INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN SEMESTRE AGOSTO DICIEMBRE 2012

Barrios Macías María Lourdes 12210412

CARRERA: Tecnologías de la información y comunicación.

MATERIA: Algebra Lineal

TITULO: Investigación de la unidad 2

UNIDAD 2

NOMBRE DEL MAESTRO: MC Eugenia Bermúdez Jiménez

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INDICE

Matices y determinantes

2.1 Definición de matriz

2.2 Reseña histórica

2.3 Operaciones con matrices

2.4 Clasificación de matrices

2.5 Transformaciones elementales por renglón

2.6 Regla de Cramer

2.7 Calculo de la matriz inversa

2.8 Definición determinante de una matriz

2.9 Propiedades de los determinantes

2.10 inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

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2.1 Definición de matriz

Es un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

Reseña histórica

Las matrices aparecieron por primera vez en el año de 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna.

Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (aij) m x n.

Si el número de filas y de columnas es igual ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden n.

Igualdad de matrices

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Tipos de Matrices:

1. Matriz fila: Las matrices de una sola fila, se denominan matrices fila.

2. Matriz columna: Las matrices de una sola columna, se denominan matrices columna.

3. Matriz nula: Las matrices con todos los elementos cero, se denomina matrices nula.

4. Matrices cuadradas: Son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Ejemplo:

5. Matriz identidad: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

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6. Matriz triangular Inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

7. Matriz triangular Superior: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

8. Matrices diagonales: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. Se denota por D = diag (d11,

d22,..., dnn).

9. Traspuesta de una matriz: La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

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10. Matrices simétricas: Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es anti simétrica, si AT = -A.

Ejemplo:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es anti simétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni anti simétrica.

11. Matriz Escalar: Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

12. Matrices ortogonales: Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta.

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si A·At= At A = I. Se observa que

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13. Matriz numérica: Es un conjunto de números colocados en filas y en columnas

14. Matriz de orden (m,n): Conjunto de números reales, dispuestos en filas m, i en columnas n. Cada uno de los números que consta la matriz es un elemento, que se distingue entre los otros, por su posición.

15. Matriz escalonada: Es aquella que verifica las siguientes propiedades:

o Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo:

o La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Composición de las matrices

Subíndices: Cada elemento tiene unos subíndices que sirven para indicar su posición dentro de la matriz. El primer indica la fila, y la segunda indica la columna.

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o Las filas son los números dispuestos en m horizontales. En el ejemplo, la primera fila estaría formada por los números [ 1 2 3 ].

o Las columnas son los números dispuestos en n verticales. En el ejemplo, la primera columna estaría formada por los números [ 1 1 4 6 ]. o Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de números dispuestos en m

filas y n columnas.

2.2 Operaciones con matrices.

Suma

Las matrices se pueden sumar y restar entre sí, con la condición de que sean del mismo orden. La suma se obtiene sumando los elementos de dos matrices que pertenecen a la misma fila y a la misma columna.

Dada las matrices A y B del mismo orden, la matriz total se obtiene sumando cada término de A correspondiente en B:

Propiedades de la suma

Asociativa: (A+B)+C = A + (B+C)

Conmutativa: A + B= B + A

Elemento neutro: A + 0 = A

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Producto por un escalar

Con un nombre real k y la matriz A de orden (m,n), definimos el producto de K por A el producto de cada elemento que les forma cada uno. Igual que la siguiente forma: cuando K=2

Propiedades del producto escalar

K (A + B) = kA + kB

(k + h)A = kA + hA

K (hA) = (kh) A

1A = A

2.3 Clasificación de las matrices.

1- Triangular superior: Aquí los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

2- Triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

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4- Escalar: Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

5- Identidad: Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

6- Traspuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(At) t = A

(A + B) t = At + Bt

(α ·A)t = α· At

(A · B) t = Bt · At

2.4 Transformaciones elementales por renglón.

Si se intercambian dos filas cualesquiera de una matriz dada, llamamos a esta operación una operación de transformación elemental en las filas de una matriz. Se denota por R¬ij¬¬, lo cual implica que se intercambian las filas i y j de la matriz dada. Esta operación también se denota por R¬i¬ <→ R-j¬.

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elemental en la fila de una matriz. Esta matriz elemental se denomina la matriz identidad I y tenemos el resultado A x I = A-1

Existen tres operaciones básicas que pueden realizarse para transformar la fila de una matriz dada:

1) Intercambiar dos filas de la matriz dada, es decir, poner los elementos de una fila en el lugar del otro y viceversa.

2) Realizar la operación de multiplicación a cualquier fila de la matriz dada, multiplicando todas las entradas de esa fila con un elemento escalar.

3) Extraer un múltiplo común de todas las entradas de una fila y agregarlo a las entradas de la otra fila.

La transformación de fila es una operación básica importante de las matrices, la cual generalmente no altera el rango de la matriz dada.

Para que un sistema de ecuaciones u otros elementos representados a través de una matriz para designar estos como linealmente dependientes debe existir un vector de elementos escalares tal que satisfaga la ecuación dada:

Podemos obtener la matriz cuadrada de una matriz, tomando, una parte de la matriz r x r de la matriz dada. Y llamamos a sus determinantes filas menores de r para la matriz de entrada. Entre todas las submatrices, el determinante que tenga el valor más alto distinto de cero, y que también es la submatriz más grande para la matriz dada, puede determinar el rango de la matriz dado que su orden igual al rango de la matriz actual.

Ejemplo:

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Esto significa que no podemos tener un rango de tres así que intentemos con la submatriz de orden dos, la cual da el rango de la matriz actual,

El determinante resulta ser 20, el cual es el más grande y por lo tanto, el rango de la matriz dada es dos.

Teorema

A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Ejemplo:Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.

2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.

No siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B*A.

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otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.

Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión: Si tenemos un número real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1.

Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x =12, es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por ´el da el elemento neutro, el 1.

Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A

de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A ・ X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:

No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In A, porque no hemos definido la

división de matrices.

No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por

analogía con los números).

Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa: Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que: A * A−1 = In y A−1 * A = In

Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

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2.6 Regla de cramer

Sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean:

Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n

Los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

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Ejemplo:

2.7Definición de determinante de una matriz.

A cada matriz cuadrada A se le asocia un número denominado determinante de A.

El determinante de A se denota por |A| o por det (A).

Determinante de orden uno

|a 11| = a 11

|5| = 5

Determinante de orden dos

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Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

=

= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 - - a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32. =

3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 - - 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 = = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = = 44 + 4 + 15 = 63

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

2.8 Propiedades de los determinantes.

1.- |At|= |A|El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2.-|A|=0Si: Posee dos líneas iguales

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Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3.-Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal

4.-Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5.-Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6.-Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

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8. |A•B| =|A|•|B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

2.9 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

Sea A una matriz de nxn. Entonces A es invertible si y solo si detA≠0. Si detA≠0, entonces

Si detA≠0, entonces se demuestra que (1/detA)(adjA) es la inversa de A multiplicándola por Ay obteniendo la matriz identidad:

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2.10 Aplicación de matrices y determinantes.

algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias sociales, económicas y biológicas, como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a

dos criterios o variables.

Ejemplo:Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.

Bibliografía:

- Cuaderno de clase

- http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices/m atrices_definicion_y_tipos.htm

- Google.Site.com

- http://www.ditutor.com/matrices/matriz_identidad.html

- http://wikimate.wikispaces.com/Matrices

- Algebra lineal para estudiantes de ingeniería y ciencias “Juan Carlos Del Valle Sotelo”

- http://mitecnologico.com/igestion/Main/TransformacionesElementalesPorRengl

on

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