AYUDA DE PERMUTACIONES
Castillo Narv´aez Deiby Yohana Cifuentes Bucheli Silvana Nathaly
Paz Mora katherine Nathaly Universidad de Nari˜no
1 Aspectos hist´oricos
2 Reglas y Terminolog´ıa
3 Permutaciones
4 Fases para la construcci´on de Sudokus
5 Ejemplo 1
6 Ejemplo 2
Aspectos hist´
oricos
Reglas y Terminolog´ıa
Permutaciones
“Una permutaci´on de un conjunto A es una funci´on biyectiva de dicho conjunto en s´ı mismo.”
Y se denomina aSn como todas las permutaciones del conjunto
Fases para la construcci´
on de Sudokus
Fase 1: Definir la dimensi´on del tablero del Sudoku Fase 2: Dividir el tablero en regiones iguales
Fase 3: Construir la Regi´on Base
Fase 4: Determinar las permutaciones de Sn a utilizar Fase 5: Construir el tablero del Sudoku
Forma 1: Horizontal -Vertical Forma 2: Vertical-Horizontal
Ejemplo 1
Fase 1: Definir la dimensi´on del tablero del Sudoku
Se va a construir un sudoku de 9x9 que es el mas com´un o mas f´acil de encontrar.
Fase 2 : Dividir el tablero en regiones iguales
R1 R2 R3
R4 R5 R6
Fase 3 : Construir la regi´on base
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Fase 4 : Determinar las permutaciones deSn a utilizar
S3 ={(123),(231),(312),(132),(213),(321)}
Del conjunto de permutaciones deS3, se va usar el siguiente
Fase 5 : Construir el tablero de Sudoku
Forma 1: Horizontal - Vertical
Asignar una permutaci´on a las filas de la regi´on base
1 1 2 3
2 4 5 6
3 7 8 9
Usando las permutaciones se cambian las filas horizontalmente construyendo las primeras tres regiones
1 1 2 3 2 4 5 6 3 7 8 9
2 4 5 6 3 7 8 9 1 1 2 3
Luego se usan las permutaciones deS3 para contruir las regiones
R4,R5,R6,R7R8yR9
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 2 3 2 4 5 6 3 7 8 9
2 4 5 6 3 7 8 9 1 1 2 3
3 7 8 9 1 1 2 3 2 4 5 6
2 3 1 2 3 1 2 3 1
2 3 1 3 5 6 4 8 9 7
5 6 4 8 9 7 3 2 3 1
3 8 9 7 2 3 1 5 6 4
3 1 2 3 1 2 3 1 2
3 1 2 9 4 5 3 9 7 8
6 4 5 3 6 7 8 3 1 2
Forma 2:Vertical-Horizontal
Asignar una permutaci´on a las columnas de la regi´on
base
1 2 3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Usando las permutaciones se cambian las columnas verticalmente construyendo las regionesR4 yR5
1 2 3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
2 3 1
2 3 1
5 6 4
8 9 7
Luego se usan las permutaciones deS3para contruir las regiones
R2,R3,R5,R6 R8yR9
1 2 3
1 1 2 3 2 4 5 6 3 7 8 9
2 4 5 6 3 7 8 9 1 1 2 3
3 7 8 9 1 1 2 3 2 4 5 6
2 3 1
1 2 3 1 2 5 6 4 3 8 9 7
2 5 6 4 3 8 9 7 1 2 3 1
3 8 9 7 1 2 3 1 2 5 6 4
3 1 2
1 3 1 2 2 6 4 5 3 9 7 8
2 6 4 5 3 9 7 8 1 3 1 2
Fase 6: Sudoku Terminado
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 1 2 3
7 8 9 1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 6 4 8 9 7
5 6 4 8 9 7 2 3 1
8 9 7 2 3 1 5 6 4
3 1 2 6 4 5 9 7 8
6 4 5 9 7 8 3 1 2
Ejemplo 2
Fase 1: Definir la dimensi´on del tablero del Sudoku
Se va a construir un sudoku de 12×12 que es el mas com´un o mas f´acil de encontrar.
