EJERCICIOS DE REPASO PENDIENTES

(1)

Dpto. Matemáticas. IES BACHILLER SABUCO

Pendientes Matemáticas I ~ 1 ~

MATEMÁTICAS I

EJERCICIOS DE REPASO PENDIENTES

3

a

Evaluación (Unidades 9, 3, 4 y 5)

Unidad 9.- DERIVADAS

Cálculo de derivadas a partir de la definición

La derivada de una función f(x) en el puntox adel dominio es

 



  



 

 0

' lim

h

f a h f a f a

h .

La función derivada de f(x) o derivada de f(x) es

 



  



 

 0

' lim

h

f x h f x f x

x para cualquier x del

dominio de f.

1. Calcula la derivada de las siguientes funciones en el punto que se indica. Fíjate en el ejemplo.

 

1

f x  x en x1

 

_



 



    

   

0 ₀

1 1 1 1

' 1 lim lim 1

h _h

h h

f

h h

a) f x

 

 2x3 en x  3 d) _{f x}

 

__x2_₁

en x 2

b) f x

 

 x 5 en x5 e) _{f x}

 

_{ }₃_x2_₅_x_₁_en_x_₂

c)

 

1 2 3 3

f x  x  x en x3 f) f x

 

x 2 x 

 en x1

Cálculo de derivadas aplicando las reglas

(2)

Pendientes Matemáticas I ~ 2 ~ 2. Calcula la derivada de cada función.

a) _{f x}_{( )}₃_x2 _b) _{ } 4_ 3_ 2_{ }1

( ) 5 10 6

2

f x x x x x c) _{f x}_{( )}₍_x₄₎₍₂_x2₂₎

d)  

 1 ( )

1 x f x

x e)

 



3 2

4 9

( )

3 5

x x f x

x f)f x( ) 16x1

g) _{f x}_{( )} 3 _x2₅ _h)_{f x}_{( )}__{sen( 5}_ _x2_₁₀₎ _i)_{f x}_{( )}_sen(6_x₂₎

3. Calcula las derivadas de las siguientes funciones.

a) _{f x}_{( )}_e4x9_ln(4_x₉₎ _b)

 

 

  _ 

 

1 2

2 1 ( )

1 x x f x

x c) 

3 ( ) cos

f x x

d)_{f x}_{( )}_{sen (}2_x2₃_x₁₎ _e)_{f x}_{( )} _{(1 arccos )(1 arccos )}_x  _x f)

 

 1 tg ( ) ln

1 tg x f x

x

g)   

 

4 3 2

2

8 5

( )

sen( 3)

x x x

f x

x x h)

 

 1 sen ( )

1 sen x f x

x i)   

3 2

( ) cos( ln )

f x x x

Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos y absolutos.

4. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones. = − + = − + − = −

5. La curva de ecuación = + + pasa por el punto P (-2, 1) y alcanza un extremo relativo en el punto de abcisa x= -3. Halla los números b y c.

6. Calcula el valor máximo y mínimo de las siguientes funciones en los intervalos indicados.

= − [− , ] = − − [ , ] = [ , ]

(3)

Resumen

Unidad 8 194

Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica

Derivadas de funciones elementales

Derivadas de operaciones

Extremos absolutos

Problemas de optimización

Tasa de variación media de

f en el intervalo [a, b]

Tasa de variación instantánea de f en a

TVI f a( )₌_lim

ba

f b( )f a( )

ba o bien

TVI f a( )₌lim h0

f a( ₊h)f a( )

h

Si f ′(a) > 0 ⇒ f es creciente en el punto de abscisa a.

_Si f ′(b) < 0 ⇒ f es decre-ciente en el punto de absci-sa b.

Si se alcanza en el punto x = a (f derivable en él) es necesario aun-que no suficiente, aun-que f ′(a) = 0. Máximo relativo

De creciente a decreciente Mínimo relativo

De decreciente a creciente

Tasas de variación

Crecimiento y decrecimiento

Extremos relativos

Se representa como f ′(a) y es igual al límite: f a( )₌_lim

h0

f a

(

+h

)

f a( )

h

Coincide con la tasa de variación instantánea de f en a.

Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y=f(x) en el punto P a

(

,f a( )

)

α

f x( )₌c f x( )₌0 f x( )₌_xa

f x( )₌_axa1

f x( )₌_log

ax f x( )= 1

xlna

f x( )₌_ax

f x( )₌_ax lna

f x( )=ex

f x( )₌_ex

f x( )=lnx f( )x =

1

x

f x( )₌_senx f( )x ₌_cosx

f x( )₌_cosx f( )x ₌_senx

f x( )₌tgx f ( )x ₌₁₊_tg2_x = 1

cos2_x

Suma: F x( )₌_{f x}( )₊_{g x}( ) _{F x}( )₌_{f x}( )₊_{g x}( ) _Producto:F x( )₌_{f x}( )_{g x}( ) _{F x}( )₌_{f x}( )_{g x}( )₊_{f x}( )_{g x}( ) Producto por k: F x( )₌_{k f x}( ) _{F x}( )₌_k_{f x}( ) _Cociente:_{F x}( )₌ f x( )

g x( ) F x( )=

f x( )_{g x}( )_{f x}( )_{g x}( )

g x( )

(

)

2

Composición (regla de la cadena): F x( )₌

₍

_f_g

₎

( )_x _{F x}( )₌_{f g x}

(

( )

)

g x( )

Una función continua en un intervalo cerrado [a, b] alcanza en él un máximo y un mínimo absolutos, que pueden situarse o bien en los extremos a y b del intervalo o en puntos interiores al mismo.

1.º Se nombran variables y se expresa la función que hay que maximizar o minimizar.

2.º Si la expresión tiene varias variables, se deben relacionar las mismas mediante las condiciones del enunciado y así, expresar la función que se quiere optimizar como una función con una sola variable.

3.º Se escribe el intervalo adecuado en el que toma valores la variable, según el contexto del problema. 4.º Se calcula el máximo o el mínimo de la función en ese intervalo.

5.º Se calculan el resto de variables y el valor de la función optimizada.

(4)

Unidad 3.- TRIGONOMETRÍA

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

8. Calcular las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos:

̂ = ° = = ̂ = ° = =

9. Expresa la medida de cada ángulo en radianes, relaciónalo con uno del primer cuadrante cuyas razones conozcas, y rellena la tabla con sus razones trigonométricas:

Medida Radianes Ángulo 1.

er

cuadrante seno coseno tangente secante cosecante cotangente

120º 2₃

135º

150º

210º

240º

300º

315º

330º

10. Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas:

a) sen 540º c) cos 390º b) tg 750º c) sec 9

4

 _d)_{sen 1380º} _e) _

 

 

(5)

Relaciones fundamentales de la trigonometría

11. Sabiendo que sen  1

4 , cosec  2 y   3 tg

4 y que

   

I,

IV y

 

III

, calcula

a) sen 2 c) tg 2  e) sec

2 g) cos ()

b) cos

2 d) sen () f) cos 3 h)



cotg 2

Resolución de triángulos

Resolver un triángulo es hallar la medida de cada lado y cada ángulo.

En este caso conocemos un ángulo y dos lados. Aplicamos el teorema del coseno para hallar el valor del lado opuesto, y, una vez que conozcamos los tres lados, aplicamos el teorema del seno para hallar los otros dos ángulos:

2 _{16 49 2 7 4cos100º 74,72} _{8,64 m}

8,64 4 _ˆ 4 sen100º _ˆ

sen 0,456 27º 7 12

ˆ

sen100º sen 8,64

ˆ _{180º (100º 27º 7 12 ) 52º 52 48}

b b

A A

A C

       

 

    

   

   

;

Dados tres lados de longitudes a 9 cm, b 3,6 cm y c 3 cm, resuelve el triángulo que forman.

Conocemos los tres lados, podemos aplicar el teorema del coseno para hallar los ángulos:

2 2 2 ˆ ˆ

9 3,6 3  2 3,6 3 cos  AcosA 2,73

Como el valor del coseno de un ángulo ha de estar comprendido entre 1 y 1, esta solución no es válida. Este triángulo no se puede construir ya que la medida de uno de los lados es mayor que la suma de los otros dos.

