Ejercicios detallados del obj 8 Mat II 179

(1)

Capitulo II

Matemática II (179)

Objetivo 8. Analizar problemas que puedan ser resueltos mediante

procedimientos matemáticos o demostrar proposiciones o teoremas mediante

el método de inducción.

Ejercicio 1

Demostrar utilizando el principio de Inducción Matemática que:

1

1 2 3 5 (4 1)5

( ) 1.5 2.5 3.5 ... .5 ,

16 n

n n

P n n n

+

+ −

= + + + + = ∈ℕ

Solución

Justificación: El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera

mediante el método de inducción, es como sigue. Llamaremos Pn a la

proposición, donde n es el rango.

1) Se demostrará que P0, el primer valor que cumple la proposición

(iniciación de la inducción), es cierta.

2) Se demostrará que si se asume P_n como cierta para algún n=k (como

hipótesis inductiva), entonces Pk+1 lo es también, y esto sin condición sobre el

entero natural n (relación de inducción).

Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que Pn es cierto para

todo natural n.

La inducción puede empezar por otro término distinto a P0, digamos por

0 n

P

_{. Entonces}P_n será válido a partir del número n0, es decir, para todo natural

0 n≥n .

Retomando el ejercicio planteado, se tiene:

1) Demostremos que para n=1 es verdadera la proposición.

( )

1 1

1 5 (4 1 1)5 (1) 1.5

16 P

+

+ −

= =

2 5 (4 1)5 5

(2)

5 (3)25 5 75 80

5 5

16 16 16

+ +

= = = =

Por lo tanto P(1) es verdadera.

2) Supongamos que para n=k es verdadera.

1

1 2 3 5 (4 1)5

( ) 1.5 2.5 3.5 ... .5

16 k

k k

P k k

+

+ −

= + + + + =

(Hipótesis inductiva)

Entonces debemos demostrar que siendo P k( ) verdadera entonces

( 1)

P k+ es verdadera, es decir,

(

)

(

1 1 1

1 2 3

2 1

1 2 3

2 1

1 2 3

5 (4 1 1)5 1 1.5 2.5 3.5 ... 1 .5

16 5 (4 4 1)5 1 1.5 2.5 3.5 ... 1 .5

16 5 (4 3)5 1 1.5 2.5 3.5 ... 1 .5

16 k k k k k k k

P k k

k

P k k

k

P k k

+ + + + + + + + + − + = + + + + + = + + − + = + + + + + = + + + = + + + + + =

A partir de este momento, dependiendo de la destreza que tengas,

obtenida claro está de haber resuelto varios ejercicios, procederemos a bien

desarrollar P k( +1) hasta llegar a la hipótesis de inducción que sabemos es

verdadera, ó partir de la hipótesis de inducción P k( ) y llegar a la tesis o

conclusión P k( +1). La manera de resolver el problema es variable, y depende,

repito, de la destreza que tengas de haber resuelto distintas situaciones. En

Matemática esta situación ocurre en distintos temas como cálculo de límites de

funciones, saber si una serie es convergente o divergente, etc.

En este caso partiré de la hipótesis inductiva:

1

1 2 3 5 (4 1)5

( ) 1.5 2.5 3.5 ... .5

16 k

k k

P k k

+

+ −

= + + + + =

Si sumamos en ambos miembros 1

( 1).5k

k+ + , no se alterara la igualdad,

entonces:

1 1

1

1 2 3

( 1).5 5 (4 1)5

1.5 2.5 3.5 ... ( 1).

1 5 .5 6 k k k k

k k k

k

+

+ + +

+ −

+ + + + + = + +

Desarrollando la parte derecha de la igualdad se tiene:

) (

= 5.4k+5.3

) (

=5 4k+3

)

Así:

1

1 2 3 1 5 (4 3). .5

1.5 2.5 3.5 ... .5 1).5

16 5 (

k

k k k

k k

+

+ + +

+ + + + + =

Recuerda que si multiplicamos términos de igual base, se coloca la

misma base y se suman los exponentes: 1 1 1 2 5.5k+ =5+k+ =5k+

Entonces:

1 2

2

1

3 5 (4 3).

