2018_Estadistica U4 (V00).pdf

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Probabilidades

2018

Carn et fecha

A pell ido(s) Nombre (s)

Jorn ada:

Matutina: Vespertina:

Carre ra:

Perito: Bachiller:

Sección:

A B C D E F

Código Técn ic o Grado:

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REGLA EMPÍRICA PARA DATOS CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

Esta regla establece que las siguientes propiedades se aplican a conjuntos de datos con una distribución aproximadamente normal.

• Aproximadamente el 68% de todos los valores están dentro de una desviación estándar de la media.

• Aproximadamente el 95% de todos los valores están dentro de 2 desviaciones estándar de la media.

• Aproximadamente el 99.7% de todos los valores están dentro de 3 desviaciones estándar de la media.

Ejemplo:

El tiempo empleado por un grupo de estudiantes durante el último mes tienen una distribución normal, con una media de 100 min al mes y una desviación estándar de 15 min al mes. ¿Qué porcentaje de las puntuaciones se ubican entre 70 y 130 min al mes?

Solución: Media: 100 min.

Desviación Estándar: 15 min.

Media Desviación Rango %

100 ±15(1) 85 y 115 68%

100 ±15(2) 70 y 130 95%

100 ±15(3) 55 y 145 99.7%

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CURVA NORMAL

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

Como existen diferentes fenómenos y todos poseen diferentes distribuciones normales sería imposible tener una tabla para cada distribución normal, por ello se elaboró solo una tabla, la tabla de la distribución normal estándar, que es la distribución con media igual a cero y desviación estándar igual a uno.

Para estandarizar los valores de una variable, se utiliza la siguiente fórmula:

𝑧 =𝑋 − 𝑋̅ 𝑆

Ejemplos 1:

Hallar la probabilidad p ( z ≤ 0.45 )

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.00 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.10 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.20 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.30 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.40 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364

• En la 1ª columna buscamos el valor de las unidades y las décimas.

• En la 1ª fila el valor de las centésimas.

• Basta buscar 0.4 en la columna y 0.05 en la fila. Su intersección nos da la probabilidad. Leemos y nos da 0.6736.

La probabilidad p ( z ≤ 0.45 ) = 0.6736 = 67.36%

Ejemplo 2:

Probabilidad de un valor positivo p ( z > 1.24)

En este caso la probabilidad pedida no está en las tablas.

Sin embargo, si tenemos en cuenta que el área total bajo la gráfica ha de ser 1, deducimos de la figura que: p (z > 1.24) =

1 –

1 – p (z ≤ 1.24) = 1 – 0.8925 R// p (z > 1.24) = 0.1075 = 10.75%

Ejemplo 3:

Probabilidad entre dos valores p (0.5 ≤ z ≤ 1.76)

La diferencia entre ellas es la probabilidad que nos piden.

– =

p (z≤1.76) – p (z≤0.5)

0.9608 – 0.6915 = 0.2693

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Función de distribución (acumulativa) de la distribución normal tipificada.

𝑧 =𝑋 − 𝑋̅ 𝑆

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 -3.00 0.00135 0.00131 0.00126 0.00122 0.00118 0.00114 0.00111 0.00107 0.00104 0.00100

-2.90 0.00187 0.00181 0.00175 0.00169 0.00164 0.00159 0.00154 0.00149 0.00144 0.00139

-2.80 0.00256 0.00248 0.00240 0.00233 0.00226 0.00219 0.00212 0.00205 0.00199 0.00193

-2.70 0.00347 0.00336 0.00326 0.00317 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280 0.00272 0.00264

-2.60 0.00466 0.00453 0.00440 0.00427 0.00415 0.00402 0.00391 0.00379 0.00368 0.00357

-2.50 0.00621 0.00604 0.00587 0.00570 0.00554 0.00539 0.00523 0.00508 0.00494 0.00480

-2.40 0.00820 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 0.00714 0.00695 0.00676 0.00657 0.00639

-2.30 0.01072 0.01044 0.01017 0.00990 0.00964 0.00939 0.00914 0.00889 0.00866 0.00842

-2.20 0.01390 0.01355 0.01321 0.01287 0.01255 0.01222 0.01191 0.01160 0.01130 0.01101

-2.10 0.01786 0.01743 0.01700 0.01659 0.01618 0.01578 0.01539 0.01500 0.01463 0.01426

-2.00 0.02275 0.02222 0.02169 0.02118 0.02068 0.02018 0.01970 0.01923 0.01876 0.01831

-1.90 0.02872 0.02807 0.02743 0.02680 0.02619 0.02559 0.02500 0.02442 0.02385 0.02330

-1.80 0.03593 0.03515 0.03438 0.03362 0.03288 0.03216 0.03144 0.03074 0.03005 0.02938

-1.70 0.04457 0.04363 0.04272 0.04182 0.04093 0.04006 0.03920 0.03836 0.03754 0.03673

-1.60 0.05480 0.05370 0.05262 0.05155 0.05050 0.04947 0.04846 0.04746 0.04648 0.04551

-1.50 0.06681 0.06552 0.06426 0.06301 0.06178 0.06057 0.05938 0.05821 0.05705 0.05592

-1.40 0.08076 0.07927 0.07780 0.07636 0.07493 0.07353 0.07215 0.07078 0.06944 0.06811

-1.30 0.09680 0.09510 0.09342 0.09176 0.09012 0.08851 0.08691 0.08534 0.08379 0.08226