(6)

Pendientes Matemáticas I ~ 5 ~ 12. Resuelve los siguientes triángulos.

a) c) e)

b) d) f) Tres lados:

a 2 m b 1 m c 1 m

Problemas de triángulos

13. Una señal de tráfico indica que la pendiente de un tramo de carretera es del 8%, lo que quiere decir que en un desplazamiento horizontal de 100 m se realiza un ascenso de 8 m de altura.

a) ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal?

b) ¿Cuántos metros hay que recorrer para ascender 125 m?

14. Desde un cierto punto, que dista 20 m del pie de una torre de 10 m de altura, vemos el punto más alto de ella bajo un cierto ángulo. ¿Qué distancia debemos recorrer hacia la torre para verlo con un ángulo que sea el doble del anterior?

(7)

Unidad 3 88

Resumen

ðGrado sexagesimal: medida del ángulo que se obtiene al dividir el completo entre 360.

ðRadián: es el ángulo central de una circunferencia en el que coinciden el radio y la longitud del arco. 360° =₂π_{rad 180°}=π_rad

Medida de ángulos

sen 90( _° )=cos

cos 90( _° )=sen

tg 90( _° )=cotg

sen 180( ° )₌sen

cos 180( _° )₌cos

tg 180( ° )₌_tg

sen 180( _{° +})₌sen

cos 180( _{° +})₌cos

tg 180( _{° +})=tg

sen 360( _° )₌sen()₌sen

cos 360( _° )₌cos()₌cos

tg 360( _° )=tg()=tg

Reducción al primer cuadrante de las razones trigonométricas

sen2 +cos2

=1 tg=sen

cos 1+tg 2

=sec2 1+cotg2=cosec2

Suma y diferencia de ángulos

sen

(

±

)

=sencos±cossen

cos

(

±

)

=coscossensen

tg

(

±

)

= tg±tg

1tgtg

Ángulo mitad

sen 2=±

1cos 2

cos 2=±

1₊cos 2

tg 2 = ±

1cos 1+cos

Transformación de sumas en productos

sen ˆA₊_senˆB₌_{2 sen}Aˆ+Bˆ

2 cos

ˆ

ABˆ

2 sen ˆ

A_senˆB₌_{2 cos}Aˆ+Bˆ

2 sen

ˆ

ABˆ

2

cos ˆA₊cos ˆB₌2 cos ˆ

A₊Bˆ

2 cos

ˆ

ABˆ

2 cos ˆ

A_{cos ˆ}B₌_{2 sen}Aˆ+Bˆ

2 sen

ˆ

ABˆ

2 Ángulo doble

sen2₌2sencos _tg2₌ 2tg

1tg2

cos2₌cos2 sen2

Relaciones entre las razones trigonométricas

sen=b

a cos=

c

a tg=

b

c

cosec₌ 1

sen=

a

b sec=

1 cos=

a

c cotg=

1 tg =

c

b

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

α

Primer cuadrante Segundo cuadrante Tercercuadrante Cuartocuadrante

1sen 1₁_cos ₁_<tg< + cosec ( 1, 1) sec ( 1, 1) <cotg< +

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Teorema del seno a

sen ˆA= b

sen ˆB= c

sen ˆC

Teorema del coseno a2 =b2

+c2

2bc_cos ˆA b2

=a2

+c2

2accos ˆB c2

=a2

+b2

2abcos ˆC

Área del triángulo

A=basealtura

2

A₌1 2

acsen ˆB

Resolución de triángulos

(8)

Unidad 4.- VECTORES

Combinaciones, bases y coordenadas

Si las coordenadas de un vector u r

se pueden escribir como suma o resta de otros vectores, o

como suma o resta de estos vectores multiplicados por un número, se dice que u r

es combinación lineal de estos vectores.

(15, 7) u

r

se puede escribir como combinación lineal de los vectores v(5, 1) y w(1, 1)

r uur

así:

(15,7) 2 (5,1) 5 (1,1)   u 2v5w

r r ur

También se dice que u v y w,

r r ur

son linealmente dependientes.

