Inductor con pérdidas en el ATP

(1)

Inductor con pérdidas en el ATP

Orlando P. Hevia

Gorostiaga 1483

CAUE-Comité Argentino de Usuarios del EMTP

3000 Santa Fe

GISEP-UTN Facultad Regional Santa Fe

Argentina

Canadian/American EMTP User Group

[email protected]

1. Introducción.

La opción SATURATION del ATP permite obtener los datos de flujo-corriente (en valores de

pico) a partir de mediciones de tension y corriente (valores eficaces). Esta opción asume que la

corriente medida es reactiva, es decir, o el inductor no tiene pérdidas, o la componente

resistiva de la corriente se ha descontado.

También se supone que el inductor se ha medido en forma monofásica, y que la corriente

medida es la que realmente circula por el inductor. Pero esto no es cierto cuando el inductor

medido es en realidad un juego de tres inductores conectados en triángulo. Si bien el factor 3

se puede tener en cuenta para la conexión en triángulo, la corriente de línea (la que

efectivamente se mide), carecerá de componentes homopolares (las impares múltiplo de 3). Si

bien puede despreciarse este hecho (se lo ha estado haciendo desde el inicio del ATP), se verá

que en algunos casos la diferencia es apreciable. Para inductores conectados en estrella con

neutro aislado tanto la corriente en éstos como la medida carecen de componentes

homopolares, por lo que no hay diferencia en este caso.

La nueva opción del ATP, LOSSY SATURATION, permite considerar tanto las pérdidas

como la conexión del sistema de tres inductores. Las pérdidas pueden representarse por un

resistor no lineal en paralelo con el inductor no lineal. Cabe aclarar que esto no es lo mismo

que un inductor con histéresis.

2. Consideración de las pérdidas

Cuando en la medición de la excitación se obtienen

n valores de potencia activa, que

corresponden a las pérdidas en vacío para cada valor de tensión, es posible separar la corriente

eficaz en sus componentes resistiva e inductiva, en valores eficaces.

La corriente resistiva eficaz para cada punto de medición se obtiene a partir de la potencia de

pérdidas y la tensión (supuesta senoidal):

I

_{r ef}

P

_k

V

_k k

-

=

/

(1)

(2)

I

r₁

=

I

r ef− ₁

2 (2)

Para el segundo punto o segmento del resistor no lineal, la corriente instantánea será

i

V

R

i

I

_r

V

R

2 2 1 1

2 1 2 1 2 1

2 ( )

(

sin( )) /

( )

(

sin( )

) /

/

q

q q

q

q p

=

<

= +

-

£ £

si

(3)

donde V

₂

V

_ef 2

2 =

R

₁

V

₁

I

_r

2

=

/

R

2

=

b

V

2

-

V

1

g d

/

I

r₂

-

I

r₁

i

Esto puede generalizarse para k segmentos, con

i

V

R

I

V

R

I

V

R

k k

r k

r_k k k k

k

( )

sin( ) /

sin( )

/

....

(

sin( )

) /

/

q

q q

q p

=

= +

-=

_-

+

-1 0

1 2

1

2

1

1 ₁

2

1 1

b

g

₍₄₎

con R

k

=

b

V

k

-

V

k-1

g d

/

I

r_k

-

I

r_k_-₁

i

Los puntos donde se cambia de segmento se determinan por

q

j

=

arcsin(

V

j

/

V

k

), para = ,2..., -

j

1 k

1 Salvo para el primer tramo, I

_r

j

y R

j

son desconocidos.

Lo que hace la rutina es estimar un valor de I

r₂

para el segundo segmento, y calcular la

corriente para un cierto número de puntos entre

q

=

0 y

q p

=

/ 2 . Estos valores se elevan al

cuadrado, y mediante el método trapezoidal se halla su integral para un cuarto de período,

suficiente ya que la onda es simétrica con respecto al origen.

Esta integral debe ser igual al valor eficaz de la corriente hasta el segmento es estudio. Puesto

que se ha partido de un valor inicial de I

_r

2

estimado, habrá una diferencia entre el valor así

calculado y el valor eficaz de la medición. La rutina reajusta este valor inicial hasta que la

diferencia entre los valores eficaces calculado y medido se hace suficientemente pequeño. Una

diferencia de 10

-12

se obtiene en algunas decenas de iteraciones.

Puesto que la potencia de pérdidas se puede calcular directamente a partir de la corriente

resistiva eficaz y la tensión, la potencia calculada coincidirá automáticamente con la medida.