Fase 2 : Dividir el tablero en regiones iguales
R1 R2 R3 R4
R5 R6 R7 R8
Fase 3 : Construir la regi´on base
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
Fase 4 : Determinar las permutaciones deSn a utilizar
Se van a usar subconjuntos de permutaciones de S3 yS4
Del conjunto de permutaciones deS3, se va usar el siguiente
subconjunto :{(123),(231),(312)}
Del conjunto de permutaciones deS4 , se va usar el siguiente
Fase 5 : Construir el tablero de Sudoku
Forma 1: Horizontal - Vertical
Asignar una permutaci´on a las filas de la regi´on base y usando las permutaciones se cambian las filas horizontalmente construyendo las
primeras tres regiones
1 1 2 3 4 2 5 6 7 8 3 9 10 11 12
2 5 6 7 8 3 9 10 11 12 1 1 2 3 4
Luego se usan las permutaciones deS4 para contruir las regiones
R4,R5,R6,R7, R8,R9,R10,R11 yR12
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 2 3 4 2 5 6 7 8 3 9 10 11 12
2 5 6 7 8 3 9 10 11 12 1 1 2 3 4
3 9 10 11 12 1 1 2 3 4 2 5 6 7 8
2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1
2 3 4 1 3 6 7 8 5 10 11 12 9
6 7 8 5 10 11 12 9 3 2 3 4 1
3 10 11 12 9 2 3 4 1 6 7 8 5
3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2
3 4 1 2 7 8 5 6 3 11 12 9 10
7 8 5 6 3 11 12 9 10 3 4 1 2
3 11 12 9 10 3 4 1 2 7 8 5 6
4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3
Forma 2: Vertical- Horizontal. Asignar una permutaci´on a las columnas de la regi´on base y usando
las permutaciones se cambian las columnas verticalmente construyendo
las regionesR4,R7 yR10
1 2 3 4
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
2 3 4 1
2 3 4 1
6 7 8 5
10 11 12 9
3 4 1 2
3 4 1 2
7 8 5 6
11 12 9 10
4 1 2 3
4 1 2 3
Luego se usan las permutaciones deS3para contruir las regiones
R2, R3,R5,R6 R8,R9,R11yR12
1 2 3 4
1 1 2 3 4 2 5 6 7 8 3 9 10 11 12
2 5 6 7 8 3 9 10 11 12 1 1 2 3 4
3 9 10 11 12 1 1 2 3 4 2 5 6 7 8
2 3 4 1
1 2 3 4 1 2 6 7 8 5 3 10 11 12 9
2 6 7 8 5 3 10 11 12 9 1 2 3 4 1
3 10 11 12 9 1 2 3 4 1 2 6 7 8 5
3 4 1 2
1 3 4 1 2 2 7 8 5 6 3 11 12 9 10
2 7 8 5 6 3 11 12 9 10 1 3 4 1 2
3 11 12 9 10 1 3 4 1 2 2 7 8 5 6
4 1 2 3
1 4 1 2 3 2 8 5 6 7 3 12 9 10 11
Fase 6: Sudoku Terminado
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4
9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 6 7 8 5 10 11 12 9
6 7 8 5 10 11 12 9 2 3 4 1
10 11 12 9 2 3 4 1 6 7 8 5
3 4 1 2 7 8 5 6 11 12 9 10
7 8 5 6 11 12 9 10 3 4 1 2
11 12 9 10 3 4 1 2 7 8 5 6
4 1 2 3 8 5 6 7 12 9 10 11
8 5 6 7 12 9 10 11 4 1 2 3
Generalizaci´on
Fase 1: Definir la dimensi´on del tablero del Sudoku
Se va a construir un sudoku de dimensi´on n×n
Fase 2 : Dividir el tablero en n regiones iguales . . .
. . . ..
. ... . . . ...
Fase 3 : Construir la regi´on base
Luego se construye la Regi´on Base de dimensi´on s*t, donde s y t no necesariamente son iguales, es decirR1 puede ser cuadrada o
rectangular, adem´as su producto debe ser igual an, para este caso sson n´umero de filas y tel n´umero de columnas.
A(1,1) A(1,2) . . . A(1,t−1) A(1,t)
A(2,1) A(2,2) . . . A(2,t−1) A(2,t)
..
. ... . . . ... ...
A(s−1,1) A(s−1,2) . . . A(s−1,t−1) A(s−1,t)
Fase 4 : Determinar las permutaciones deSn a utilizar
Se van a usar subconjuntos de permutaciones deSs ySt
Del conjunto de permutaciones deSs, se va usar el siguiente subconjunto :
{(1,2, . . . , s−1, s),(2,3, . . . , s,1), . . . ,(s,1, . . . , s−2, s−1)}
Del conjunto de permutaciones deSt , se va usar el siguiente subconjunto :
Fase 5 : Construir el tablero de Sudoku
Forma 1: Horizontal - Vertical
Asignar una permutaci´on a las filas de la regi´on base y usando las permutaciones se cambian las filas horizontalmente construyendo la
primera s fila del Sudoku
1 A(1,1) A(1,2) . . . A(1,t) 2 A(2,1) A(2,2) . . . A(2,t) s A(s,1) A(s,2) . . . A(s,t)
2 A(2,1) A(2,2) . . . A(2,t) 3 A(3,1) A(3,2) . . . A(3,t) 1 A(1,1) A(1,2) . . . A(1,t)
..
. ... ... . . . ... ... ... ... . . . ... ... ... ... . . . ...
s−1 A(s−1,1) A(s−1,2) . . . A(s−1,t) s A(s,1) A(s,2) . . . A(s,t) s−2 A(s−2,1) A(s−2,2) . . . A(s−2,t)
Luego se usan las permutaciones deStpara construir las regiones
faltantes
1 2 . . . t 1 2 . . . t 1 2 . . . t
1 A(1,1) A(1,2) . . . A(1,t) 2 A(2,1) A(2,2) . . . A(2,t) s A(s,1) A(s,2) . . . A(s,t)
2 A(2,1) A(2,2) . . . A(2,t) 3 A(3,1) A(3,2) . . . A(3,t) 1 A(1,1) A(1,2) . . . A(1,t)
..