1.5 2.5 3.5 ... .5 ( 1).5 5 16 k k k k k k + + + + + + + + + + =

Comparando ésta ultima igualdad obtenida con la tesis o conclusión, que

era:

(

)

1 2 3

(

)

( )1 5 (4 3)5 2 1 1.5 2.5 3.5 ... 1 .5

16

k

k k

P k k

+

+ + +

+ = + + + + + =

Se observa claramente que ambos términos de la parte derecha son

iguales, por lo tanto P k( +1) es verdadera, en consecuencia: QUEDA

DEMOSTRADO QUE:

1

1 2 3 5 (4 1)5

( ) 1.5 2.5 3.5 ... .5 ,

16 n

n n

P n n n

+

+ −

= + + + + = ∈ℕ

Respuesta: La proposición P n( ) planteada es verdadera. Ejercicio 2

Demuestre por el principio de inducción que para todo número natural

2

n≥ se cumple que:

1 1 1 1

...

1+ 2 + 3+ + n ≥ n Solución

(4)

1 1

2 1+ 2 ≥

1 2

2 2

+ ≥

1

1 2 2

2

+ ≥

2 2

+ _≥

2+ 2≥2 2

2≥2 2− 2

2≥ 2

Por lo tanto P(2) es verdadera, porque 2 es mayor que 2≈1, 41. 2) Supongamos que para n=k es verdadera.

1 1 1 1

...

1+ 2+ 3 + + k ≥ k

( 1)

1 1 1 1 1

... 1

1+ 2 + 3+ + k + k+1≥ k+

1 1 1 1

...

1+ 2 + 3+ + k ≥ k

Si sumamos en ambos miembros 1 1

k+ , no se alterara la igualdad,

entonces:

1 1 1 1

...

1 2 3

1 1

1 k 1

k k k

+ + + + + ≥ +

+ +

1 1 1 1

.. 1 1

2 3 . 1

1

1 k k

k

k k

+

+ + + + + ≥ +

(5)

Recuerda que cuando multiplicamos raíces de igual índice, se pueden

multiplicar los radicandos y dejar la misma raíz, es decir: k+1 k =

(

k+1

)

k

Entonces:

(

)

1 1 1 1

.. 1 1

1 2 3 . 1 1

1 k k k k k + + + + + + ≥ + + + Luego: 2

1 1 1 1

.. 1 1

1 2 3 . k 1 1

k k k k + + + + + + ≥ + + +

Ahora fíjate, debemos buscar una desigualdad que nos garantice

generar en la parte derecha de esta última desigualdad la expresión k+1,

porque es la que esta presente en la tesis o conclusión:

1 1 1 1 1

... 1

1+ 2 + 3+ + k + k+1≥ k+

Observa que 2

1 1

k + +k > k+ , esto nos lleva a concluir que:

2

1 1 1 1

... 1 1

1 2 1

1

1 1

3

k k k

k k

k + k

+

+ + + + + > +

+ ≥

+

Racionalizando la expresión:

(

)

(

)

(

)

2

(

)

(

)

1

1 1 1 1 1 1

1 1

1

1 1 1 ₁

1. .

k

k k k k k k

k k k k k k _k + + + + + + + + _{+ =} ₌ + + + + ₊ = + =

(

)

1 1 k k +

+ = k+1

Sabiendo el resultado de esta racionalización, podemos escribir:

2

1 1

1 1 1 1

... 1

1 2 3 k 1 1

k

k k

k +

+ +

+ + + + + ≥ + > +

Ó

1 1 1 1

... 1 2

1 1

3 k k k 1

+ + + + ≥

+ +

+

Comparando ésta ultima desigualdad obtenida con la tesis o conclusión,

que era:

1 1 1 1 1

... 1

1+ 2 + 3+ + k + k+1≥ k+

(6)

1 1 1 1

... , 2

1+ 2+ 3+ + n ≥ n n≥

Si se quieren distribuir 32 actividades a 9 estudiantes prestadores del

Servicio Comunitario en la UNA. Determinar cuántas actividades recibirá al

menos un estudiante?