(3)

3. Consideración de la saturación

Puede demostrarse que cuando la tensión de alimentación es senoidal, las componentes

armónicas de la corriente resistiva son ortogonales a sus correspondientes componentes

armónicas de la corriente inductiva. Por lo tanto,

I

l ef-

=

I

t ef-

-

I

r ef

-2 2

(5)

como se verá en el Anexo.

De la misma manera que se hizo para la componente resistiva, se hace para la componente

reactiva, pero ahora las tensiones V

_k

se reemplazan for los flujos

F

_k

=

V

_k

/ (

2 p

f

)

y las

resistencias R

_k

por las inductancias

L

_k _k _k

I

_l

I

_l k k

=

b

F

-

F

-1

g d

/

-

-1

i

(6)

Mediante el mismo método de integración se obtienen las componentes de corriente inductiva

de pico que, con los valores de flujo, determinan el inductor no lineal que representa la

saturación.

Cuando la conexión del grupo de inductores cuya excitación se mide es en estrella o se trata de

un inductor monofásico, la tarea está terminada.

4. Consideración de la conexión en triángulo

Cuando la conexión del grupo de inductores es en triángulo, debe tenerse en cuenta que la

corriente medida carece de armónicas impares múltiplo de 3, es decir, las componentes

homopolares. Estas corrientes circulan por el triángulo cerrado si las tres ramas no lineales del

triángulo son exactamente iguales.

Se puede emplear un procedimiento similar al empleado anteriormente para determinar tanto la

rama resistiva como la inductiva, pero ahora debe tenerse en cuenta que la corriente eficaz con

la cual debe efectuarse la comparación carece de amónicas homopolares.

Esto requiere que la corriente calculada según las expresiones (3) y (4) sea despojada de sus

componentes impares múltiplos de 3. Esto puede hacerse obteniendo las componentes de

Fourier de la corriente, eliminar los múltiplos de 3, y reconstituir la corriente sin ellas.

En la rutina se ha empleado un método más eficiente (y posiblemente más exacto): se calcula la

corriente para cada ángulo y para el mismo ángulo sumándole

2

3

p

. La suma de estas dos

corrientes equivale a la corriente medida, ya que es lo que hace el circuito cuando está

conectado. El valor a comparar de divide por 3 para llevarlo nuevamente a valor de la rama

que se está tratando de modelar.

(4)

5. Formato para los datos

Los datos para su uso en el ATP siguen el mismo formato que para la opción SATURATION,

salvo que para los datos misceláneos ahora se puede agregar parámetros para indicar el tipo de

conexión, un parámetro para solicitar salida de variable en la columna 80, y nombres de nudo

para las ramas no lineales definidas en el correspondiente archivo .pch de salida.

El nuevo parámetro más importante es el que indica la conexión (KCON). Un valor 0 o -1

indica que se trata de un inductor monofásico, en cuyo caso las tensiones, flujos, corrientes y

potencias empleadas para determinar los elementos no lineales se emplean sin modificación.

Si KCON es 1, se trata de un sistema trifásico de inductores conectados en estrella. En este

caso, las tensiones del resistor y flujos del inductor serán divididos por 3 , y la potencia se

divirá por 3, ya que se asume que los datos de la medición son tensión de línea y potencia

trifásica.

Si KCON es 3, se trata de un sistema trifásico de inductores conectados en triángulo. En este

caso, las corrientes del resistor e inductor serán divididos por 3 , y la potencia se dividirá por

3, ya que se asume que los datos de la medición son corriente de línea y potencia trifásica.

En este caso, la corriente en ambos elementos será ajustada después de eliminar las armónicas

múltiplos de 3.

A continuación de los datos misceláneos, sigue la tabla de valores de corriente, tensión y

potencia, en formato similar a la opción SATURATION, salvo que ahora la tercera columna

contendrá los valores de potencia de pérdidas para cada punto.

Si las potencias son cero, el programa calculará el inductor no lineal asumiendo que toda la

corriente es inductiva, como la opción SATURATION.

La rutina verifica que la pendiente de cada tramo sea menor que el anterior, igual que la opción

SATURATION. Esto no es un error, por lo que sólo se envía un mensaje.

También verifica que los valores de tensión y pérdidas no den origen a una corriente activa

mayor que la corriente de la medición.

Además verifica que la tabla de valores de corriente y tensión del resistor no lineal sea

creciente. En caso contrario, elimina el posible valor en conflicto del elemento no lineal y envía

un mensaje de advertencia.

