.

c) El número de vueltas que da en 1 s.

Datos: 1 eV =1,6 ∙ 10−19 J; qp =1,6 ∙ 10-19 C; mp =1,7 ∙ 10−27 kg.

6. Se aplica una diferencia de potencial de 100 V a las armaduras de un condensador, planas, paralelas, horizontales, separadas por 1 cm de distancia, y en el vacío. Calcular:

a) La intensidad del campo eléctrico entre dichas láminas.

(34)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 34 de 38

7. Un segmento de cable de 3 mm de longitud transporta una corriente de 3 A en la dirección x. Se encuentra en el interior de un campo magnético de magnitud 0,02 T en el plano xy formando un ángulo de 30º con el eje xy, como indica la figura. ¿Cuál es la fuerza magnética ejercida sobre el segmento del cable?

8. Una espira circular de radio 2 cm posee 10 vueltas de alambra y transporta una corriente de 3 A. El eje de la espira forma un ángulo de 30º con un campo magnético de 0,8 T. Determinar el momento que actúa sobre la espira.

9. Una carga puntual de magnitud q1 = 4,5 nC se

mueve con velocidad 3,6 ∙ 107 m/s paralelamente al eje x a lo largo de la línea y = 3m. Determinar el campo magnético producido en el origen por esta carga situada en el punto x = −4 m, y = 3 m. como indica la figura. Dato: 0 410 N/ A7 2

10. Por una espira de 10 cm de radio circula una intensidad de 10 A. ¿Cuál será el módulo del campo magnético en el centro de la espira? Dato: 0 410 N/ A7 2. 11. Un cable conductor recto e indefinido está recorrido por una corriente de 2 A.

¿Cuánto vale el campo magnético a 10 cm de distancia? Dibuja dirección y sentido. Dato: 0 410 N/ A7 2.

12. Por un solenoide de 500 espiras distribuidas a lo largo de 50 cm circula una corriente de 3 A. Determina el campo magnético en su interior. ¿Qué ocurrirá si la longitud del solenoide se reduce a 10 cm? Dato: 0 410 N/ A7 2.

13. Dos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos, perpendiculares al plano XY, pasan por los puntos A (80, 0) y B (0, 60) según indica la figura, estando las coordenadas expresadas en centímetros.

Las corrientes circulan por ambos conductores en el mismo sentido, hacia fuera del plano del papel, siendo el valor de la corriente I1 de 6 A. Sabiendo que I2 > I1 y que el valor del campo magnético en el punto P, punto medio de la recta que une ambos conductores, es de B = 12 ⋅ 10−7 T, determine:

(35)

b)El módulo, la dirección y el sentido del campo magnético en el origen de coordenadas O, utilizando el valor de I2 obtenido anteriormente.

Dato: 0 410 N/ A7 2

14. Dos conductores rectilíneos, paralelos y de gran longitud, están separados por una distancia de 10 cm. Por cada uno de ellos circula una corriente eléctrica en sentidos opuestos, como se indica en la figura, de valores I1 = 8 A e I2 = 6 A.

a) Determina la expresión vectorial del campo magnético en el punto P situado entre los dos conductores a 4 cm del primero.

b)Determina la fuerza que por unidad de longitud ejerce el primer conductor sobre el segundo. Para ello haz un dibujo en el que figuren la fuerza y los vectores cuyo

producto vectorial te permiten determinar la dirección y sentido de dicha fuerza. ¿La fuerza es atractiva o repulsiva?

Dato: 0 410 N/ A7 2

15. Un toroide de 5 cm de radio está formado por 500 espiras. Calcula la corriente que le debe llegar para que el campo en el círculo central del toroide sea de 1,5 mT. ¿Y si el núcleo del toroide fuese de hierro dulce? Datos:0 410 N/ A7 2;

5000 hierro dulce

  .

16. Dos barras rectilíneas de 50 cm de longitud y separadas 1,5 mm situadas en un plano vertical transportan corrientes de 15 A de intensidad de sentidos opuestos. ¿Qué masa debe situarse en la barra superior para equilibrar la fuerza magnética de repulsión? Dato: g = 9,8 m/s2.

17. El plano de una espira circular de 15 cm de diámetro está situado perpendicularmente a un campo magnético de 0,05 tesla. ¿Cuánto vale el flujo que lo atraviesa?

18. En un campo magnético uniforme de 1,5 T se introduce una bobina de 50 espiras de 4 cm de diámetro. Determina el flujo que la atraviesa si:

a) El campo tiene la dirección del eje de la bobina.

b)El campo forma un ángulo de 30° con el eje de la bobina.

c) El campo forma un ángulo de 30° con la superficie de la primera espira de la bobina.

(36)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 36 de 38

20. Una bobina de 100 espiras tarda 0,05 s en pasar desde un punto donde el flujo magnético vale 20 ∙ 10-5 Wb a otro donde el flujo es 5 ∙ 10-5 Wb. Halla la fem inducida.