Solución

Justificación: En este caso, aplicamos el principio de las casillas, el cual

nos dice que si n+1 objetos son colocados en n cajas, entonces al menos una caja contiene dos o más objetos.

Es decir, que si debemos repartir las 32 actividades entre 9 estudiantes,

cada estudiante recibirá al menos 32 3

9 ≈ actividades, de manera que ningún estudiante queda sin actividad, y además todos ellos quedan con las

actividades en forma equilibrada.

Respuesta: Un estudiante recibirá ll menos 3 actividades.

Ejercicio 4

Una encuesta realizada a un grupo de estudiantes de la Universidad

Nacional Abierta en relación a cómo tienen acceso a las tecnologías de la

información y la comunicación (TICs) reveló lo siguiente:

a) 125 estudiantes lo hacen desde el computador personal en sus casas

b) 360 estudiantes utilizan las Salas Alma Mater que funcionan en los Centros

Locales de la Universidad.

c) 75 estudiantes respondieron que lo hacen desde sus casas y desde la

Universidad.

¿Cuántos fueron los estudiantes entrevistados?

Solución

Justificación: En este caso aplicaremos la teoría de conjuntos,

nombraremos el conjunto A como aquellos estudiantes que usan las (TICs)

(7)

Siendo así las cosas, es evidente que el conjunto de estudiantes que

respondieron que usan las (TICs) desde sus casas Y desde la Universidad, es la intersección de los conjuntos A y B ya definidos.

El número de estudiantes encuestados, es el número de estudiantes que

contestaron que usan las (TICs) desde sus casas O desde la Universidad, es decir, el número de estudiantes en la unión de los conjuntos A y B.

Como estos conjuntos son finitos, podemos escribir la fórmula:

(

) ( ) ( ) (

)

n A∪B =n A +n B −n A∩B

Donde:

(

)

:

n A∪B Número de estudiantes en la unión de los conjuntos A y B, o

lo que es igual, número de estudiantes encuestados.

( )

:

n A Número de estudiantes en el conjunto A, en este caso: 125.

( )

:

n B Número de estudiantes en el conjunto B, en este caso: 360.

(

)

:

n A∩B Número de estudiantes en la intersección de los conjuntos A

y B, en este caso: 75.

Sustituyendo estos datos en la fórmula, se tiene:

(

)

125 360 75 410

n A∪B = + − =

Respuesta: Los estudiantes entrevistados fueron: 410.

Ejercicio 5

Demuestre que: 1 2+ + + +1 22 ... 2n =2n+1−1 Solución

Justificación: Aplicando el método de inducción, se tiene:

1 2 1

0 0 1

1

1 2 2 ... 2 2 1

2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1

n n+ +

+ + + + = −

= −

= − = −

= Por lo tanto P(0) es verdadera.

1 2 1

(8)

( 1)

1 2 1 1 1

1 2 1 2

1 2 2 ... 2 2 1

k k

+ + +

+ +

+ + + + = −

1 2 1

1 2+ + + +2 ... 2k =2k+ −1

Si multiplicamos ambos miembros de la igualdad de la hipótesis

inductiva por 2, se tiene:

(

1 2

) (

1

)

1 2 2 ...

2 + + + +2k =2 2k+ −1

Desarrollando:

1 2 1

1 2 2 ...