-1.20 0.11507 0.11314 0.11123 0.10935 0.10749 0.10565 0.10383 0.10204 0.10027 0.09853

-1.10 0.13567 0.13350 0.13136 0.12924 0.12714 0.12507 0.12302 0.12100 0.11900 0.11702

-1.00 0.15866 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 0.14457 0.14231 0.14007 0.13786

-0.90 0.18406 0.18141 0.17879 0.17619 0.17361 0.17106 0.16853 0.16602 0.16354 0.16109

-0.80 0.21186 0.20897 0.20611 0.20327 0.20045 0.19766 0.19489 0.19215 0.18943 0.18673

-0.70 0.24196 0.23885 0.23576 0.23270 0.22965 0.22663 0.22363 0.22065 0.21770 0.21476

-0.60 0.27425 0.27093 0.26763 0.26435 0.26109 0.25785 0.25463 0.25143 0.24825 0.24510

-0.50 0.30854 0.30503 0.30153 0.29806 0.29460 0.29116 0.28774 0.28434 0.28096 0.27760

-0.40 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.32276 0.31918 0.31561 0.31207

-0.30 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.35942 0.35569 0.35197 0.34827

-0.20 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.39743 0.39358 0.38974 0.38591

-0.10 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.42465

0.00 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53586

0.10 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535

0.20 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409

0.30 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173

0.40 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793

0.50 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240

0.60 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490

0.70 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524

0.80 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327

0.90 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891

1.00 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214

1.10 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.88298

1.20 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147

1.30 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774

1.40 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189

1.50 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408

1.60 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449

1.70 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.96327

1.80 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062

1.90 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670

2.00 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.98030 0.98077 0.98124 0.98169

2.10 0.98214 0.98257 0.98300 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.98500 0.98537 0.98574

2.20 0.98610 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840 0.98870 0.98899

2.30 0.98928 0.98956 0.98983 0.99010 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158

2.40 0.99180 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361

2.50 0.99379 0.99396 0.99413 0.99430 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.99520

2.60 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643

2.70 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.99720 0.99728 0.99736

2.80 0.99744 0.99752 0.99760 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807

2.90 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861

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CONJUNTOS

El concepto de conjunto es primitivo, en el sentido de que no es posible definirlo en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros.

Un conjunto es una colección de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros.

Simbología de Conjuntos

Símbolo Descripción

{ } conjunto

∈ Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.

∉ No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto. | Tal que.

U Conjunto Universo.

∅ Conjunto Vacío.

⊆ Subconjunto de.

⊂ Subconjunto propio de.

⊄ No es subconjunto propio de. > Mayor que.

< Menor que.

≥ Mayor o igual que.

≤ Menor o igual que.

∩ Intersección de conjuntos.

∪ Unión de Conjuntos.

𝐴𝑐 _{Complemento del conjunto A.}

= Símbolo de igualdad.

≠ No es igual a. ... El conjunto continúa.

FORMAS DE DEFINIR UN CONJUNTO

Al definir un conjunto es habitual meter sus elementos entre llaves: 𝐴 = { … } , siendo irrelevante el orden. Se puede hacer de dos maneras:

• Por extensión: mediante la lista de todos sus elementos. Ejemplo: 𝐴 = {1, 2, 3, 4}

• Por comprensión: mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Ejemplo: 𝐴 = {𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 5} o 𝐴 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑁, 𝑥 < 5}

Para representarlos gráficamente se usan los llamados diagramas de Venn.

Cardinalidad de conjuntos

El número de elementos en un conjunto particular es una propiedad conocida como cardinalidad, que informalmente se conoce como el tamaño de un conjunto.

Para el ejemplo anterior, la cardinalidad del conjunto A es 4: 𝑛(𝐴) = 4

Tipos de conjuntos

Conjunto vacío El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por “∅” o { }

Conjunto universal El conjunto universal, que denotaremos por 𝑈, es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado.

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Relaciones entre conjuntos Relación de

pertenecía

Un elemento se dice que «pertenece» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈, si forma parte de él. La expresión 𝑎 ∈ 𝐴 se lee «a pertenece a A». Para la noción contraria se usa el símbolo ∉.

Relación de igualdad

Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa. Por ello, la relación de igualdad entre conjuntos se define como:

Dos conjuntos A y B, son iguales (A=B) si y sólo si tienen los mismos elementos (Axioma de extensionalidad). Esto implica que no importa el orden, la forma de representación; si no únicamente que contengan los mismos elementos.

Relación de inclusión. Subconjuntos

Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si cada elemento de B es a su vez un elemento de A. Lo denotaremos 𝐵 ⊆ 𝐴. Se lee "B está incluido en A", "A contiene a B", "B está contenido en A", "A incluye a B" o "A es un superconjunto de B". Nota: ⊆ significa que está contenido o que es igual.

Si B es un subconjunto propio de A si es un subconjunto de A pero no es igual a A. Lo denotaremos B⊂A. (este es el caso de los polígonos regulares)

Operaciones con conjuntos

Unión: La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como 𝐴 ∪ 𝐵, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos.

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑥 ∈ 𝐵}

Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B, que se representa

como , es el conjunto de todos los elementos comunes a los dos conjuntos.

Complementario: _{El complementario de un conjunto A es el conjunto} _{(o bien,} ₎

que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto universal U que lo contiene.

Diferencia: La diferencia del conjunto A con el conjunto B es el

conjunto que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.