(5)

6. Ejemplo

A continuación se muestra un ejemplo correspondiente a un transformador conexión triángulo

en el devanado medido. Para obtener los mismos resultados en todos los casos, se escalaron

los valores de tensión y corriente según el tipo de conexión.

C

LOSSY SATURATION

C

C CONEXION MONOFASICA-SIN PERDIDAS

C

50. 0.001 1.0E-6 -1 0 1DOMAR DOMBR DOMAL DOMBL

C

C IRMS---VRMS---P--- I P

1.7378 50414.80

2.5346 53693.57

4.2259 57504.09

8.3427 61292.08

45.1892 64570.86

93.0631 67918.08

9999.

C CONEXION MONOFASICA -CON PERDIDAS

C

50. 0.001 1.0E-6 -1 0 1DOMAR DOMBR DOMAL DOMBL

C

C IRMS---VRMS---P--- I P

1.7378 50414.80 16880.0

2.5346 53693.57 20213.33

4.2259 57504.09 25253.33

8.3427 61292.08 31653.33

45.1892 64570.86 38000.00

93.0631 67918.08 45120.0

9999.

C

C CONEXION EN ESTRELLA-SIN PERDIDAS

C

50. 0.001 1.0E-6 1 0 1DOMAR DOMBR DOMAL DOMBL

C

C IRMS---VRMS---P--- I P

1.7378 50414.80

2.5346 53693.57

4.2259 57504.09

8.3427 61292.08

45.1892 64570.86

93.0631 67918.08

9999.

C CONEXION EN ESTRELLA-CON PERDIDAS

C

50. 0.001 1.0E-6 1 0 1DOMAR DOMBR DOMAL DOMBL

C

C IRMS---VRMS---P--- I P

1.7378 50414.80 50640.0

2.5346 53693.57 60640.0

4.2259 57504.09 75760.0

8.3427 61292.08 94960.0

45.1892 64570.86 114000.0

93.0631 67918.08 135360.0

9999.

C

C CONEXION EN TRIANGULO - SIN PERDIDAS

C

50. 0.001 1.0E-6 3 0 1DOMAR DOMBR DOMAL DOMBL

C

C IRMS---VRMS---P--- I P

3.01 29107.00

4.39 31000.00

7.51 33200.00

14.45 35387.0

26.09 37280.00

53.73 39213.00

9999.

C

(6)

C

50. 0.001 1.0E-6 3 0 1DOMAR DOMBR DOMAL DOMBL

C

C IRMS---VRMS---P--- I P

3.01 29107.00 50640.0

4.39 31000.00 60640.0

7.51 33200.00 75760.0

14.45 35387.0 94960.0

26.09 37280.00 114000.0

53.73 39213.00 135360.0

9999.

BLANK

A continuación, el archivo de salida con los datos precedentes.

Alternative Transients Program (ATP), GNU Linux or DOS. All rights reserved by Can/Am user group of Portland, Oregon, USA. Date (dd-mth-yy) and time of day (hh.mm.ss) = 27-Mar-01 20:26:40 Name of disk plot file is LOSTT.pl4

Consult the 860-page ATP Rule Book of the Can/Am EMTP User Group in Portland, Oregon, USA. Source code date is 03 January 2001.

Total size of LABCOM tables = 4929880 INTEGER words. VARDIM List Sizes follow : 6002 10000 10000 340 20000 5000 13140 120000 1450 1900 360 900 36400 255 64800 384 45 254 400000 100000 3000 12000 40000 120 30000 10000 600 126000

+

---Descriptive interpretation of input data cards. | Input data card images are shown below, all 80 columns, character by character

0 1 2 3 4 5 6 7 8

012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

+

---Comment card. NUMDCD = 1. |C data:LOSTT.DAT Comment card. NUMDCD = 2. |C

Comment card. NUMDCD = 3. |C

Orlando Hevia fits params for lossy saturation. |LOSSY SATURATION Comment card. NUMDCD = 5. |C

Comment card. NUMDCD = 6. |C CONEXION MONOFASICA-SIN PERDIDAS Comment card. NUMDCD = 7. |C

Comment card. NUMDCD = 8. |C FREC--VBASE---SBASE---KCON----KTHIRD--IOUT----BUS1--BUS2--BUS3--BUS4--Misc. const. 5.000E+01 1.000E-03 1.000E-06-1 0 1| 50. 0.001 1.0E-6 -1 0 1DOMAR DOMBR DOMAL DOMBL Comment card. NUMDCD = 10. |C

