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MOVIMIENTO ANGULAR EN UN PLANO

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Academic year: 2018

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Colegio San Francisco de Asís Fecha: Asignatura Física 3° Trimestre Profesor Armando Contreras Vega

Nivel 3° Medio Electivo

Nombre ______________________________________________________

MOVIMIENTO ANGULAR EN UN PLANO

ACELERACIÓN CENTRÍPETA (ac): Un punto de masa m que se mueve con rapidez constante v

en un círculo de radio r está siendo acelerado. Aunque la magnitud de su velocidad lineal no cambia, la dirección de la velocidad está cambiando continuamente. Este cambio en la velocidad da origen a una aceleración ac de la masa, dirigida hacia el centro del círculo. A esta aceleración se le llama

centrípeta; su valor está dado por.

a

c = rapidez tangencial = v2 radio de la trayectoria circular r

donde v es la rapidez de la masa en su desplazamiento perimetral en el círculo.

Como v = w r , también se tiene ac = r w2, donde w debe estar en rad/s. Advierta que, en física, es común

usar la palabra "aceleración" como una cantidad escalar o vectorial. Por fortuna, suele no haber ambigüedad.

LA FUERZA CENTRÍPETA (Fc) es la fuerza no balanceada que debe actuar sobre una masa m que

se mueve en una trayectoria circular de radio r para proporcionarle una aceleración centrípeta v2/r. De la ecuación F = ma, se tiene

FC= mv2 / r en donde Fc debe estar dirigida al centro de la trayectoria

circular.

PROBLEMAS RESUELTOS

9.1) Expresar cada una de las siguientes cantidades en medidas angulares: a) 28°, b) 1/4 rev/s, c) 2.18 rad/s2.

a) 28° = (28°)( 1rev/360°)=0.078 rev =(28°)(2ππππrad/360°)=0.49 rad

b) 1 / 4 rev /s =( 0.25 rev/s)(360°/1rev)=90°/s =(0.25rev/s)(2ππππ rad/1rev)= ππππ / 2 rad/s c) 2.18 rad/s2 =(2.28 rav/s2)(360°/2ππππ rad)=125°/s2 =( 2.18 ad/s2)(1rev/2ππππrad)=0.347 rev/s2 9.2 La lenteja de un péndulo de 90 cm de longitud se balancea en un arco de 15 cm, como se muestra en la Fig. 9-1. Encuéntrese el ángulo de oscilación 6, en radianes y en grados.

recuerde que s = r

θ

sólo se aplica a ángulos medidos en radianes. Entonces, en radianes θθθθ =

s/r

=0.15 m/0.90m = 0.167 rad=0.17 rad

Entonces en grados

(2)

9.3)Un ventilador gira a razón de 900 rpm (rev/min). a) Calcular la rapidez angular de un punto que se encuentra en una de las aspas del ventilador, b) Determínese la rapidez tangencial del extremo del aspa, si la distancia desde el centro al extremo es de 20.0 cm.

a) f= 900 rev/min = 15 rev/s y puesto que w=2 ππππf

w= 94.2 rad/s para cualquier punto del aspa.

b) La rapidez tangencial es wr, donde w debe estar en rad/s . Por tanto,

v = wr = (94.2 rad/s)(0.200 m) = 18.8 m/s

Nótese que el radián, que no es una unidad real, no aparece en el resultado final.

9.4) Una banda pasa por una rueda de radio 25 cm, como se muestra en la Fig. 9-2. Si un punto en la banda tiene una rapidez de 5 m/s, ¿qué tan rápido gira la rueda?

5.0 m/s

Figura 9.2

w

= v/r = (5.0m/s) / (0.25 m) = 20 rad/s

Por regla general, los valores de w resultan en unidades de s-1; los radianes deben usarse apropiadamente en la resolución del problema.