2. +2. +2. + +2.2k =2.2k+ −2.1

2 3 1 1 1 2 2+ + + +2 ... 2k+ =2k+ + −2

Como: 2= − −1 1, se tiene:

2 3 1 2

2 2+ +2 +... 2+ k+ =2k+ −1−1

Pasando el −1 rojo, al lado izquierdo de la igualdad se tiene:

2 3 1 2

2 2 2 ... 2 1

1+ + + + +2k+ = k+ −

era:

1 2 1 2

1 2+ + + +2 ... 2k+ =2k+ −1

DEMOSTRADO QUE:

1 2 1

1 2+ + + +2 ... 2n =2n+ −1

Usando el principio de inducción matemática. Demostrar que:

2

3n<n −1 para n≥4 Solución

(9)

( ) ( )

2

3n<n − →1 3 4 < 4 − →1 12 16 1< − →12 15< Por lo tanto P(4) es verdadera.

2) Supongamos que para n=k es verdadera. 2

3k <k −1

( 1)

(

) (

)

2 3 k+ <1 k+1 −1

2

3k+ <3 k +2k+ −1 1

2 3k+ <3 k +2k

2 3k<k −1

Si sumamos a ambos miembros 3, se tiene:

2 3k+ <3 k − +1 3

2 3k+ <3 k +2

Pero:

2 2

k + <k + k

Porque 2<2k, entonces:

2 2

3k+ <3 k + <2 k +2k

Por el axioma de transición de las desigualdades, es decir:

c c

b

a< < ⇒a<

Así:

2 2 2

2 2

3 2 3 3

3k+ <k + <k + k⇒ k+ <k + k

era:

2 3k+ <3 k +2k

(10)

2

3n<n −1 para n≥4

Usar el método de inducción para demostrar que:

1

1 2 3 1

1 3 3 ... 3

2 n n

+ ₋ + + + + =

Para todo número natural n≥1.

Solución

1 1 2

1 3 1 3 1 9 1 8

1 3 1 3 4 4 4

2 2 2 2

+ ₋ ₋ ₋

+ = → + = → = → = =

2) Supongamos que para n=k es verdadera. 1

1 2 3 1

1 3 3 ... 3

2 k k

+ ₋

+ + + + =

( 1)

1 1 1 2 1

2

1 2 1

3 1

1 3 3 ... 3

2

3 1

1 3 3 ...3 3

2

k k

k

k k

+ + +

+ +

−

+ + + + =

−

+ + + + =

1

1 2 3 1

1 3 3 ... 3

2 k k + −

+ + + + =

Si sumamos a ambos miembros 3k+1, se tiene:

2 1 1

1

1 3 1

1 3 3 ... 3

2

3k 3

k

k + k+

+ ₋

+ + + + + = +

1

2 1

1

3 1 2. 1 3 3 ... 3

2 3 3k

k

k +

+ + − +

(11)

Sumando los términos semejantes destacados en rojo:

1

1 2 1

1 3 1 2.3 1 3 3 ... 3 3

2 k k

k k

+ + − + +

+ + + + + =

1

1 2 1

1 3 3 ... 3 3 3.3 2 k

k

k+ + −

+ + + + + =

Como se tiene el producto de términos de igual base: 3.3k+1, se coloca la

misma base y se suman los exponentes: 1 1 1 1 1 2 3.3k+ =3 .3k+ =3+ +k =3k+

Por lo tanto tenemos:

2

1 2 1 1

1 3 3 ... 3 3 3

2 k

k

+

+ −

+ + + + + =

era:

2

1 2 1 3 1

1 3 3 ...3 3

2

k

k k

+

+ −

+ + + + =

DEMOSTRADO QUE:

1

1 2 3 1

1 3 3 ... 3

2 n n

+ ₋ + + + + =

Para todo número natural n≥1.

Demuestre usando el principio de inducción que si a y b son números

reales tales que 0< <a b entonces

1

n n

a a

b b

+

   

<

   

    para todo número entero

0 n≥ .