Diferencia simétrica:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el

conjunto con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

Producto cartesiano:

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el

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Ejemplo 1:

Realice la operación de conjuntos siguiente 𝐴′∆𝐵

Pasos 1:

Realizamos el complemento de 𝐴 = 𝐴′

• Esto es: todo menos A

Paso 2:

Se debe realizar la diferencia simétrica entre 𝐴’ y 𝐵 = 𝐴′∆𝐵

• En ese caso hay que recordar que la diferencia simétrica es la unión de ambos conjuntos menos la intersección de ellos.

𝐴′_{∆𝐵 = 𝐴}′_{∪ 𝐵 − 𝐴}′_{∩ 𝐵}

−

Respuesta:

Ejemplo 2:

Que operación se efectuó para obtener la siguiente gráfica:

Solución

Para solucionar este problema se dividirá en dos partes: Parte 1

Al observar la imagen, se puede decir que es esta compuesta del inverso de la unión de A y B

𝐴 ∪ 𝐵 (𝐴 ∪ 𝐵)′

Parte 2

La parte faltante es una intersección: 𝐴 ∩ 𝐶, menos 𝐵

𝐴 ∩ 𝐶 − 𝐵 = (𝐴 ∩ 𝐶) − 𝐵

−

Por último, se debe de unir la parte 1 y la parte 2

(𝐴 ∪ 𝐵)′ ∪ [(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝐵] = (𝐴 ∪ 𝐵)′ ∪ [(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝐵]

∪ =

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Ejemplo 3

En un avión viajan 120 personas, de las cuales:

• 2/3 de ellas no beben café

• 4/5 de ellas no son vegetarianos

• 72 no son vegetarianos y no beben café. ¿Cuántas personas son vegetarianas y beben café?

SOLUCIÓN Paso 1

Paso 3

Paso 5

Paso 7

El universo es 120, es el total de personas

Información: Si 4/5 no son vegetarianos

(120 ×4 5= 96)

entonces 24 son vegetarianos

Grupo de no vegetarianos y no beben café: 72

La cantidad de los que toman café es 40 y la unión de los de café y

vegetarianos 48, entonces 8 son vegetarianos y no toman café

Paso 2

Paso 4

Paso 6

Paso 8

Si 2/3 no beben café

(120 ×3

2= 80)

entonces 40 toman café

Grupo de no vegetarianos

Si la unión de los que toman café con los vegetarianos es:

120 − 72 = 48

Si los que solo son vegetarianos y no toman café son 8, y en total hay 24, la intersección entre ambos es 16.

Por lo que podemos concluir que el diagrama completo quedará de la siguiente forma:

Contestando la pregunta: ¿Cuántas personas son vegetarianas y beben café?

(9)

Ejemplo No. 4

A 156 estudiantes de cuarto se les aplico una encuesta respecto de su actividad favorita. La encuesta arrojó los siguientes resultados:

A 52 Jóvenes les gusta el futbol A 63 les gusta jugar en el celular A 87 les gusta los videojuegos.

▪ Además algunos de ellos coinciden en que les gustaba más de un Actividad: 26 juegan con futbol y con el celular

37 juegan con el celular y con videojuegos 23 juegan con futbol y los videojuegos; por último 7 expresaron su gusto por los tres.

Con la anterior información conteste las siguientes preguntas:

a) ¿A cuántos jóvenes les gusta otra actividad no mencionado en la encuesta?

b) ¿A cuántos jóvenes les gusta solamente jugar con los videojuegos?

c) ¿A cuántos jóvenes les gusta solamente jugar futbol?

SOLUCIÓN: Paso 1

Paso 3

Paso 5

Paso 7

Se debe de iniciar por la que contiene mayor información

7 expresaron su gusto por los tres.

37 juegan con el celular y con videojuegos

𝐶 ∩ 𝑉 = 37

Al finalizar la fase de dos datos se tiene

A 63 les gusta jugar en el celular

19 + 7 + 30 + 𝑦 = 63 56 + 𝑦 = 63

𝑦 = 7

A 87 les gusta los videojuegos.

16 + 7 + 30 + 𝑧 = 87 53 + 𝑧 = 87

𝑧 = 34

Paso 2

Paso 4

Paso 6

Trabajamos ahora con la información de un solo dato:

• A 52 Jóvenes les gusta el futbol Luego la información de

las que contienen 2 datos y uno de ellos debe de ser el anterior.

26 juegan con futbol y con el celular

𝐹 ∩ 𝐶 = 26

23 juegan con futbol y los videojuegos

𝐹 ∩ 𝑉 = 37

16 + 7 + 19 + 𝑥 = 52 42 + 𝑥 = 52

𝑥 = 10

Respuestas:

a) Jóvenes que les gusta otra actividad = 33 b) Jóvenes que les gusta

solamente jugar videojuegos = 34

(10)

PROBABILIDADES

Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

Las estadísticas se utilizan en casi cada industria incluyendo las aseguradoras, productos de consumo, ventas al por menor, productos farmacéuticos e incluso en el gobierno federal. Las estadísticas son importantes en la industria y los negocios debido a distintas razones.

Experimento aleatorio: es aquel que al repetirlo varias veces, se obtienen resultados diferentes en forma aleatoria (al azar). Ejemplo: al realizar la medición del tiempo en que se tardan en contestar un examen de conocimientos, los estudiantes aspirantes para entrar al Colegio; es decir, es aquel que no se puede prever el resultado.