9.5) Un objeto de 200 g se amarra al extremo de una cuerda haciéndolo girar en un círculo horizontal de radio 1.20 m a razón de 3.0 rev/s. Considérese que la cuerda se encuentra en posición horizontal, es decir, el efecto de la gravedad se puede despreciar. Determínense a) la aceleración del objeto y b) la tensión en la cuerda.

a) El objeto no acelera tangencialmente a la circunferencia, pero sufre una aceleración radial o centrípeta dada por

a

c

= v

2

/ r =

w

2

r

Donde w debe tener los rad/s como unidad. Puesto que w = 3.0 rev/s = 6.0π rad/s,

a

c

= (6.0

π

π

π

π

rad/s)

2

( 1.20 m) = 426 m/s

2

= 0.43 km/s

2

b) Para producir la aceleración calculada en a), la cuerda debe tirar de la masa de 0.200 kg con una fuerza centrípeta dada por

F

c

= ma

c

=

(0.200 kg)(426 m/s

2

) = 85 N

Ésta es la tensión en la cuerda.910)¿Cuál es la máxima rapidez con la que un automóvil puede tomar una curva de 25 m de radio en un camino plano si el coeficiente de fricción estática entre las llantas y la carretera es de 0.8 ?

La fuerza radial requerida para mantener al auto en la curva (fuerza centrípeta) es proporcionada per ai fuerza de fricción entre las llantas y el camino. Si la masa del auto es m, entonces la máxima fuerza de fncción (en este caso la centrípeta) es 0.80mg; ésta surge cuando el auto se encuentra a punto de derrapar y volcarse.Por tanto, la máxima rapidez está dada por

(3)

9.6)Una nave espacial se encuentra en órbita alrededor de la Luna a una altura de 20000 m. Suponga que solamente la atracción gravitacional lunar actúa sobre ella. Encontrar la rapidez y el tiempo quetarda en completar una órbita. Para la

Luna, mL = 7.34 x 1022 kg y r= 1.738 x 106 m.

La fuerza gravitacional con que la Luna atrae a la nave es igual a la fuerza centrípeta:

G m

n

m

L

/ R

2

= m

n

v

2

/ R

donde R es el radio de la órbita. Resolviendo, se encuentra que

v = ( G m

L

/ R )

½

v

= ( ( 6.67x10-11

Nm2/kg2)(7.34x1022kg)/(1.730+0.0200)x106m))1/2 = 1.67Km/s

De donde deducimos que tiempo para una orbita = 2ππππR/v =6.62x103 s =110 min

9.7) Como se muestra en la Fig. 9-3, una pelota B está

amarrada a un extremo de un cordel de 24 cm de longitud, y el otro extremo se encuentra sujeto a un punto fijo O.

La pelota se mueve en un círculo horizontal como se muestra. Encontrar la rapidez de la pelota en su trayectoria circular si el cordel forma un ángulo de 30° con la vertical.

Las únicas fuerzas que actúan sobre la pelota son su peso mg y la tensión FT en el cordel. La

tensión debe hacer dos cosas: 1) balancear el peso de la pelota por medio de su

componente vertical, FT cos 30°: 2) proporcionar la fuerza centrípeta requerida por medio

de su componente horizontal, FTsen 30°. Entonces se puede escribir FT cos 30°= mg y FTsen 30° =mv2/ r

Resolviendo para FTla primera ecuación y sustituyendo en la segunda se llega a

mg sen30°/cos30° =mv

2

/r

v=(r

x

g

x

0.577)

1/2Sin embargo , r=BC=(0.24m) sen 30° = 0.12m y g=9.8 m/s2 de donde v=0.82 m/s

9.8) Como se muestra en la Fig. 9-4, una cuenta de 20 g resbala desde el reposo en el punto A a lo largo de un alambre (considere que no hay fricción). Si h tiene 25 cm y R tiene 5.0 cm, ¿cuál es la magnitud de la fuerza sobre la cuenta en a) el punto B y b) el punto?

Figura 9.4

(4)

½ mv2 = mg(h - 2R)

donde v es la rapidez de la cuenta en el punto B. Por consiguiente

Como se muestra en la Fig. 9-4b, dos fuerzas actúan sobre la cuenta cuando ésta se encuentra en B : 1 ) el peso de la cuenta mg y 2) la fuerza F (considerada hacia abajo) del alambre sobre la cuenta. La suma algebraica de las dos fuerzas es igual a la fuerza centrípeta requerida, mv2/R, si la cuenta sigue la trayectoria circular. Podemos escribir

mg +F = mv

2

/ R

F= mv

2

/R – mg = ( 0.020kg)[(1.716

2

/ 0.050 - 9.81) m/s

2

] = 0.98 N

El alambre debe ejercer una fuerza de 0.98N hacia abajo sobre la cuenta para mantenerla en trayectoria circular

b) La situación es similar en el punto D, pero ahora el peso es perpendicular a la dirección de la fuerza centrípeta. Esto es, el alambre debe proporcionar esta fuerza. Siguiendo un procedimiento como el anterior, se llega a

y F=mv

2

/R=( 0.020kg)(1.98m/s)