Como v yw

r ur

no son linealmente dependientes entre sí, se dice que son linealmente independientes.

Dos vectores linealmente independientes en el plano se dice que generan una base.

Las coordenadas del vector u r

respecto de la base que forman v yw r ur

son (2, 5).

La base que se toma en el plano habitualmente es la formada por los vectores i(1, 0) y j(0, 1)

r r

,

es la llamada Base Canónica. En esta base las coordenadas de u

r

son (15,7), ya que:

(15, 7) 15 (1, 0) 7 (0, 1)     u 15i7j

r r r

16. Escribe cada uno de estos vectores como combinación lineal de los vectores  ( 2,1) (0,3)

ur uur

v y w :

a) u(4,6)

r

b) u(1,0)

r

c) u(10,5)

r

d) u ( 6,1)

r

e) u(0,6)

r

f) 1, 9

2

ur _  _

17. Escribe las coordenadas del vector uur  ( 3,4) respecto de las siguientes bases:

a) B'



v(2,1),w  ( 3,2)



r ur

b) B''



i (1,0),v(5,3)



r r

c) '''



2, 3 , (0,1)



3

B  v_  _ j 

 

r r

18. Calcula las coordenadas del origen A de un vector cuyo extremo es _{− ,} y que es

equipolente al vector ⃗⃗⃗⃗⃗ , siendo _{, −} y _{− , −}

19. Dados los puntos _{− , , , − ,} , calcula:

a) Las coordenadas del punto D tal que ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗

b) Las coordenadas del punto D tal que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗

c) Las coordenadas del punto D tal que ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗

(9)

20. Calcula, si es que existe, el valor de k para que se verifiquen las siguientes igualdades:

, − + � = , − + − , − , − = �, − , − �

Producto escalar

Se llama producto escalar de dos vectores a la siguiente operación:

cos

u v  u v  

r r r r

, donde es el ángulo que forman los dos vectores

El producto escalar de los vectores de la figura es:

2 2 2 2

cos 3 0 1 1 cos 45º 3 2 3

2

u v  u v           

r r r r

Observamos que la proyección del vector vur sobre el vector uur es igual al producto v cos  r

y

tiene la misma dirección y el mismo sentido que el vector u r

. Esta propiedad se cumple siempre que los vectores formen un ángulo menor de 90º.

Si los vectores forman un ángulo mayor de 90º:

 2

2 2 1

0 2 3 3 cos120º 2 18 18

2

u vr r         _ _ 

Observamos que la proyección del vector vur sobre el vector uur también tiene la misma dirección que el vector u

r

, pero sentido contrario.

De la definición de producto escalar también podemos deducir la siguiente propiedad relacionada con el módulo de un vector:

   cos0º 2

ur ur ur ur ur

u u u u u

También se cumplen otras propiedades que recuerdan a las identidades notables

        

        

    

2 2 2

2 2

( ) ( ) 2

( ) ( )

ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur

ur ur ur ur ur ur

u v u v u v u u v v

(10)

Pendientes Matemáticas I ~ 8 ~ 21. Calcula el producto escalar, el módulo y el sentido de la proyección del vector uur sobre

el vector vur en cada caso:

a) u  1,1 v 0,4

r r

b) 2,1  3,1

2

ur _ _ vr   c) u4,3 v  3,4

r r

22. Si el módulo del vector uur es igual 13, el módulo del vector vures 6 y u vurur 12, calcula:

a) El ángulo que forman u r

y v r

.

b) El ángulo que forma el vector (u v )

r r

con el vector v r

.