Experimento determinístico: Es aquel que nos proporciona siempre el mismo resultado. Ejemplo: Un ingeniero químico, al determinar el número de moléculas de hidrógeno y oxígeno que hay en el agua (H2O) siempre encontrará que es el mismo, no cambia.

Espacio Muestral (E). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento, pudiendo ser también el equivalente del conjunto universal en términos de la teoría de conjuntos.

Ejemplo 1.

Al lanzar un dado al aire y observaremos los posibles resultados siguientes en que puede caer un dado.

Ejemplo 2.

Para el lanzamiento de dos monedas tendremos de acuerdo al conjunto potencia.

2² = 4, donde la base representa el número de caras de la moneda y el exponente el número de monedas, por lo tanto; A = { SS ,CS, SC,SS }, A = { 4 } (Cuatro elementos compuestos).

El espacio muestral se clasifica en dos tipos:

• Espacio Muestral Discreto: Es aquel en el cual los resultados se pueden enumerar. Los espacios muestrales discretos a su vez se dividen en dos tipos:

1. Espacios muestrales discretos finitos. 2. Espacios muestrales discretos infinitos

• Espacio Muestral Continuo: Este se define en intervalos de la recta de los números reales.

Evento. Es el resultado de un experimento. Cuando cada evento es seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar. Pudiendo ser todos los posibles subconjuntos del espacio muestral.

Evento Simple. Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puede descomponer.

En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un evento simple ya que no se puede descomponer en otros eventos cuando los eventos se representan en un diagrama de Venn) se denominan puntos Muestrales.

Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etcétera, son eventos compuestos si se componen de dos o más eventos simples.

Evento seguro: Es decir que siempre puede ocurrir, por lo tanto: Es un conjunto que contiene todos los elementos S;

(11)

PROBABILIDADES COMO CONJUNTOS

1) 𝑈: espacio muestral o conjunto de todos los resultados posibles.

2) 𝐴 ∪ 𝐵: al menos uno de los eventos A ó B ocurre. 3) 𝐴 ∩ 𝐵: ambos eventos ocurren

4) 𝐴𝑐_{: el evento A no ocurre.}

Ejemplo:

En el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos: A = sale par,

B = sale primo.

El evento "A ó B" = 𝐴 ∪ 𝐵: "sale par o primo" se describe:

𝐴 ∪ 𝐵 = {2, 3, 4, 5, 6}

Ejemplo:

En el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos:

𝐴 ∩ 𝐵 = {2}

A = sale par, B = sale primo.

El evento "A y B" = 𝐴 ∩ 𝐵: "sale par y primo" se describe:

Ejemplo:

En el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos: A = sale par,

B = sale primo.

El evento "no ocurre A" = 𝐴𝑐_:

"no sale par" se describe:

(12)

HERRAMIENTAS PARA CONTAR PUNTOS MUESTRALES

TEOREMA 0

Con 𝑚 elementos 𝑎1, 𝑎2,…, 𝑎𝑚 y 𝑛 elementos 𝑏1, 𝑏2,…, 𝑏𝑛,

es posible formar 𝑚𝑛 = 𝑚 × 𝑛 pares que contengan un elemento de cada grupo.

Ejemplo 1: Un experimento incluye lanzar un par de dados y observar los

números de sus caras

superiores. Encuentre el número de puntos muestrales en S, el espacio muestral para el experimento.

Evento m = 6 elementos Evento n = 6 elementos

R// el número total de espacios muestrales es 𝑚𝑛 = 6 × 6

36 puntos muestrales

Ejemplo 2: Una moneda balanceada se lanza tres veces al aire. Calcule el tamaño del espacio muestral

Evento m = 2 elementos Evento n = 2 elementos Evento p = 2 elementos

Total del espacio muestra

𝑚 ∙ 𝑛 ∙ 𝑝 = 2 × 2 × 2 = 8

Si un espacio muestral contiene N puntos muestrales igualmente probables y un evento A contiene exactamente

𝑛𝑎 puntos muestrales, es fácil ver que

𝑃(𝐴) =𝑛𝑎 𝑁

Ejemplo 1: Halla la probabilidad de sacar un cinco al tirar un dado.

Espacio muestral 𝑁 = 𝑚𝑛 = 1 × 6 = 6

Puntos muestrales 𝑛𝑎= 1 (porque el dado

solo tiene un número cinco) Evento A= Probabilidad de sacar exactamente un 5. R// 𝑃(𝐴) =1

6 o 𝑃(𝐴) = 16.7% o 𝑃(𝐴) = 0.167

Ejemplo 2: Halla la probabilidad de sacar al menos un uno al tirar dos dados.

Espacio muestral

𝑁 = 𝑚𝑛 = 6 × 6 = 6

Puntos muestrales 𝑛𝑎=?

(herramienta usada dibujo) Puntos muestrales

𝑛𝑎= sacar al menos un

uno = 11

R// 𝑃(𝐴) =11

36 o

𝑃(𝐴) = 30.56% o

𝑃(𝐴) = 0.3056

Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplo:

Jotapé debe ir desde su casa a KINAL, pero antes debe pasar por la casa de un amigo.

Para ir desde su casa a la de su amigo, le sirven tres buses y para ir desde la casa de su amigo a KINAL le sirven solo dos.

¿Cómo puedes representar gráficamente esta situación?

¿Cuál es el espacio muestral del que dispone Jotapé para esta situación?