Comment card. NUMDCD = 11. |C IRMS---VRMS---P--- I P (I,V,P) point. 1.73780E+00 5.04148E+04 0.00000E+00|1.7378 50414.80

(I,V,P) point. 2.53460E+00 5.36936E+04 0.00000E+00|2.5346 53693.57 (I,V,P) point. 4.22590E+00 5.75041E+04 0.00000E+00|4.2259 57504.09 (I,V,P) point. 8.34270E+00 6.12921E+04 0.00000E+00|8.3427 61292.08 (I,V,P) point. 4.51892E+01 6.45709E+04 0.00000E+00|45.1892 64570.86 (I,V,P) point. 9.30631E+01 6.79181E+04 0.00000E+00|93.0631 67918.08 Special termination-of-points card. | 9999.

SINGLE PHASE INDUCTOR

Derived saturation curve gives peak current as a function of flux : Row Current [amp] Flux [volt-sec] 1 0.0000000000 0.0000000000 2 2.4576203287 226.9463350790 3 5.3560613238 241.7059857186 4 9.1661340450 258.8593523638 5 19.8437304842 275.9112983760 6 130.8582464266 290.6709940315 7 231.6425155570 305.7387779303 9999

Next, check the derived curve by independent reverse computation. Assuming sinusoidal voltage (flux) at the level of each point,

rms current is found numerically. This curve should be equal to the original I-V points inputted.

Row Active current P.U. Reactive current P.U. Total current P.U. Voltage P.U. Losses P.U. 2 0.00000000 1.73780000 1.73780000 50414.80000000 0.00000000 3 0.00000000 2.53460000 2.53460000 53693.57000000 0.00000000 4 0.00000000 4.22590000 4.22590000 57504.09000000 0.00000000 5 0.00000000 8.34270000 8.34270000 61292.08000000 0.00000000 6 0.00000000 45.18920000 45.18920000 64570.86000000 0.00000000 7 0.00000000 93.06310000 93.06310000 67918.08000000 0.00000000

Comment card. NUMDCD = 19. |C CONEXION MONOFASICA -CON PERDIDAS

Comment card. NUMDCD = 20. |C FREC--VBASE---SBASE---KCON----KTHIRD--IOUT----BUS1--BUS2--BUS3--BUS4--Misc. const. 5.000E+01 1.000E-03 1.000E-06-1 0 1| 50. 0.001 1.0E-6 -1 0 1DOMAR DOMBR DOMAL DOMBL Comment card. NUMDCD = 22. |C

Comment card. NUMDCD = 23. |C IRMS---VRMS---P--- I P (I,V,P) point. 1.73780E+00 5.04148E+04 1.68800E+04|1.7378 50414.80 16880.0

(I,V,P) point. 2.53460E+00 5.36936E+04 2.02133E+04|2.5346 53693.57 20213.33 (I,V,P) point. 4.22590E+00 5.75041E+04 2.52533E+04|4.2259 57504.09 25253.33 (I,V,P) point. 8.34270E+00 6.12921E+04 3.16533E+04|8.3427 61292.08 31653.33 (I,V,P) point. 4.51892E+01 6.45709E+04 3.80000E+04|45.1892 64570.86 38000.00 (I,V,P) point. 9.30631E+01 6.79181E+04 4.51200E+04|93.0631 67918.08 45120.0 Special termination-of-points card. | 9999.

SINGLE PHASE INDUCTOR

(7)

4 0.8774920531 86680.0908020567 5 0.9994560212 91316.9859460944 6 1.1237509182 96050.6698663409 9999

Comment card. NUMDCD = 32. |C CONEXION EN ESTRELLA-SIN PERDIDAS Comment card. NUMDCD = 33. |C

Comment card. NUMDCD = 34. |C FREC--VBASE---SBASE---KCON----KTHIRD--IOUT----BUS1--BUS2--BUS3--BUS4--Misc. const. 5.000E+01 1.000E-03 1.000E-06 1 0 1| 50. 0.001 1.0E-6 1 0 1DOMAR DOMBR DOMAL DOMBL Comment card. NUMDCD = 36. |C

STAR CONNECTION

Voltage and flux values will be scaled dividing by sqrt(3) Derived saturation curve gives peak current as a function of flux : Row Current [amp] Flux [volt-sec] 1 0.0000000000 0.0000000000 2 2.4576203287 131.0275276495 3 5.3560613238 139.5490159194 4 9.1661340450 149.4525167695 5 19.8437304842 159.2974623899 6 130.8582464266 167.8189766497 7 231.6425155570 176.5183657398 9999

