Se presupone que ud. tiene
conocimientos sobre
• Algebra lineal y solución de sistemas de ecuaciones.
• Cálculo de raíces de ecuaciones. • Derivación multivariada.
• Probabilidad.
• Física elemental, modelos contables. • Ud. Conoce el significado de f(x).
Funciones
Una función es una relación que determina los valores de una variable dependiente a partir de los valores que adquiere una o más variables independientes.
x
y
5
3
X Y
-1 2
0 5
1 8
2 11
3 14 0
2 4 6 8 10 12 14 16
Una función de valor real f
definida sobre un conjunto de números reales es una regla que asigna a cada número x de D un y sólo un
número real f(x).
D: dominio de la función. Conjunto de valores para los que f(x) está definida. Regla o expresión:
y=f(x): conjunto de valores,
rango.
f
D x
x f
• Un modelo matemático es una representación del mundo real
Mundo real Mundo conceptual
Fenómeno
Observaciones
Modelado
Principios esenciales del modelado
matemático
• Consistencia dimensional: al construir un modelo
para representar un
sistema, las unidades de cada variable deben ser consistentes.
• Nivel de detalle (Escala): El modelo es una
aproximación del sistema real, debe ser simple.
• Conservación de la
materia y la energía: Se deben respetar las leyes de la física.
Un artesano fabrica dos tipos de
productos: mesas de centro y
esquineros. Los datos de producción
se muestran en la siguiente tabla.
El artesano no desea trabajar más de
40 horas a la semana y además, sus
recursos no le permiten gastar más
de $1000 en materiales a la semana.
Construya ecuaciones que permitan
calcular el consumo de cada recurso.
Tipo Horas de fabricación
Costo Materia prima Mesa
centro 7
200
Se tienen los siguientes datos de dos tipos de hospitales que se proyecta construir.
Se cuentan con 650 equipos médicos y con 50,000 toneladas de material.
Construya las ecuaciones para calcular: el consumo de equipos médicos, el consumo de material de construcción y la capacidad de atención total de los hospitales.
Tipo de hospital
Datos 1 2
Equipos
médicos(U) 20 30 Cantidad de materiales de construcción requeridas (ton)
2500 2100
Los períodos de tiempo requeridos por dos trabajadores para una yarda cuadrada de piso difieren en 1 minuto. Juntos pueden pintar 27 yardas cuadradas en 1 hora.
Proporciones
• Relación entre magnitudes reales.
• El factor constante se emplea para expresar relaciones de igualdad entre magnitudes.
• Dadas dos variables x y y, y es directamente
proporcional a x, si hay una constante k>0 tal
que:
• Dadas dos variables x y y, y es inversamente
proporcional a x, si hay una constante k>0 tal
que:
kx
y
x
k
El total de gasolina consumida por un automóvil que viajó con rapidez uniforme, varía conjuntamente con la distancia recorrida y con el cuadrado de la velocidad. Si un automóvil consume 5 galones y recorre 100 millas a 40 millas/hr ¿Cuánto consumirá recorriendo 80 millas a 55 millas/hr?
• Construya el modelo matemático para representar este problema.
Matrices
Matriz es un conjunto ordenado de números, dispuestos en m filas y n columnas.
Una matriz de cierto numero de filas y columnas tendrá un tamaño m x n.
Las matrices se pueden emplear para organizar la información útil para la toma de decisiones.
Si la matriz tiene el mismo número de filas y columnas se le llama matriz cuadrada. Una matriz de un solo renglón se le llama vector fila; una matriz con una sola columna se le llama vector columna.
Matrices como modelos de toma de
decisiones
El registro federal de automóviles está organizado en dos departamentos: el A que atiende los trámites relativos a los automóviles y el B que atiende los asuntos relacionados con los camiones. En el departamento A trabajan 27 hombres y 18 mujeres, en el B son 32 hombres y 6 mujeres.
Una empresa fabricante de aparatos de televisión inteligentes, desea calcular el número de chips y bocinas necesarias para programar el proceso de producción de los tres modelos que ofrece.
En la siguiente tabla se detallan los requerimientos de chips y bocinas necesarios para la producción de un televisor con cada modelo y el pronóstico de ventas para enero y febrero de cada modelo.
Calcule el número de materiales necesarios para cada mes.