1er. autobus que toma: A 2do. Autobus que toma: B

(13)

PERMUTACIONES

DEFINICIÓN 1

Un arreglo ordenado de 𝑟 objetos distintos se denomina permutación. El número de formas de ordenar 𝑛 objetos distintos tomados 𝑟 a la vez estará designado por el símbolo 𝑃𝑟𝑛.

TEOREMA 1

𝑃𝑟𝑛=

𝑛! (𝑛 − 𝑟)!

Ejemplo 1:

Los nombres de 3 empleados se han de sacar al azar, sin restitución, de un tazón que contiene los nombres de 30 empleados de una pequeña compañía. La persona cuyo nombre sea sacado primero recibe Q100 y aquellos cuyos nombres se saquen en segundo y tercero recibirán Q50 y Q25, respectivamente.

¿Cuántos puntos muestrales están asociados con este experimento?

Solución:

Debido a que los premios otorgados son diferentes, el número de puntos muestrales es el número de arreglos ordenados.

𝑛: Cantidad de objetos = 30 nombres de empleados

𝑟: Cantidad de objetos elegidos = 3 nombres premiados

𝑃330=

30! (30 − 3)!=

30!

(27)!= 28 × 29 × 30 = 24,360

R// Pueden elegirse de 24,360 formas diferentes.

Ejemplo 2:

Suponga que una operación de ensamble en una planta de manufacturas consta de cuatro pasos que se pueden efectuar en cualquier secuencia.

Si el fabricante desea comparar el tiempo de ensamble para cada una de las secuencias, ¿cuántas secuencias diferentes estarán involucradas en el experimento?

Solución:

4 pasos diferentes, se trata de arreglos ordenados

𝑛: Cantidad de objetos = 4 pasos

𝑟: Cantidad de objetos elegidos = 4 formas de hacerlo

𝑃44=

4! (4 − 4)!=

1 × 2 × 3 × 4 (0)! = 24

(14)

COMBINACIONES

DEFINICIÓN 2

El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es el número de subconjuntos, cada uno de tamaño 𝑟, que se pueden formar a partir de los 𝑛 objetos. Este número estará denotado por 𝐶𝑟𝑛 o (

𝑛 𝑟).

TEOREMA 2

El número de subconjuntos desordenados de tamaño 𝑟 escogidos (sin restitución) de 𝑛 objetos disponibles es

(𝑛_𝑟) = 𝐶𝑟𝑛=

𝑃𝑟𝑛

𝑟! = 𝑛! 𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Ejemplo 1:

Encuentre el número de formas de seleccionar dos solicitantes de entre cinco y por tanto el

número total de puntos muestrales “S”

Solución:

La elección de los 2 empleados no importa, por lo tanto, se trata de arreglos sin ordenados.

𝑛: Cantidad de objetos = 5 solicitudes

𝑟: Cantidad de objetos elegidos = 2 solicitudes de empleo

(5 2) = 𝐶2

5₌ 5!

2! (5 − 2)!= 10

R// se puede seleccionar de 10 formas distintas.

Ejemplo 2:

En un examen de Lenguaje se requiere contestar cinco de doce preguntas.

¿Cuántas maneras diferentes hay de contestar este examen?

Solución:

Quiere contestar solo 5 no importando que preguntas conteste. Se trata de arreglos sin ordenados.

𝑛: Cantidad de objetos = 12 preguntas disponibles

𝑟: Cantidad de objetos elegidos = 5 preguntas

(12 5) = 𝐶5

12₌ 12!

5! (12 − 5)!= 792

(15)

Unidad 4

Código de sección

Estadística

_{Distribución Normal}

INSTRUCCIONES: Resuelva en hojas aparte dejando constancia de todo lo que realice. Las estaturas de un grupo de

hombres tienen una distribución normal, con una media de 176 cm y una desviación estándar de 7 cm. Por medio de la regla empírica, ¿cuál es el % aproximado de hombres entre? 1) Altura de: 169 cm y 183 cm A) 68% B) 95% C) 99.7%

2) Altura de: 155 cm y 197 cm A) 68% B) 95% C) 99.7%

La siguiente tabla representan los pesos de 60 bolsas de un producto que tiene indica en su presentación que posee un peso de 1000 g.

Intervalos F

900 928 3

929 957 3

958 986 13

987 1015 20

1016 1044 10

1045 1073 7

1074 1102 4

Con base en los datos anteriores conteste las siguientes preguntas:

3) Cuál de las siguientes afirmaciones son [F] / [V] I) Mediana de: 1004.87 g II) Moda de: 1006.44 g A) VV B) VF C) FV D) FF

4) Cuál de las siguientes afirmaciones son [F] / [V] I) Sesgo: es simétrico II) Curtosis: es mesocúrtica. A) VV B) VF C) FV D) FF

5) Asumiendo que posee una distribución normal, cual es la medida que representa el 99.7%

Los siguientes 48 datos fueron tomados por un ingeniero que realiza un estudio estadístico

915 984 998 1011 1034 931 988 999 1017 1038 935 988 999 1018 1045 951 989 1002 1019 1045 954 989 1003 1020 1068 961 992 1005 1024 1071 962 992 1005 1024 1080 968 994 1006 1025 1087 981 995 1008 1031 982 997 1011 1034

6) Tabla de distribución:

Intervalos 𝒙 𝒇 𝒙 ∙ 𝒇 (𝒙 − 𝒙̅)𝟐_{∙ 𝒇}

1

2

3

4

5

6

7

Con relación a los anteriores pesos que están en gramos, determine: 7) Cuáles de las siguientes

afirmaciones son [F] / [V]

I) Media: 1003.88 g III) Moda de: 1004.5 g

A) VV B) VF C) FV D) FF

8) Cuáles de las siguientes afirmaciones son [F] / [V]

I) Sesgo: es simétrico II) Curtosis: es mesocúrtica.