2

/(0.050m) = 1.6 N

9.9 Como se muestra en la Fig. 9-5, un cuerpo de 0.90 kg amarrado a una cuerda gira en un círculo vertical de 2.50 m de radio, a) ¿Cuál debe ser la rapidez mínima v, que debe tener en el punto más alto del círculo, de tal forma que no salga de la trayectoria circular? b) Bajo la condición a), ¿cuál es la rapidez vb, del

objeto en el punto más bajo? c) ¿Cuál es la tensión FT b en la cuerda cuando el cuerpo está en el punto

más bajo del círculo y moviéndose con la rapidez crítica vb ? Figura 9.5

a) Como lo muestra la Fig 9-5, dos fuerzas radiales actúan sobre el cuerpo en el punto más alto: 1) su peso mg

y 2) la tensión FTt. La resultante de estas dos fuerzas debe ser igual a la fuerza centrípeta.

mv

2

/ r = mg + F

Tt

Para una r dada, v tendrá el valor más pequeño cuando FT,=0. En este caso,

mv

t 2

/ r = mg o v

t

=

rg

Utilizando r = 2.50 m y g = 9.81 m/s2 se encuentra v, = 4.95 m/s como la rapidez en el punto más alto.

b) Viajando de abajo hacia arriba el cuerpo sube una altura 2r. Dado que la rapidez en el punto más alto es v, =

4.95 m/s, y la rapidez en el punto más bajo es vb, por conservación de la energía se tiene:

(5)

½ mv

b2

= ½ mv

t2

+ mg(2r)

donde hemos escogido el punto bajo del círculo como el nivel cero EP0. Obsérvese que m se cancela. Con u, =

4.95 m/s, r = 2.50 m y g = 9.81 m/s2 se obtiene vb= 11.1 m/s.

c) Cuando el objeto se encuentra en el punto bajo de la trayectoria, vemos en la Fig. 9-5 que la fuerza radial no balanceada sobre él es FTb - mg. Esta fuerza proporciona la fuerza centrípeta:

F

Tb

-mg = mv

b 2

/ r

Con m = 90 kg, g = 9.81 m/s2, vb = 11.1 m/s y r = 2.50 m da

F

Tb=

m(g+v

b 2

)

/ r = 53 N

9.10) Una curva de 30 m de radio va a ser peraltada para que un auto pueda tomarla con una rapidez de 13 m/s sin depender de la fricción. ¿Cuál

debe ser la pendiente de la curva (peralte)?

En la Fig. 9-6 se muestra la situación cuando no hay fricción. Solamente dos fuerzas actúan sobre el carro: 1) el peso mg

del auto y 2) la fuerza normal FN que

ejerce el pavimento sobre el auto.

La fuerza normal FNtiene dos funciones; 1)

su componente vertical, FN cosθ, debe

balancear el peso del auto: 2) su componente horizontal, FN sen θ,

proporciona la fuerza centrípeta requerida. Con las

suposiciones anteriores podemos escribir

F

N

cos θ = mg y F

N

sen θ = mv

2

/ r

Dividiendo la segunda ecuación entre la primera, se cancelan FN y m obteniendo

Tan θ = v

2

/gr = (13m/s)

2

/ ( 9.81m/s2)(30m)) = 0.575

De aquí encontramos que θ, el ángulo de peralte debe ser 30°.

9.11) Como se muestra en la Fig. 9-7, un cascarón cilíndrico de radio interior r gira con una velocidad angular (o. Un bloque de madera se recarga en la superficie interior y gira con él. Si el coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie es µe, ¿con qué rapidez debe girar el cascarón para que el bloque

no resbale y caiga? Suponga r = 150 cm y µe = 0.30.