\ Parte Modelo
A B C
Chips 13 18 20 Bocinas 2 3 4
Modelo Enero Febrero
A 120 60
B 240 120
Matriz de adyacencia
Se trata de una matriz cuadrada utilizada para
representar de forma matemática redes o gráficas. Es un arreglo de n columnas y n renglones donde:
, 1 si une el nodo con el0 en otro caso
i j
e i j
1
2
4
Solución de un sistema de ecuaciones.
Suponga que el sistema de ecuaciones puede representarse como sigue:
Y su solución:
b
Ax
b
A
En un taller electromecánico se presenta el siguiente problema: se dispone de dos máquinas, R y S que elaboran los producto U y V. Por razones de mantenimiento, la máquina R puede operar 50 hrs semanales y la S 60 hrs semanales. Cada unidad del producto U debe procesarse 7 hrs en la maquina R y 8 en la máquina S.
Las cifras correspondientes al producto V son 4 y 6 horas respectivamente.
Principio de conservación
Balance de material que circula por un nodo:
Salida – Entrada = Acumulado
k
k
x1
kj
x
Flujo total de salidas del nodo –
Flujo total de entradas al nodo = f
1
4
3 2
Modelo de ganancia
Un administrador de bienes raíces enfrenta el problema de decidir la renta mensual para cada uno de los 60 departamentos de su propiedad. Por experiencia sabe que con una renta de $400 mensual, todos su departamentos se ocuparán; también sabe que a cada incremento de $10 un departamento permanecerá vacante.
El administrador quiere incrementar la renta mensual de tal forma que se mantengan sus ingresos actuales de $24,000.
Modelo propuesto
400
10
x
60
x
24
,
000
Donde:
x= número de departamentos vacantes 10x= Incremento en la renta por cada depto. vacante
60-x= Numero de departamentos rentados Para el intervalo 0<=x<=60.
Modelos para predicción condicional.
Regresión lineal
Una predicción condicional se realiza mediante modelos causales, es decir, una respuesta (y, variable de respuesta, variable dependiente) se relaciona con alguna causa (x, variable independiente o explicativa). La regresión lineal tiene como objetivo analizar un modelo que pretende explicar el comportamiento de un conjunto de respuestas (y) utilizando la información proporcionada por los valores tomados por un conjunto de causas (x).
Se ajusta un modelo con la siguiente forma:
𝒚 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏𝒙𝟏 + 𝜷𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝜷𝒏𝒙𝒏
donde:
β0: Término constante o independiente del modelo
β1: Coeficientes que denotan el peso o magnitud del efecto de la respectiva variable sobre la respuesta.
Obtenga la ecuación que ajusta mejor el siguiente conjuntos de datos.
X Y
2 94.8 5 87.9 8 81.3 11 74.9 14 68.7
Modelos a partir de datos históricos o
experimentales
X(kg) Y(kg)
20 73 20 78 30 85 40 90 40 91 50 87 50 86 50 91 60 75 70 65
Rendimiento de una reacción
Los datos de la tabla,
muestran el rendimiento de producto “y” que se obtiene cuando se agregan “x” kg de material a un reactor
químico.
Obtenga el modelo que ajusta los datos.
Modelos a partir de datos históricos o
experimentales
Un fabricante de llantas cuenta con un conjunto de datos tabulados como sigue:
Construya un modelo que permita pronosticar el monto de las ventas en función de la cantidad de conductores.
#
conductores (millones)
39 40.5 41 45 51 55 57.5 61 62 67
Ventas
Un analista comercial está pensando en adquirir un grupo de pequeños edificios de oficinas en un distrito comercial conocido.
El analista puede utilizar un análisis de regresión lineal múltiple para estimar el valor comercial de un edificio en un área determinada, para tal efecto realiza un muestreo al azar de 11 edificios en una zona donde existen 1500 inmuebles.
Superficie (m2) Número de oficinas Lugares de estacionamiento Antigüedad (años) Valor ($)
2310 2 2 20 142000
2333 2 2 12 144000
2356 3 1.5 33 151000
2379 3 2 43 150000
2402 2 3 53 139000
2425 4 2 23 169000
2448 2 1.5 99 126000
2471 2 2 34 142900
2494 3 3 23 163000
2517 4 4 55 169000
Datos de sistemas no lineales
Es común que algunos procesos sigan
comportamientos que se explican con las siguientes funciones:
Aplicando la ley de los logaritmos se obtienen los respectivos modelos lineales:
b bx
ax y
ae
y
x b a y x b a
y ln ln ln ln ln