9) Asumiendo que posee una distribución normal, cual es la medida que representa el 99.7%

10) Asumiendo que posee una distribución normal, cual es la medida que representa el 95%

APELLIDOS NOMBRES No. CARNET FECHA:

(16)

Unidad 4

Código de sección

Estadística

_{Tabla de Z}

INSTRUCCIONES: Resuelva en hojas aparte dejando constancia de todo lo que realice.

1) Calcular P(Z ≤ 0.92)

A) 0.82121 B) 0.81859 C) 0.82381 D) 0.97257

2) Calcular P(Z≤–1.53)

A) 0.93699 B) 0.06681 C) 0.06426 D) 0.06301

3) Calcular P(0.41< Z≤1.62)

A) 0.65910 B) 0.94738 C) 0.28828 D) 0.28628

4) Calcular P(2.3 < X ≤ 3.7) con

𝑥̅ = 1.5 y 𝑆 = 2 (calcular 1ero. z) Nota: 𝑧 =𝑋−𝑋̅

𝑆 A) 0.4 _{B) 1.1}

C) 0.65542 D) 0.54380 E) 0.20891

5) Una estación de radio encontró que el tiempo promedio que una persona sintoniza esa estación es de 15 minutos con una desviación estándar de 3.5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que un radioescucha sintonice la estación por más de 20 minutos?

Nota: 𝑥̅ = 15 min, 𝑆 = 3.5 min, 𝑃(𝑋 ≥ 20𝑚𝑖𝑛)=? 𝑧 =𝑋−𝑋̅

𝑆

A) 92.3% B) 142.8% C) 7.6% D) 42.9%

6) Un investigador reporta que unos ratones vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que la vida de tales ratones se distribuye normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un ratón viva entre 37 y 49 meses.

A) 31.7% B) 60.6% C) 47.6% D) 92.3% E) 60.8%

7) Las barras de centeno que cierta panadería distribuye a las tiendas locales tienen una longitud promedio de 30 cm y una desviación estándar de 2 cm. Suponga que las longitudes se distribuyen normalmente, ¿qué porcentaje de las barras están entre 29.3 cm. y 33.5 cm de longitud?

A) 59.7% B) 4.0% C) 96% D) 63.7% E) 36.3%

Un abogado va todos los días de su casa a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo de viaje en minutos es contabilizado en la siguiente tabla

83 95 98 100 102 104

84 95 98 100 102 104

84 96 98 100 103 107

90 96 98 101 103 108

90 96 99 101 103 110

91 96 99 101 104 113

92 97 100 102 104 118

Esta distribución es

aproximadament e normal, por lo cual se pide calcular:

8) Cuál es el valor del tiempo promedio

9) Cuál es el valor de la desviación estándar del tiempo de viaje

10) Si sale de su casa a las 7:30 a.m. y el café se sirve en la oficina de las 9:00 a.m. a las 9:10 a.m., ¿cuál es la probabilidad de que llegue a la hora del café?

(17)

Unidad 4

Código de sección _{Operaciones con conjuntos}

Estadística

1) Ubicar la zona sombreada A) 𝐴 ∩ 𝐵

B) 𝐴 ∪ 𝐵

C) 𝐴 − 𝐵

D) 𝐵 − 𝐴

E) 𝐴𝑐_{∩ 𝐵}𝑐

B) 𝐴 ∪ 𝐵

C) 𝐴 − 𝐵

D) 𝐵 − 𝐴

E) 𝐴𝑐_{∩ 𝐵}𝑐

B) 𝐴 ∪ 𝐵

C) 𝐴 − 𝐵

D) 𝐵 − 𝐴

E) 𝐴∆𝐵

4) Ubicar la zona sombreada

A) 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶

B) 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶

C) 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶

D) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

E) Ninguna

5) Ubicar la zona sombreada

A) 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶

B) 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶

C) 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶

D) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

E) Ninguna

En los diagramas de Venn mostradas, sombrear las operaciones que se indican:

6) 𝐴 ∩ 𝐵𝑐

7) (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ 𝐵

8) (𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵

Número de elementos de un conjunto = 𝑛

Sugerencia:

realizar un diagrama y colocar en su interior el número de elementos que posee.

9) Calcular: 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶)

Si se conoce lo siguiente de los conjuntos:

𝐴 ∪ 𝐵 = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13} 𝐵 ∪ 𝐶 = {2, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 13} 𝐵 ∩ 𝐶 = {3}

𝐵 ∩ 𝐶 = { }

𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {1, 9, 14}

𝐴𝑐_{= {1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14}}

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

10) Calcular: 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

Si se conoce el número de elementos de las operaciones de conjuntos:

𝑛(𝐴∆𝐵) = 50 𝑛(𝐴) = 25 𝑛(𝐵 − 𝐴) = 30

A) 5 B) 7 C) 12 D) 19 E) 21

(18)

Unidad 4

Código de sección _{Problemas con conjuntos}

Estadística

1) Una persona come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de septiembre (30 días). Si comió tocino 18 mañanas y huevos 25 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y tocino?