21. Una bobina de 50 espiras, de 200 cm2 cada una, gira con una velocidad de 300 rpm perpendicularmente a un campo magnético B = 0,5 T. Determina la fem inducida. Suponer que inicialmente el plano de la bobina es perpendicular al campo magnético y que a un tiempo t´ ha girado 1/4 de vuelta.

22. La espira cuadrada de la figura, de 20 cm de lado, es atravesada por un campo magnético uniforme B = 2 T, que entra desde arriba en dirección perpendicular al plano del papel. Si disminuimos el campo de forma uniforme hasta B = 0 en un tiempo de 1 minuto, ¿cuál es la fuerza electromotriz inducida y el sentido de la misma?

23. Un imán como el de la figura se aproxima a una espira conductora con velocidad v0.

¿Aumenta o disminuye el flujo magnético en la espira? ¿Se inducirá una corriente en la espira? ¿En qué dirección, horario o antihorario mirando desde el imán? Justifica tus respuestas.

24. Una barra metálica de 50 cm se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme con una velocidad de 4 m/s. Se observa que entre los extremos de la barra hay una diferencia de potencial de 0,8 V. Calcula la intensidad del campo magnético en la zona.

25. Por una bobina que tiene 500 espiras muy próximas entre sí y de 10−2 H de autoinducción circula una corriente de 10−2 A. Determine el flujo magnético a través del arrollamiento.

26. Un anillo de Rowland de 8 cm de radio medio y 10 cm2 de sección tiene arrolladas 800 vueltas de un anillo recubierto de un material aislante. El núcleo tiene una permeabilidad relativa de 1500. Calcular: a) La autoinducción del arrollamiento.

b)Si la corriente que circula por el conductor aumenta a razón de 10 A/s, ¿qué valor toma la fem inducida?

Dato: 0 4 10 N/ A7 2

(37)

27. Una bobina circular de 4 cm de radio y 30 vueltas se sitúa en un campo magnético dirigido perpendicularmente al plano de la bobina cuyo modulo en función del tiempo es B(t) = 0,01 ⋅t + 0,04 t2, donde t esta en segundos y B, en teslas. Determina:

a) El flujo magnético en la bobina en función del tiempo. b)La fuerza electromotriz inducida en el instante t = 5,00 s.

28. En una bobina se induce una fem de 5 ∙ 10−3 V cuando en otra cercana a ella varía la corriente con una rapidez de 4 A/s. Determine el coeficiente de inducción mutua del sistema.

29. La figura muestra dos bobinas que poseen 5000 y 3000 espiras, respectivamente. Cuando por la primera circula una intensidad de corriente de 1 A se produce en ella un flujo de 2 ∙ 10−3 Wb y en la segunda 10−3 Wb. Calcular:

a) El coeficiente de autoinducción de la primera.

b)El coeficiente de inducción mutua entre ambas.

c) La fem en la segunda, si la corriente en la primera se hace nula en 10−1 s.

30. Un generador ca consta de 8 vueltas de alambre cada una de área 0,0900 m2, y la resistencia total del alambre es de 12,0 Ω. La espira gira en un campo magnético de 0,500 T a una frecuencia constante de 60,0 Hz.

a) Encuentre la máxima fem inducida.

b)¿Cuál es la máxima corriente inducida cuando las terminales de salida están conectadas a un conductor de baja resistencia?

c) Determine la variación en el tiempo de la fem inducida.

31. Una espira con una superficie de 100 cm2 gira con una velocidad de 20 rps con su eje perpendicular a un campo magnético de 2 T. Calcula:

a) El valor máximo de la fem. b) El valor de la fem para 0,01 s.

32. Una espira metálica circular, de 1 cm de radio y resistencia 10−2 Ω, gira en torno a un eje diametral con una velocidad angular de 2π rad/s en una región donde hay un campo magnético uniforme de 0,5 T dirigido según el sentido positivo del eje Z. Si el eje de giro de la espira tiene la dirección del eje X y en el instante t = 0 la espira se encuentra situada en el plano XY, determine:

(38)

Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 38 de 38

33. En un trasformador reductor que funciona a 88 kV y 2 A proporciona energía eléctrica a un voltaje de 220 V. Calcular:

a) La relación entre las espiras del primario y el secundario. b)La corriente que circula por la línea de salida.

34. Un transformador elevador maneja en el primario 220 V y produce en el secundario 2 A. Si la razón entre el número de vueltas del primario y el secundario es 10−2, calcular:

a) El voltaje del secundario. b)La intensidad en el primario. c) La potencia generada.

35. Si el campo eléctrico de una onda electromagnética viene expresado por el vector:

 

cos 2 t z

E E i j

T

 

 

 

Figure

Fig. 1. Los polos opuestos se atraen (izquierda), mientas que los polos iguales  se repelen (derecha)
Fig. 5. a)  v  y  B  paralelos. b)  v  y  B formando un ángulo ∅. c)  v  y  B  perpendiculares
Fig. 7. Trayectoria de una carga q que  se  mueve  en  el  interior  de  un  campo  magnético  B   con  una  velocidad
Fig. 9. Selector de velocidades.
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