23. Calcula el valor o los valores de k para que se verifiquen las siguientes igualdades:

, � ∙ − , = − , −� ∙ , − = � ( , − �) ∙ �, −� = �

Ángulo formado por dos vectores

24. Calcula el ángulo que forman en cada caso los vectores _{⃗⃗ ⃗⃗}

⃗ = , = , ⃗ = , − = − , ⃗ = − , = , −

25. Clasifica los siguientes triángulos según los ángulos.

(11)

Unidad 5.- GEOMETRÍA ANALÍTICA

Ecuaciones de la recta

26. Halla dos puntos y un vector director para cada una de estas rectas:

a) x  y 1 0 b) 3y6x2 c)   



2 1

4 3

x y _d)



  

  3 4

x t

y t

27. Calcula la pendiente y el vector normal en cada una de estas rectas:

a) y105·(x1) b) 2x6y 3 0 c)  4 2 y

x d) y3x

28. Halla la ecuación de la recta en cada caso:

a) La recta pasa por el punto A (1, 1) y su vector director es ur



2, 3



.

b) La recta para por los puntos B (5, 0) y _2, 1_ 2

C .

c) La recta pasa por el punto D (4, 1) y su pendiente es 6.

d) La recta que pasa por el punto O (0,0) y es paralela a la recta r: x  2y  1  0.

(12)

Pendientes Matemáticas I ~ 10 ~ Para calcular la intersección de dos rectas, se forma un sistema con sus dos ecuaciones y se despeja el valor de las incógnitas, x e y, por cualquiera de los métodos de resolución estudiados: Sustitución, igualación o reducción. Por ejemplo, si queremos saber las coordenadas del punto donde se cortan las rectas r y s, utilizamos el método de igualación:



     _{    } _ _{ } _{ } _                        3 :

6 2 ₃ _{5 3} ₃ ₂ ₂ ₆ ₄

2 2 1, 5

6 2 4 2 4 6 2 4 6

5 3 :

4

x t

r

y t _t _w _t _w _t _w

w w t

t w t w t w

x w

s

y w

Para hallar las coordenadas del punto de intersección se sustituye el valor del parámetro t en la recta r, o el valor del parámetro w en la recta s. El resultado ha de ser el mismo.



    

   

3 5 8

6 10 4

x

y Las rectas se cortan en el punto A



 8, 4



.

29. Comprueba si las siguientes rectas son secantes, paralelas o coincidentes. En el caso de que sean secantes, calcula el correspondiente punto de corte.

a) _{ }  _ _



2 3 1 0

21

7 26 0

2

x y

y

x b)



   

  

2 4 12 0

3xx 6yy 18 0 c)



2xx24yy  36 00

30. Calcula la intersección de las rectas r y s en cada caso:

a) _{  }         2 : 1 4 : 2 2 x r y t x w s y w

b)  

        3 : 1 2 3 2 : 10

r y x

x t

s

y t

c)   

   1 4 : 5 3 : 0 x y r

s x y

d)    

  1

: 4

3 :

r y x

s y x

31. Completa los siguientes apartados.

a) Halla la ecuación de la recta paralela a 2x  y 3 0y que pasa por el punto de intersección de las rectas3x2y100y4x3y 7 0.

b) Calcula los valores de k para que la recta



k21



x



k1



y 2 0 y de módulo 26 sea paralela a la hallada en el apartado anterior.

Distancias y ángulos

32. Halla la distancia del punto P (2, -3) al punto de intersección de las rectas

(13)

33. Calcula las coordenadas de los vértices y el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:r x: 2y 4 0,s: 2x3y 1 0,t: 4x y  5 0

34. Calcula el ángulo que forman las rectas:

: + = � : − = : − − = � : − − − =

: = − + � : = − − : { = + �_{= − � � : {} = −_{= +}

35. Calcula el valor de t para que la distancia entre los puntos P(2, 6t) y Q(0, 1) sea de 13 unidades.

36. Halla la altura del lado BC en el triángulo de vértices: A(1, 1), B(0, 3), C(1, 2).

Simetrías y lugares geométricos

37. Calcula las coordenadas del punto simétrico de Q(1, 0) respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

38. Calcula la recta perpendicular a r por el punto Q en cada caso:

a)



  

 4 :

3

x t

r

y t y el punto Q(-3,3).

b) r: 4x  y 2 0y el punto Q(0,0)

39. Dado el triángulo de vértices A(-3, 2), B(1, 4) y C(2, -1), calcula: a) Los ángulos

b) Las coordenadas de su ortocentro c) La ecuación de la bisectriz del ángulo A