La superficie mantiene al bloque en su lugar presionándolo con la fuerza centrípeta mrco2. Esta fuerza es perpendicular a la superficie. La fuerza normal es la que proporciona la fuerza de fricción sobre el bloque para que éste no resbale y caiga. Como Ff = µeN y FN = mrw2, se puede escribir

F

f

- µ

e

F

N =

µ

e

mrw

2

Esta fuerza de fricción debe balancear al peso mg del bloque si éste no ha de resbalar; por tanto,

mg= µ

e

mrw

2

o

w

= ( g / µ

e

r )

1/2

(6)

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

9.12) Una masa de 1.5 kg se mueve en un círculo de radio 25 cm a 2.0 rev/s. Calcúlense a) la velocidad tangencial, b) la aceleración y c) la fuerza centrípeta requerida para este movimiento.

Resp. a) 3.1 m/s; b) 39 m/s2 radialmente hacia adentro; c) 59 N

9.13) a) Calcular la aceleración radial de un punto en el ecuador de la Tierra, b) Repita el problema para el polo norte de la Tierra. Tómese el radio de la Tierra como 6.37 x 106 m

Resp. a) 0.033 7 m/s2; b) cero

9.14) Un carro que se mueve a 5.0 m/s trata de dar vuelta en una esquina, describiendo un arco circular de 8.0 m de radio. El pavimento es plano. ¿Qué tan grande debe ser el coeficiente de fricción entre las llantas y el pavimento para que no derrape? Resp. 0.32

9.15)Una caja descansa en un punto que se encuentra a 2.0 m del eje de una plataforma circular en posición horizontal. El coeficiente de fricción estático entre la caja y la plataforma es 0.25. Si la razón de giro de la plataforma se incrementa lentamente desde cero, ¿con qué rapidez angular empezará a resbalar la caja? Resp. 1.1 rad/s

9.16) Una piedra se encuentra en el fondo de un balde que se mueve en un círculo vertical de radio 60 cm. ¿Cuál es la rapidez mínima que debe tener la piedra en el punto más alto de la trayectoria si ésta debe permanecer en contacto con el fondo del balde? Resp. 2.4 m/s

9.17) Un péndulo de 80.0 cm de longitud es jalado hacia un lado, hasta que su lenteja se eleva 20.0 cm sobre el punto más bajo, y entonces se suelta. Cuando la lenteja de 50.0 g se encuentra en el punto más bajo, a) ¿cuál es su rapidez y b) cuál es la tensión en la cuerda del péndulo?

Resp. a) 1.98 m/s, b) 0.735 N

9.18) Refiérase a la Fig. 9-4. ¿Qué tan grande debe ser h (en términos de R) si el alambre no debe ejercer fuerza alguna sobre la cuenta al pasar por el punto 5? Suponga que la cuenta parte del reposo en el punto

A y que no hay fricción. Resp. 2.5 R

9.19)Si, en la Fig. 9-4 y en el problema 9.8, h = 2.5R, ¿cuál debe ser la fuerza que ejerce la cuenta de 50 g sobre el alambre al pasar por el punto C? Resp. 2.9 N

9.20)Un satélite órbita la Tierra a una altura de 200 km en un círculo de radio de 6570 km. Encuéntrese la rapidez del satélite y el tiempo que le toma en completar una revolución. Supóngase que la masa de la Tierra es 6.0 x 1024 kg. (Sugerencia: La fuerza gravitacional proporciona la fuerza centrípeta.) Resp. 7.8 km/s, 88 min

9.21) El carrito de una montaña rusa se mueve lentamente mientras se aproxima al punto más alto de la colina mayor. Rueda casi sin fricción colina abajo y después hacia arriba en una colina más baja que tiene un radio de curvatura de 15 m. ¿Cuánto más alta debe ser la primera colina que la segunda, si los pasajeros no deben ejercer fuerza alguna sobre los asientos en la cúspide de la colina más baja? Resp. 7.5 m 9.22) El cuerpo humano puede soportar, sin sufrir daño alguno, una aceleración de hasta 9.00 veces la gravedad. ¿Con qué radio de curvatura mínimo un piloto puede hacer que el avión gire hacia arriba, sin peligro, al final de una picada, si la rapidez del avión es de 770 km/h?

Resp. 519 m

9.23) Un piloto de 60.0 kg que viaja en un planeador a 40.0 m/s desea hacer un giro vertical hacia adentro, de tal forma que ejerza una fuerza de 350 N sobre el asiento cuando el planeador se encuentre en el punto más alto del lazo. ¿Cuál debe ser el radio del lazo, en estas condiciones? (Sugerencia: Tanto la gravedad como el asiento ejercen una fuerza sobre el piloto.)

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