Comment card. NUMDCD = 45. |C CONEXION EN ESTRELLA-CON PERDIDAS

STAR CONNECTION

Voltage and flux values will be scaled dividing by sqrt(3)

Derived nonlinear curve gives peak current as a function of voltage : Row Current [amp] Voltage [V] 1 0.8201438240 41163.5118281551 2 1.0319687497 43840.6163228035 3 1.2477914306 46951.8928743602 4 1.5198609701 50044.7737579487 5 1.7311083147 52721.8864175629 6 1.9463937089 55454.8801031758 9999

(8)

9999

Comment card. NUMDCD = 58. |C CONEXION EN TRIANGULO - SIN PERDIDAS

DELTA CONNECTION: There are no triplen harmonics in measured current. Current values will be scaled dividing by sqrt(3)

Comment card. NUMDCD = 71. |C CONXION EN TRIANGULO - CON PERDIDAS

DELTA CONNECTION: There are no triplen harmonics in measured current. Current values will be scaled dividing by sqrt(3)

Derived nonlinear curve gives peak current as a function of voltage : Row Current [amp] Voltage [V] 1 0.8201437775 41163.5141599937 2 1.0361612752 43840.6204335659 3 1.2619241541 46951.8902707868 4 1.5524214089 50044.7753316967 5 1.7758197311 52721.8816052690 6 1.9995225965 55455.5564213362 9999

(9)

Como aplicación de los elementos así calculados, se efectuó la simulación de la excitación en

vacío de los sistemas trifásicos con pérdidas, tanto para la conexión en estrella con neutro a

tierra como para la conexión triángulo.

En el primer caso, se muestra las corrientes de una fase, coincidentes en la rama y en la línea, y

las corrientes residuales resistiva e inductiva. Estas están dominadas por la tercera armónica.

El espectro de Fourier de la corriente de línea muestra la presencia de las armónicas multiplos

de 3.

En la conexión en triángulo se muestran las corrientes en cada rama del triángulo, y en la línea.

Es evidente la diferente forma de onda debido a la falta de las armónicas múltiplos de tres.

(10)

En el espectro de Fourier de la corriente de línea están ausentes las armónicas múltiplos de 3,

que quedan confinadas en el triángulo cerrado.

7. Conclusiones

Se ha presentado una opción para el cálculo de la curva de saturación teniendo en cuenta tanto

las pérdidas como la conexión del sistema trifásico de inductores en medición. Los resultados

pueden emplearse directamente en el ATP para la simulación de transitorios.

En cualquier caso, debe tenerse en cuenta que hay siempre errores en el modelo que se ha

presentado, debido a diferente saturación de cada columna del sistema trifásico, a la

distribución irregular de flujo en las laminaciones, distorsión del flujo debido a la saturación,

etc.

Para transformadores con núcleos de materiales modernos, la corriente magnetizante puede ser

menor que la corriente capacitiva propia del devanado.

Igualmente, es dificultoso obtener datos para procesar con la opción, y es muy importante que

las mediciones sean efectuada con instrumentos que indiquen el verdadero valor eficaz de las

corrientes, debido a su gran distorsión.

8. Apéndice

La corriente tanto en el resistor no lineal como en el inductor no lineal sólo contendrá

armónicas impares, debido a la simetría impar de ambos elementos.

Estas corrientes pueden expresarse mediante sus series de Fourier:

i

_r

( )

q

=

a

₁

sin

q

+

a

₃

sin

3 q

+ +

L

a

_n

sin

n

q

y

(11)

donde n=1,3,...

La corriente total i

_t

( )

q

es entonces:

i

t

( )

q

=

a

1

+

b

sin(

q j

+

)

+

a

+

b

sin(

q j

+

)

+ +

a

n

+

b

n

sin(

n

q j

+

n

)

2 1

2

1 3

2 3

2

3

2 2

3 L

donde

j

_n

=

arctan(

b

_n

/

a

_n

).

Si se calcula el valor eficaz de i

r

( )

q

, i

l

( )

q

e i

t

( )

q

, se obtiene

I

_{r ef}_-

=

a

₁2

+ +

a

₃2

L

a

_n2

I

_{l ef}_-

=

b

₁2

+ + +

b

_n

3

2

_L

2

y

I

_{t ef}_-

=

a

1

+

b

+

a

+ + + +

b

a

_n

b

_n

2 1

2 3 2

3

2

_L

2 2

respectivamente. De estas tres últimas ecuaciones se ve que

I

_{t ef}2_-

=

I

_{r ef}2_-

+

I

_{l ef}2