A) 30 B) 25 C) 18 D) 13 E) 11

2) En una empresa trabajan 260 empleados. Por fiestas patrias, la empresa decidió regalar celulares a la mitad de sus empleados, y por aniversario de la empresa, regalo una tableta a la mitad de sus empleados. Si exactamente 8 empleados recibieron un celular y una laptop durante el año, ¿cuántos empleados no recibieron ningún regalo durante el año?

A) 7 B) 14 C) 16 D) 8 E) 11

3) En una encuesta realizada sobre la preferencia de su bebida en el desayuno, se preguntó a las personas si tomaban té o café. Los resultados fueron: 6 tomaban té, 9 café, a una no le gustaba ninguna de esas bebidas y cuatro tomaban ambas.

Responder las siguientes preguntas:

A) ¿Cuántas personas no tomaban té?

B) ¿Cuántas personas tomaban té y café?

C) ¿Cuántas personas tomaban sólo café?

D) ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas?

4) En una reunión donde asistieron 44 personas, se sabe que 21 personas hablan alemán; 25 hablan francés y 26 hablan español; 11 hablan alemán y francés; 6 hablan alemán y español pero no francés; 8 hablan los 3 idiomas; 13 hablan español y francés. ¿Cuántos no hablan ninguno de estos tres idiomas?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5) En una fiesta a la que asistieron 131 invitados, un estudiante de KINAL observó que:

• De los 79 invitados que comieron pollo, 28 comieron solamente pollo.

• Entre las 60 personas que comieron carne de res, hubo 21 invitados que también comieron pescado.

• De los 50 que comieron pescado, 12 comieron sólo pescado.

• Por alguna razón, 9 comieron las tres cosas.

A) ¿Cuántos comieron pollo y carne de res?

B) ¿Cuántos comieron sólo carne de res?

C) ¿Cuántas no comieron ninguna de las tres cosas?

D) ¿Cuántas comieron una sola cosa?

E) ¿Cuántas comieron solo dos cosas?

6) Se encuesta a 150 familias consultando por el nivel educacional actual de sus hijos.

Los resultados obtenidos son:

• 10 familias tienen hijos en Enseñanza Básica, Enseñanza Media (carrera) y Universitaria.

• 16 familias tienen hijos en Enseñanza Básica y Universitaria.

• 30 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Enseñanza Básica.

• 22 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Universitaria.

• 72 familias tienen hijos en Enseñanza Media.

• 71 familias tienen hijos en Enseñanza Básica.

• 38 familias tienen hijos en Enseñanza Universitaria.

Con la información anterior, deducir:

A) El número de familias que solo tienen hijos universitarios.

B) El número de familias que tienen hijos solo en dos niveles.

C) El número de familias que tienen hijos que no estudian.

(19)

Unidad 4

Código de sección

Estadística

_{Probabilidades}

INSTRUCCIONES: Resuelva en hojas aparte dejando constancia de todo lo que realice. 1) Cuál es el espacio muestral de tirar un

dado una vez. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

2) Lea el enunciado y vea el dibujo Se lanza un dado al aire.

Cuál es la probabilidad de sacar un uno. I) Espacio muestral N = 6 II) Evento 𝑃(𝐴) =1

6

Las afirmaciones anteriores son [Verdaderas] o [Falsas]:

3) Lea el enunciado y vea el dibujo Probabilidad de sacar al menos una cara al tirar dos monedas. I) Espacio muestral N = 8 II) Evento 𝑃(𝐴) = 75%

4) Lea el enunciado y vea el dibujo Probabilidad de sacar al menos dos caras al tirar tres monedas.

I) Espacio muestral N=24 II) Evento 𝑃(𝐴) = 75%

5) Echamos a una bolsa las siguientes bolas:

Sacamos una de estas bolas y observamos el número y el color. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

I) 𝑃[𝑅𝑜𝑗𝑎𝑠] = 5

10

II) 𝑃[𝑉𝑒𝑟𝑑𝑒𝑠] = 8

10

6) Pedro tira a diana con un dardo. Lo ha lanzado 250 veces y ha dado en el círculo rojo 36. ¿Qué probabilidad

asignas al suceso “en la próxima tirada

acertará en el círculo rojo”?

A) 0.144 B) 0.18 C) 0.36 D) 0.25 E) 0.125

7) ¿De cuál de las siguientes bolsas es más probable sacar bola roja?

1 verde 2 rojas 3 verde 4 rojas 2 verde 3 rojas

A) I B) II C) III D) Igual

8) Con relación al problema anterior, cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

I) 𝑃[𝑉𝑒𝑟𝑑𝑒𝑠] =3

3 (bolsa II)

II) 𝑃[𝑉𝑒𝑟𝑑𝑒𝑠] =3

2 (bolsa III)

9) Luis gana si lanza un dado y saca un número par. Ana gana si saca un número menor que 4 ¿Quién tiene más probabilidades de ganar? A) Ana B) Luis C) No se puede determinar D) Los dos tienen la misma Probabilidad

10) Una bolsa tiene 12 bolas: 6 rojas, 4 verdes y dos azules. Mario ha hecho una apuesta en la que tiene 1/3 de posibilidades de ganar ¿Por qué color ha apostado?

A) Color rojo B) Color verde C) Color azul

D) No se puede determinar

11) En una bolsa, cuyo interior no puedo ver, tengo estas bolas.