. ... ... . . . ... ... ... ... . . . ... ... ... ... . . . ...
s−1 A(s−1,1) A(s−1,2) . . . A(s−1,t) s A(s,1) A(s,2) . . . A(s,t) s−2 A(s−2,1) A(s−2,2) . . . A(s−2,t)
s A(s,1) A(s,2) . . . A(s,t) 1 A(1,1) A(1,2) . . . A(1,t) s−1 A(s−1,1) A(s−1,2) . . . A(s−1,t)
2 3 . . . 1 2 3 . . . 1 2 3 . . . 1
A(1,2) A(1,3) . . . A(1,1) A(2,2) A(2,3) . . . A(2,1) A(s,2) A(s,3) . . . A(s,1)
A(2,2) A(2,3) . . . A(2,1) A(3,2) A(3,3) . . . A(3,1) A(1,2) A(1,3) . . . A(1,1) s−1 ... ... . . . ... s ... ... . . . ... s−1 ... ... . . . ...
A(s−1,2) A(s−1,3) . . . A(s−1,1) A(s,2) A(s,3) . . . A(s,1) A(s−2,2) A(s−2,3) . . . A(s−2,1)
A(s,2) A(s,3) . . . A(s,1) A(1,2) A(1,3) . . . A(1,1) A(s−1,2) A(s−1,3) . . . A(s−1,1)
..
. ... ...
t 1 . . . t−1 t 1 . . . t−1 t 1 . . . t−1
A(1,t) A(1,1) . . . A(1,t−1) A(2,t) A(2,1) . . . A(2,t−1) A(s,t) A(s,1) . . . A(s,t−1)
A(2,t) A(2,1) . . . A(2,t−1) A(3,t) A(3,1) . . . A(3,t−1) A(1,t) A(1,1) . . . A(1,t−1)
Fase 6: Sudoku Terminado
A(1,1) A(1,2) . . . A(1,t−1) A(1,t) A(2,1) A(2,2) . . . A(2,t−1) A(2,t) . . . A(s,1) A(s,2) . . . A(s,t−1) A(s,t)
A(2,1) A(2,2) . . . A(2,t−1) A(2,t) A(3,1) A(3,2) . . . A(3,t−1) A(3,t) . . . A(1,1) A(1,2) . . . A(1,t−1) A(1,t)
..
. ... . . . ... ... ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... A(s−1,1) A(s−1,2) . . . A(s−1,t−1) A(s−1,t) A(s,1) A(s,2) . . . A(s,t−1) A(s,t) . . . A(s−2,1) A(s−2,2) . . . A(s−2,t−1) A(s−2,t)
A(s,1) A(s,2) . . . A(s,t−1) A(s,t) A(1,1) A(1,2) . . . A(1,t−1) A(1,t) . . . A(s−1,1) A(s−1,2) . . . A(s−1,t−1) A(s−1,t)
A(1,2) A(1,3) . . . A(1,t) A(1,1) A(2,2) A(2,3) . . . A(2,t) A(2,1) . . . A(s,2) A(s,3) . . . A(s,t) A(s,1)
A(2,2) A(2,3) . . . A(2,t) A(2,1) A(3,2) A(3,3) . . . A(3,t) A(3,1) . . . A(1,2) A(1,3) . . . A(1,t) A(1,1)
..
. ... . . . ... ... ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... A(s−1,2) A(s−1,3) . . . A(s−1,t) A(s−1,1) A(s,2) A(s,3) . . . A(s,t) A(s,1) . . . A(s−2,2) A(s−2,3) . . . A(s−2,t) A(s−2,1)
A(s,2) A(s,3) . . . A(s,t) A(s,1) A(1,2) A(1,3) . . . A(1,t) A(1,1) . . . A(s−1,2) A(s−1,3) . . . A(s−1,t) A(s−1,1)
..
. ... . . . ... ... ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... A(1,t) A(1,1) . . . A(1,t−2) A(1,t−1) A(2,t) A(2,1) . . . A(2,t−2) A(2,t−1) . . . A(s,t) A(s,1) . . . A(s,t−2) A(s,t−1)
A(2,t) A(2,1) . . . A(2,t−2) A(2,t−1) A(3,t) A(3,1) . . . A(3,t−2) A(3,t−1) . . . A(1,t) A(1,1) . . . A(1,t−2) A(1,t−1)
..
. ... . . . ... ... ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... A(s−1,t) A(s−1,1) . . . A(s−1,t−2) A(s−1,t−1) A(s,t) A(s,1) . . . A(s,t−2) A(s,t−1) . . . A(s−2,t) A(s−2,1) . . . A(s−2,t−2) A(s−2,t−1)
