Unidad Temática XIV
Hidrodinámica
Contenidos: Fluidos en estado estacionario. Líneas de corriente. Tubo de flujo. Ecuación de continuidad. Ecuación de Bernoulli. Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Medidor de Venturi y tubo de Pitot. Viscosidad. Flujo laminar. Caudal. Movimiento turbulento. Número de Reynolds
Fluido en movimiento
Si cada partícula del fluido sigue un camino suave , y caminos de diferentes particulas nunca se cruzan, el flujo se denomina laminar o estable. En un fluido laminar la velocidad de cualquier punto permanece constante en el tiempo.
Estudiaremos solo el caso sin turbulencias, y en condiciones estacionarias, es decir con densidad, presión y velocidad constantes en cada punto del fluido. Las trayectorias que siguen las partículas se denominan líneas de corriente, y son paralelas a la velocidad en cada punto.
Un tubo de flujo es un conjunto de líneas de corriente
colindantes. Si el flujo es estable las partículas que circulan por dentro de un tubo no pueden salirse de el.
Ecuación de continuidad
La masa que fluye en un tubo esta siempre contenida en el mismo. En un instante t el fluido recorre x1 = v1 t, y en la parte superior del tubo x2 = v2 t. La cantidad de masa que atraviesa cada sección en el instante t debe ser la misma. M = ρ1 V1 = ρ 1 A1x1 = ρ 1 A1 v1 t o
M = ρ2 V2 = ρ2 A2x2 = ρ2 A2 v2 t
1 1 1 2 2 2
A v
A v
Cte
Si el fluido es incompresible ρ1 = ρ2 = ρ
1 1 2 2
A v
A v
Cte
Problema: La figura muestra como se angosta el chorro de agua de una canilla. El area de la sección transversal A0 es de 1,2 cm2, y la de A es de 0,35 cm2. Los dos niveles están separados por una distancia vertical h = 45 mm. Cuál es el caudal de agua?.
2
0 0 0 0 2
0 2 2
0
2 2
Q A v Av A v
v g h A
v v g h
2 2 0
0 0 2 2
0 2g h A A Q A v
A A 2 2 2 0
0 0 2 2
0 2
1 2
A g h A
v g h v
A A A
Ecuación de Bernoulli
Es una relación fundamental de la dinámica de fluidos. Se obtiene aplicando el teorema Trabajo-Energía. Si el fluido es incompresible y el flujo estacionario, y además el trabajo que realizan las fuerzas no conservativas es
despreciable, la energía mecánica se conserva.
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
W F x p A v t
W F x p A v t
1 2 1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1 2
/
W W W p A v t p A v t
Q v A v A V t
W p p V E
2 2
1 2 2 2 1 1
2 2
1 2 2 2 1 1
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
p p V V v V g y V v V g y
p p v g y v g y
p g y v p g y v
Ecuación
de Bernoulli
2
1 2
pg y v Cte
1 2 1 2 2 1 2
Si v v 0 p p g y( y) p g h
2 2
2 1 2 2 1 1
1 1
2 2
E E E m v m g y m v m g y
m V
Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli
Tubo de Venturi
Se utiliza para medir la velocidad de flujo de un fluido incompresible.
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2 2
2 1 1 2 1 2
1 1
( / )
2 2
2( ) / ( )
y y p v p v v A A v
v A p p A A
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
1 1
2 2
A v A v
p v p v
1 1 2 1 1 2 ( ) ´ ( ´ ) A A
p p g h
p p g h h g h
p p g h
2 1 2 1
2
2 2 1 2
1 2 2 1 2 1
2
2 2
2
1 2
1 2 2 1
2 ( / )
1 1 1
1
2 2 2
1 2
v A A v
A
p p v v v
A
A A
p p v
A 2 2
1 2 2
1 2
2 ( ´ )
( )
g h A v A A
Tubo de Venturi
Cuanto vale la diferencia de alturas?
Podemos determinar el
Tubo de Pitot en el ala de un avión que se utiliza para medir su velocidad.
• La viscosidad es fricción interna en un fluido
• Las fuerzas viscosas se oponen al movimiento de una porción de fluido con respecto a su vecina.
• La viscosidad de los fluidos que tienen facilidad para fluir en menor que la de los que tienen dificultad de hacerlo pues son más “espesos”. El agua tiene menor viscosidad que el aceite.
• La viscosidad depende de la temperatura.
• Un fluido viscoso tiende a adherirse a las superficies con las que esta en contacto.
• Como resultado de esto la presión a lo largo de una cañería va decreciendo, e incluso disminuye radialmente desde el eje.
1 2
PP RQ R Av
La constante de proporcionalidad R es la resistencia que depende de L, v y la viscosidad .
La caída de presión a lo largo del tubo es
proporcional al caudal Q
Consideremos el movimiento de un fluido viscoso entre dos placas paralelas de superficie A. A la placa superior le aplicamos una fuerza F, y se mueve con velocidad constante v. La placa inferior esta en reposo. La fuerza F compensa la fuerza viscosa que se opone al
movimiento.
Se define al esfuerzo cortante como el cociente entre la fuerza aplicada y la superficie de la placa (F/A). El resultado de la aplicación de la fuerza no es una deformación como en los sólidos, sino que el fluido se pone en
movimiento, es decir, cada capa sufre un cambio dv a través de cada capa de espesor dy. La deformación es dv/dy. Definimos el coeficiente de viscosidad
como el cociente entre el esfuerzo cortante y la deformación.
/ /
/ /
F A F A F D dv dy v D v A
[] = N s/m2
Ley de Poiseuille
Para un tubo circular de radio r, la resistencia R es igual a
4
8 L R
r
1 2 4
8 L
P P P Q R Av r
La ley de Poiseuille es válida para flujos estables. Analizar la dependencia con r.
Turbulencia. Número de Reynolds
Si la velocidad del fluido es suficientemente grande, el flujo laminar se rompo y se vuelve turbulento. La velocidad critica por encima de la cual el flujo se vuelve turbulento depende de la densidad del fluido, de su viscosidad y del radio del tubo. El flujo puede caracterizarse mediante un número adimensional denominado número de Reynolds NR.
2
R
r v
N
v: velocidad media del fluido
2000 flujo laminar
3000 flujo turbulento
2000 3000 flujo inestable
R
R
R
N
N
N
Se utiliza para predecir el comportamiento del flujo en cañerias
Para una cañería de 2 cm de diámetro (manguera de jardín)
3 2
3 3
10 /
2000 0,1 / 10 /
(10 / ) (0, 02 ) critica
N s m
v m s cm s
kg m m