(2 café, 2 amarillas, 4 rojas, 3 verdes, 2 azules y 1 negra)

Al hacer una extracción, ¿qué probabilidad son verdaderas?

I) 𝑃(𝐴𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠) =2

7

II) 𝑃(𝑅𝑜𝑗𝑎) =2

7

12) Una experiencia consiste en extraer una bola de esta urna y, después, lanzar la moneda.

Escudo Cara E C 3 verdes (V), 1 roja (R)

Tamaño del espacio muestral:

________________________

(20)

Unidad 4

Código de sección _{Permutaciones y Combinaciones}

Estadística

1) La directora de personal de una corporación ha contratado diez nuevos empleados. Si tres puestos de trabajo (muy distintos) se abren en una planta industrial, ¿en cuántas formas puede ella ocupar los puertos? I) Si son datos ordenados

II) Pueden ocuparlo de 120 formas

Cuál de las afirmaciones anteriores son verdaderas o falsas

2) Un vendedor quiere visitar 5 ciudades. Si no quiere repetir ciudades, ¿cuántas rutas distintas puede elaborar si puede empezar y acabar en cualquiera de las ciudades?

I) Son datos no ordenados II) Puede elaborar 120 rutas

3) En la frase “La combinación de la

cerradura es 924"

I) Es una combinación II) Es una permutación porque lleva orden.

Cuál de las anteriores son verdadera o falsas.

4) Un grupo de 8 amigos están jugando un juego de mesa en el cual los jugadores compiten para llegar primero a la última casilla de un tablero. Los amigos van a reconocer al primer, segundo y tercer lugar. ¿Cuántas maneras diferentes hay de que los 8 amigos tomen esos lugares? A) 6 B) 56 C) 336 D) 40,320

5) Supongamos que se elegirá a tres

miembros de una pequeña

organización social con un total de diez miembros para que integren un comité. ¿Cuál es el número de grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos, sin importar el diferente orden en el que cada grupo podría elegirse?

I) Es una Combinación

II) Pueden formarse 120 comités

6) En una carrera de maratón intervienen 3 guatemaltecos, 2 hondureños, 1 salvadoreño, 3 nicaragüenses, 2 panameños y 1 beliceño (12 competidores). Si solo existen 3 premios para los primeros lugares, ¿cuántas posiciones distintas pueden darse al acabar la carrera? I) Es una Combinación

II) Pueden darse 1320 posiciones

7) En la escuela ocurrió un incidente de los cuales fueron testigos 30 estudiantes. Cuatro de los testigos serán escogidos al azar para entrevistarlos sobre los hechos. ¿Cuántos grupos de 4 personas son posibles?

I) Es una Combinación II) Se pueden forman 27405 grupos

8) ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?

Ayuda: Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.

I) Es una Permutación

II) Pueden colocarse de 3,628,800 formas

9) Con parte de su primer salario un Joven decide comprar 3 de los siete discos compactos que le faltan un grupo musical.

I) Si le importa el orden de los discos que compre

II) Tiene 35 posibilidades de elección

10) En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar (el comité no poseerá puestos)?

I) Son datos no ordenados II) puede formarse 6545 comités

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Unidad 4

Código de sección _{Permutaciones y Combinaciones}

Estadística

1) En un examen de Religión se requiere contestar cuatro de doce preguntas. ¿Cuántas maneras diferentes hay de contestar este examen?

A) 20736 B) 24 C) 495 D) 1320

2) Con relación al problema anterior, cuáles de las afirmaciones son verdaderas:

I) No le importa el orden que elija las cuatro preguntas

II) Es una permutación

3) Una pizzería ofrece diez ingredientes adicionales para su pizza. ¿De cuántas maneras un cliente puede seleccionar tres ingredientes adicionales para su pizza?

A) 720 B) 120 C) 5040 D) 360

4) ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

A) 1320 B) 1302 C) 13 D) 1230

5) Una librería tiene una venta en que un cliente obtiene precio especial si compra cuatro de los diez best-sellers actuales ¿De cuántas maneras un cliente puede hacer tal selección?

A) 24 B) 3780 C) 210 D) 240

6) Un estudiante que elabora un informe de Grecia antigua ha encontrado quince libros sobre la materia en la biblioteca del colegio. Las reglas de la biblioteca le permiten sustraer sólo cinco libros a la vez. Encuentre el número de maneras en que el estudiante puede seleccionar cinco libros.

A) 3003 B) 120 C) 30240 D) 1200

7) Un técnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al azar, ¿de cuántas formas diferentes podría completar las conexiones?

I) Es una Permutación II) Pueden completarse las conexiones de 720 formas

8) Un paquete de diez baterías tiene dos piezas defectuosas ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres de estas baterías y sacar ninguna de las baterías defectuosas (solo 8 son las buenas)

I) Es una Permutación II) Pueden completarse las conexiones de 120 formas

9) Susana es una de siete oficinistas de

una empresa pequeña. Se

seleccionarán a tres de estos trabajadores para formar parte de un comité. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar a tres de estas personas para formar parte del comité?

A) 35 B) 210 C) 5040 D) 56

10) La asociación de estudiantes de matemática a seleccionado a un presidente, un secretario y un tesorero, en la asociación hay 15 miembros ¿De cuantas maneras diferentes puede quedar compuesta el directorio?

A) 15 B) 455 C) 2730 D) 56