Solución

1 0 1 0

1

n n

a a a a a

a b

b b b b b

+ +

         

< → < → < → <

         

         

(12)

1 k k a a b b +     <         (Hipótesis inductiva)

( 1)

1 1 1

2 1 k k k k a a b b a a b b + + + + +     <             <        

En este caso partiré de la tesis o conclusión:

2 1 k k a a b b + +     <        

Por un lado se tiene:

2 1

k k

a a a

b b b

+ +

     

=

           

Por hipótesis de inducción: 1 k k a a b b +     <    

    , entonces:

2 1 k

k k

a a a

b b b

a a

b b

+ +

     

=

     <    

         

Claro está que:

1

k k

a a a

b b b

+

     

=

           

Por lo tanto:

2 1 1

k k k

a a a

b b a b b + + +       =              

<   

Es decir:

1 2 k k a b a b + +  

<   

   

  gracias a la hipótesis de inducción, en

consecuencia: QUEDA DEMOSTRADO QUE:

1 n n a a b b +     <        

(13)

=n, para todo número natural n≥1. Solución

( )

(

n 1

)

=n, para todo número natural n≥1 Respuesta: La proposición P n( ) planteada es verdadera.

(14)

Un árbol proyecta una sombra de 9, 76m y al mismo tiempo, un palo que mide 0, 92m proyecta una sombra de 0, 67m ¿qué altura tiene el árbol?

Solución Justificación: Ilustrando la situación, se tiene:

Antes de responder la pregunta, recordemos el Teorema de Euclides: si

dos triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales.

Entonces: los rayos paralelos del sol forman el mismo ángulo con el árbol y con

el palo. Puesto que ambos triángulos son rectángulos y tienen un ángulo agudo

de la misma medida, entonces los triángulos son semejantes. Los lados

correspondientes son proporcionales. Así, si denotamos " "x la altura del árbol, podremos escribir:

9, 7 0,

6

2 6

9 0, 7 x ₌

Despejando equis, se tiene:

(

)

(

)

8, 9792

13,31

0

9, 76

0, 0,

9

6

,

67

2

7

x= = =

(15)

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Demostrar por inducción la siguiente propiedad:

(

) (

)(

)

1

1 2

1

3 n

j

n n n

j j =

+ +

+ =

∑

Ejercicio 2

Demostrar por inducción la siguiente propiedad:

(

)

1

2 1

n

k

k k k =

= +

∑

Ejercicio 3

Demostrar por inducción la siguiente fórmula:

(

)

2 2

3 3 3 3 1

1 2 3 ...

4 n n

n +

+ + + + =

Explique cada paso del procedimiento.

Ejercicio 4

Haciendo uso del principio de inducción completa, demostrar que:

1

10n 10n 1

₃

•

(16)

3

•

significa, múltiplo de 3

Ejercicio 5

Encontrar el término general de la sucesión a_n cuyos primeros cinco

términos son:

m 3

2

+ , 5 m 4

+ , 7 m 8

+ , 9 m 16

+ , 11 m 32

+ , donde m es el tercer dígito de su número de cédula de identidad.

Ejercicio 6

Sea f :ℝ−

{ }

1 →ℝ_{la función definida por:} _{( )}

1 x f x

x =

+ . Usa el método de inducción para demostrar que la derivada enésima de f está dada por la

relación:

( )

_{( )}

(

)

1

1 !

( ) 1

1 n

n

n n

f x

x +

+ = −

+

Ejercicio 7

Considera la sucesión

{ }

a_n _n_≥₁, cuyo enésimo término es el primer número

de la enésima fila de la siguiente tabla:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 21 22 . . .

De esta manera tenemos que: a₁ =1, a₂ =2, a₃ =4, a₅ =7, …

Construye una sucesión por recurrencia que describa a la sucesión

{ }

a_n _n_≥₁.

Ejercicio 8

Sea f :ℝ→ℝ_{la función definida por:} _{f x}_{( )}=_{x e}2 x_{. Usa el método de} inducción para demostrar que la derivada enésima de f está dada por la

(17)

( )

(

2

)

( ) 2 ( 1) , 1

n x

f x = x + nx+n n− e n≥

Ejercicio 9

Usa el método de inducción para demostrar que:

2

3 4 3

n + ≥ n− para todo número natural n≥2 Ejercicio 10

Dada la siguiente lista escríbela como una sucesión

{ }

an _n_≥₁. Sabiendo